Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 2.2a Lineare Gleichungen

Q: Was ist eine lineare Gleichung?
A: Eine Gleichung, die sich auf die Form a·x + b = 0 bringen lässt. Die Variable kommt nur in der ersten Potenz vor (kein x², kein √x, nicht im Nenner).

Q: Wie sieht die Normalform einer linearen Gleichung aus?
A: a·x + b = 0 mit a, b ∈ ℝ. Alle Glieder mit x auf einer Seite, alle Konstanten auf der anderen.

Q: Wie löst man a·x + b = 0 für a ≠ 0?
A: Subtrahiere b auf beiden Seiten, dividiere durch a: x = −b/a, also ℒ = {−b/a}.

Q: Welche fünf Schritte führen zur Lösung einer linearen Gleichung?
A: 1. Klammern auflösen.
2. Brüche durch Multiplikation mit dem Hauptnenner entfernen.
3. x-Glieder auf eine Seite, Konstanten auf die andere.
4. Durch den Koeffizienten von x dividieren — nur wenn dieser ≠ 0 ist. Sonst ist die Gleichung Identität (𝕃 = ℝ) oder Widerspruch (𝕃 = ∅).
5. Probe in der ursprünglichen Gleichung (nicht in einer Zwischenform).

Q: Wie löst du eine Gleichung mit Brüchen wie x/2 + (x−1)/3 = 4?
A: Multipliziere beide Seiten mit dem Hauptnenner (hier 6): 3x + 2(x−1) = 24. Dann normal weiterlösen.

Q: Welche drei Lösungsfälle gibt es bei einer linearen Gleichung?
A: 1. Eindeutig: a ≠ 0 → ℒ = {−b/a}.
2. Keine Lösung: a = 0 und b ≠ 0 → ℒ = ∅ (Widerspruch).
3. Identität: a = 0 und b = 0 → ℒ = ℝ (alle reellen Zahlen).

Q: Was ist die Lösungsmenge von 3·(x+2) = 3x+6?
A: Klammern auflösen: 3x + 6 = 3x + 6. Beide Seiten identisch — das ist eine Identität, ℒ = ℝ.

Q: Was ist die Lösungsmenge von 4x − 7 = 4x + 3?
A: Subtrahiere 4x: −7 = 3 → Widerspruch. ℒ = ∅, keine Lösung.

Q: Wann kehrt sich das Relationszeichen einer Ungleichung um?
A: Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl. Beispiel: −2x < 6 ⟺ x > −3.

Q: Wie löst man −3x + 8 ≥ 2?
A: −3x ≥ −6 (durch −3 dividieren, Vorzeichen kippt) → x ≤ 2. Intervall: ℒ = (−∞, 2].

Q: Was ist die Lösungsmenge einer Doppelungleichung wie −1 < 2x + 3 ≤ 9?
A: Beide Seiten gleichzeitig umformen: −4 < 2x ≤ 6 → −2 < x ≤ 3. Intervall ℒ = (−2, 3].

Q: Welche drei Darstellungen einer linearen Gleichung gibt es?
A: 1. Algebraisch — Gleichung lösen.
2. Wertetabelle — Probe durch Einsetzen.
3. Grafisch — Schnittpunkt zweier Geraden y = T₁(x) und y = T₂(x).

Q: Wie kann man 2x − 3 = 5 grafisch lösen?
A: Zeichne die Geraden y = 2x − 3 und y = 5. Der Schnittpunkt liegt bei x = 4, also ℒ = {4}.

Q: Wie modellierst du den Sachverhalt: Mietkosten 50 Fr. fix + 14 Fr./h, höchstens 200 Fr.?
A: Variable t = Mietzeit in h. Ungleichung: 50 + 14t ≤ 200. Auflösen: t ≤ 150/14 = 75/7 ≈ 10.71 h. Praxis: Mietgeräte werden meist in 30-Min-Schritten abgerechnet — also höchstens 10.5 h ohne Budget zu überziehen.

Q: Modelliere: Zwei Autos starten 240 km voneinander entfernt, A fährt 80 km/h, B 100 km/h. Treffzeit?
A: Variable t in h. Gleichung: 80t + 100t = 240 → 180t = 240 → t = 4/3 h ≈ 80 min.

Q: Was ist das Vorgehen bei einer Parameterdiskussion a(k)·x = b(k)?
A: 1. Kritische k-Werte mit a(k) = 0 suchen.
2. Für diese k entscheiden: b(k) = 0 → ℒ = ℝ; b(k) ≠ 0 → ℒ = ∅.
3. Sonst: x = b(k)/a(k).

Q: Diskutiere k·x = 6 in Abhängigkeit von k.
A: k ≠ 0: x = 6/k, ℒ = {6/k}.
k = 0: 0 = 6 → Widerspruch, ℒ = ∅.

Q: Diskutiere (k−2)·x = k² − 4.
A: Faktorisieren: k² − 4 = (k−2)(k+2).
k ≠ 2: x = k + 2.
k = 2: 0 = 0 → Identität, ℒ = ℝ.

Q: Wozu dient die Probe?
A: Die berechnete Lösung wird in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt und beide Seiten verglichen. So findet man Rechen- und Umformungsfehler.

Q: Probe: Ist x₀ = 3 Lösung von 7x − 4 = 2x + 11?
A: Linke Seite: 7·3 − 4 = 17. Rechte Seite: 2·3 + 11 = 17. Beide gleich → ja, ℒ = {3}.

Q: Wie löst du 2(3x − 4) = 5(x − 1) + 1?
A: Klammern auflösen: 6x − 8 = 5x − 5 + 1 = 5x − 4. Sortieren: x = 4. Probe: 2·8 = 16, 5·3 + 1 = 16 ✓. ℒ = {4}.

Q: Geometrische Bedeutung der Identität ℒ = ℝ?
A: Die beiden Seiten der Gleichung sind als Funktionen identisch: die zwei Geraden fallen zusammen (gleiche Steigung und gleicher y-Achsenabschnitt). Jeder x-Wert ist „Schnittpunkt", weil die Geraden überall übereinstimmen. Im Gegensatz: bei ℒ = ∅ sind die Geraden parallel (gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte) — sie schneiden sich nirgends.

Q: Geometrische Bedeutung von ℒ = ∅?
A: Die zwei Geraden sind parallel und nicht gleich (gleicher Anstieg, verschiedene y-Achsenabschnitte) — sie schneiden sich nie.

Q: Was ist der Unterschied zwischen Identität und Widerspruch nach Sortieren?
A: Beim Sortieren entsteht 0 = c. Falls c = 0: Identität, ℒ = ℝ. Falls c ≠ 0: Widerspruch, ℒ = ∅.

Q: Wann wählst du eine Ungleichung statt einer Gleichung?
A: Wenn der Sachverhalt eine Schranke beschreibt: höchstens, mindestens, kleiner als, grösser als, nicht überschreiten — alles Hinweise auf eine Ungleichung.