Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 1.3 Algebraische Terme

Q: Was sind gleichartige Glieder?
A: Glieder mit denselben Variablen in denselben Potenzen. Beispiele: 3x und −5x, 4x²y und 7x²y. Gegenbeispiel: 3x und 3x² (verschiedene Potenzen).

Q: Wie fasst man 3x + 5x − 2x zusammen?
A: Addition der Koeffizienten bei gleicher Variable: (3 + 5 − 2)·x = 6x.

Q: Wie fasst man 2x² + 3x − x² + 4 zusammen?
A: Gleichartige Glieder addieren:
x²: 2x² − x² = x²
x: 3x bleibt
Konstante: 4 bleibt
Resultat: x² + 3x + 4

Q: Klammer auflösen: 3·(x + 4)
A: Distributivgesetz: 3x + 12

Q: Klammer auflösen: −2·(x − 5)
A: Vorzeichen mitnehmen: −2x + 10

Q: Klammer auflösen: −(a − b + c)
A: Minuszeichen kehrt alle Vorzeichen um: −a + b − c

Q: 1. Binomische Formel
A: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Q: 2. Binomische Formel
A: (a − b)² = a² − 2ab + b²

Q: 3. Binomische Formel (Plus-Minus)
A: (a + b)(a − b) = a² − b²

Q: Berechne (x + 3)² mit binomischer Formel
A: 1. Bin: a = x, b = 3
x² + 6x + 9

Q: Berechne (2x − 5)² mit binomischer Formel
A: 2. Bin: a = 2x, b = 5. Vorzeichen-Vorsicht: das Quadrat eines Minus-Terms hat einen negativen Mittelterm, aber beide Endterme sind positiv. (2x)² − 2·2x·5 + 5² = 4x² − 20x + 25

Q: Berechne (x + 4)(x − 4) mit binomischer Formel
A: 3. Bin: a = x, b = 4
x² − 16

Q: Was bedeutet faktorisieren?
A: Einen Term in ein Produkt umformen. Umkehrung des Klammer-Auflösens.

Q: Faktorisiere 6x + 9
A: Gemeinsamer Faktor (ggT der Koeffizienten): ggT(6, 9) = 3. 3·(2x + 3)

Q: Faktorisiere 4x² − 12x
A: Gemeinsamer Faktor 4x: 4x·(x − 3)

Q: Faktorisiere x² − 9
A: 3. binomische Formel rückwärts: (x + 3)(x − 3)

Q: Faktorisiere x² + 6x + 9
A: 1. binomische Formel rückwärts: (x + 3)²

Q: Faktorisiere x² − 10x + 25
A: 2. binomische Formel rückwärts: (x − 5)²

Q: Faktorisiere 2x² − 8
A: Erst ausklammern, dann 3. Bin: 2·(x² − 4) = 2·(x + 2)(x − 2). Probe mit x = 3: original 2·9 − 8 = 10; faktorisiert 2·5·1 = 10 ✓

Q: Faktorisiere 3x² − 12x + 12
A: Erst 3 ausklammern, dann 2. Bin: 3·(x² − 4x + 4) = 3·(x − 2)²

Q: Reihenfolge beim Faktorisieren
A: 1. Gemeinsamer Faktor (zahl- oder variablenseitig)
2. Binomische Formeln rückwärts
3. Spezielle Tricks (z. B. quadratische Ergänzung)

Q: Was ist eine Polynomdivision (im Grundlagenfach)?
A: Im Grundlagenfach nicht erforderlich. Faktorisieren beschränkt sich auf Ausklammern und binomische Formeln.

Q: Häufiger Fehler bei (a + b)²
A: Falsch: a² + b². Richtig: a² + 2ab + b² (mittlerer Term nicht vergessen!). Schnelle Probe mit a = 3, b = 4: (3+4)² = 49 ≠ 9 + 16 = 25 — der Mittelterm 2·3·4 = 24 fehlt.

Q: Wie prüft man eine Faktorisierung?
A: Klammern wieder ausmultiplizieren. Stimmt das Ergebnis mit dem Original überein, ist die Faktorisierung korrekt.

Q: Was ist der Grad eines Polynoms?
A: Der höchste Exponent, der in einem Glied vorkommt. Beispiel: 5x³ − 2x² + 7x − 4 hat Grad 3. Konstante Polynome (z. B. 5) haben Grad 0.

Q: Was ist das konstante Glied eines Polynoms?
A: Das Glied ohne Variable (höchster Exponent 0). Beispiel: in 5x³ − 2x² + 7x − 4 ist das konstante Glied −4. Es ist der Wert des Polynoms an der Stelle x = 0.

Q: Welche Koeffizienten hat 5x³ − 2x² + 7x − 4?
A: 5, −2, 7, −4 — die Vorzahlen jedes Glieds in fallender Potenzordnung. Wichtig: Vorzeichen mitnehmen.