Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 1.4 Zehnerpotenzen und Quadratwurzeln

Q: Was ist eine Zehnerpotenz?
A: Eine Zahl der Form 10ⁿ mit n ∈ ℤ. Beispiele: 10² = 100, 10⁻³ = 0.001, 10⁰ = 1.

Q: Wert von 10⁰?
A: 1. (Jede Zahl hoch null ist 1, ausser 0⁰ — undefiniert.)

Q: Wert von 10⁻²?
A: 0.01 = 1/100. Negativer Exponent → Kehrwert.

Q: Was ist die wissenschaftliche Notation?
A: Schreibweise a · 10ⁿ mit 1 ≤ |a| < 10 und n ∈ ℤ. Beispiel: 3.14·10⁸.

Q: Wandle 4500 in wissenschaftliche Notation
A: 4.5 · 10³

Q: Wandle 0.0027 in wissenschaftliche Notation
A: 2.7 · 10⁻³

Q: Wandle 6.02 · 10²³ in normale Schreibweise
A: Komma 23 Stellen nach rechts: 602 000 000 000 000 000 000 000. Diese Zahl ist die Avogadro-Zahl — die Anzahl Teilchen in einem Mol (z.B. einem Mol Wassermoleküle, etwa 18 g Wasser). Das ist der Grund, warum die wissenschaftliche Notation existiert.

Q: Potenzgesetz: aᵐ · aⁿ = ?
A: aᵐ⁺ⁿ (gleiche Basis: Exponenten addieren)

Q: Potenzgesetz: aᵐ : aⁿ = ?
A: aᵐ⁻ⁿ (gleiche Basis: Exponenten subtrahieren)

Q: Potenzgesetz: (aᵐ)ⁿ = ?
A: aᵐ·ⁿ (Potenz hoch Potenz: Exponenten multiplizieren)

Q: Potenzgesetz: (a · b)ⁿ = ?
A: aⁿ · bⁿ

Q: Potenzgesetz: a⁻ⁿ = ?
A: 1/aⁿ (negativer Exponent = Kehrwert)

Q: Berechne 10³ · 10⁴
A: Exponenten addieren: 10⁷ = 10 000 000

Q: Berechne (10²)³
A: Exponenten multiplizieren: 10⁶ = 1 000 000

Q: Was ist eine Quadratwurzel?
A: √a = b bedeutet b² = a (mit b ≥ 0). Definiert für a ≥ 0.

Q: Was ist √16?
A: 4 (denn 4² = 16).

Q: Was ist √0.25?
A: 0.5 (denn 0.5² = 0.25). Dezimal-Wurzel-Falle: "√(klein) wird grösser" — die Wurzel einer Dezimalzahl zwischen 0 und 1 ist grösser als die ursprüngliche Zahl (0.5 > 0.25). Gilt analog für √0.04 = 0.2, √0.01 = 0.1.

Q: Wurzelgesetz: √(a·b) = ?
A: √a · √b (für a, b ≥ 0)

Q: Wurzelgesetz: √(a/b) = ?
A: √a / √b (für a ≥ 0, b > 0)

Q: Achtung: ist √(a + b) = √a + √b?
A: NEIN! Ein häufiger Fehler. √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Die Wurzel verteilt sich nur auf Produkte, nicht auf Summen.

Q: Vereinfache √50 (teilweises Wurzelziehen)
A: √50 = √(25·2) = √25 · √2 = 5√2

Q: Vereinfache √72
A: √72 = √(36·2) = 6√2

Q: Mache den Nenner rational: 3/√2
A: Mit √2 erweitern: 3/√2 · √2/√2 = 3√2 / 2. Warum erweitern: √2·√2 = √4 = 2, der Nenner wird rational. Erweitern mit √2/√2 ändert den Wert nicht (es ist gleich 1), aber die Form.

Q: Mache den Nenner rational: 1/√5
A: Mit √5 erweitern: √5 / 5

Q: Berechne √2 · √8 ohne Hilfsmittel
A: √(2·8) = √16 = 4

Q: Hierarchie: 2 + 3·√16
A: Wurzel zuerst: √16 = 4. Dann Punkt: 3·4 = 12. Dann Strich: 2 + 12 = 14.

Q: Was ist (−3)²?
A: 9. Klammer schliesst das Minus mit ein: (−3)·(−3) = 9.

Q: Was ist −3²?
A: −9. Ohne Klammer wirkt das Minus nur auf das Resultat: −(3²) = −9.

Q: SI-Vorsatz: G entspricht welcher Zehnerpotenz?
A: G = Giga = 10⁹. Beispiel: 1 GHz = 10⁹ Hz.

Q: SI-Vorsatz: M entspricht welcher Zehnerpotenz?
A: M = Mega = 10⁶. Beispiel: 1 MB = 10⁶ Byte.

Q: SI-Vorsatz: µ (Mikro) entspricht welcher Zehnerpotenz?
A: µ = Mikro = 10⁻⁶. Beispiel: 1 µs = 10⁻⁶ s = eine Millionstelsekunde.

Q: SI-Vorsatz: c (Centi) entspricht welcher Zehnerpotenz?
A: c = Centi = 10⁻². Beispiel: 1 cm = 10⁻² m = 0.01 m.

Q: Wandle 1 cm in m um
A: 1 cm = 10⁻² m = 0.01 m. Centi (c) = 10⁻².

Q: Wandle 1 hPa in Pa um
A: 1 hPa = 100 Pa. Hekto (h) = 10². hPa ist die Standard-Einheit für Luftdruck (Wetterbericht).

Q: Wandle 5 dl in Liter um
A: 5 dl = 0.5 l. Deci (d) = 10⁻¹. Ein Standardglas Wein in der Schweiz ist 1 dl.

Q: SI-Vorsatz: n entspricht welcher Zehnerpotenz?
A: n = Nano = 10⁻⁹. Beispiel: 1 nm = 10⁻⁹ m (Wellenlängenbereich von sichtbarem Licht).