Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 1.2 Zahlen und Grundoperationen

Q: Was ist ℕ?
A: Natürliche Zahlen: 0, 1, 2, 3, … (zählende Zahlen).
Beispiele: 0, 7, 42 sind in ℕ — die Anzahl Schüler einer Klasse, Hausnummern.

Q: Was ist ℤ?
A: Ganze Zahlen: …, −2, −1, 0, 1, 2, … (positive und negative ganze Zahlen plus Null).
Beispiele: −5°C (Temperatur unter null), Bilanzveränderung −1200 Fr., Höhenmeter +345.

Q: Was ist ℚ?
A: Rationale Zahlen: alle Zahlen, die als Bruch p/q (mit p ∈ ℤ, q ∈ ℕ*) geschrieben werden können. Dezimaldarstellung: endlich oder periodisch.
Beispiele: 3/4 = 0.75, −7/2 = −3.5, 1/3 = 0.333…

Q: Was ist ℝ?
A: Reelle Zahlen: alle rationalen Zahlen plus die irrationalen (z. B. √2, π, e). Dezimaldarstellung: endlich, periodisch oder unendlich nicht-periodisch.
Beispiele: 5, −1/2, √2 = 1.414…, π = 3.14159… — alle in ℝ.

Q: Hierarchie der Zahlenmengen
A: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Jede natürliche Zahl ist auch ganz, jede ganze auch rational, jede rationale auch reell.
Beispiel: 5 ist in allen vier Mengen; −3 nur in ℤ, ℚ, ℝ; 1/2 nur in ℚ und ℝ; √2 nur in ℝ.

Q: Beispiele für irrationale Zahlen
A: √2, √3, π, e. Sie sind reell, aber nicht rational — keine Bruchdarstellung möglich.
Konkrete Werte: √2 ≈ 1.41421…, π ≈ 3.14159…, e ≈ 2.71828… — alle mit unendlich vielen nicht-periodischen Nachkommastellen.

Q: Wandle 0.75 in einen Bruch um
A: 0.75 = 75/100 = 3/4. (Kürzen mit 25.)

Q: Wandle 3/8 in eine Dezimalzahl um
A: 3 ÷ 8 = 0.375 (endliche Dezimalzahl).

Q: Wandle 1/3 in eine Dezimalzahl um
A: 1 ÷ 3 = 0.333… = 0.3 (periodisch).

Q: Was ist ein Intervall?
A: Eine zusammenhängende Teilmenge von ℝ. Schreibweise:
[a; b]: a und b enthalten
]a; b[: a und b ausgeschlossen
[a; b[: a enthalten, b ausgeschlossen

Q: Was bedeutet [3; 7]?
A: Alle reellen Zahlen von 3 bis 7, beide Grenzen inklusive.

Q: Was bedeutet ]−∞; 5[?
A: Alle reellen Zahlen kleiner als 5 (5 nicht enthalten). −∞ ist nie eingeschlossen.

Q: Vorzeichenregel: (−3) · (−4) = ?
A: +12. Minus mal Minus = Plus.

Q: Vorzeichenregel: (−3) · (+4) = ?
A: −12. Minus mal Plus = Minus.

Q: Was ist der Betrag einer Zahl?
A: Der Abstand zur Null: |3| = 3, |−3| = 3, |0| = 0. Immer ≥ 0.

Q: Wie rundet man 3.567 auf 1 Nachkommastelle?
A: Nachkomma-2 ist 6 (≥ 5) → aufrunden: 3.6.

Q: Wie rundet man 3.547 auf 1 Nachkommastelle?
A: Nachkomma-2 ist 4 (< 5) → abrunden: 3.5. Grenzfall „bei genau 5“: kaufmännische Rundung (Schule, Banken) rundet 3.55 → 3.6 (immer auf). Wissenschaftliche Rundung (Physik, Statistik) rundet 3.55 → 3.6 und 3.45 → 3.4 (auf gerade Stelle, „banker rounding“) — gleicht Rundungsfehler über viele Werte aus.

Q: Was ist die Hierarchie der Operationen?
A: Klammern → Potenzen/Wurzeln → Punktrechnung → Strichrechnung

Q: Berechne ohne Hilfsmittel: −2 + 3 · (−4)
A: Punkt vor Strich: 3 · (−4) = −12. Dann: −2 + (−12) = −14.

Q: Berechne ohne Hilfsmittel: (−6) : (−2) − 4
A: (−6) : (−2) = +3. Dann 3 − 4 = −1.

Q: Was ist die Ordnungsrelation?
A: Vergleich zwischen Zahlen: a < b, a > b, a = b, a ≤ b, a ≥ b. Auf der Zahlengeraden: links = kleiner.

Q: Welche Zahlenmenge enthält die Lösung von x² = 2?
A: ℝ. x = ±√2 — also zwei Lösungen: x₁ = +√2 ≈ +1.414 und x₂ = −√2 ≈ −1.414. Beide sind irrational, also nicht in ℚ. Wichtig: eine quadratische Gleichung hat in ℝ üblicherweise zwei Lösungen (Symmetrie des Quadrierens).

Q: Wie schreibt man „alle reellen Zahlen ohne Null“?
A: ℝ \ {0} oder ℝ*

Q: Was bedeutet ℕ*?
A: Natürliche Zahlen ohne Null: 1, 2, 3, …