Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 2.2b Quadratische Gleichungen

Q: Was ist eine quadratische Gleichung?
A: Eine Gleichung, die sich auf die Form a·x² + b·x + c = 0 mit a ≠ 0 bringen lässt. Die Variable kommt höchstens in zweiter Potenz vor.

Q: Wie sieht die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung aus?
A: a·x² + b·x + c = 0 mit a, b, c ∈ ℝ und a ≠ 0.

Q: Wie sieht die Normalform (normierte Form) einer quadratischen Gleichung aus?
A: x² + p·x + q = 0. Entsteht aus der allgemeinen Form durch Division der ganzen Gleichung durch a.

Q: Was bedeutet „rein-quadratisch"?
A: Eine Gleichung der Form a·x² + c = 0, also ohne x-Glied (b = 0). Lösbar durch isolieren von x² und Wurzelziehen.

Q: Wie löst man rein-quadratische Gleichungen wie 2x² − 18 = 0?
A: Isolieren: x² = 9. Beide Seiten Wurzelziehen mit ±-Zeichen: x = ±3. ℒ = {−3, 3}.
Falls x² < 0 herauskommt: keine reelle Lösung, ℒ = ∅.

Q: Wie löst man gemischt-quadratische Gleichungen ohne Konstante wie 3x² − 12x = 0?
A: Faktor x ausklammern: x·(3x − 12) = 0. Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder 3x − 12 = 0 → x = 4. ℒ = {0, 4}.

Q: Wie lautet die Mitternachtsformel (abc-Formel)?
A: x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4·a·c)) / (2·a)
für a·x² + b·x + c = 0 mit a ≠ 0.

Q: Wie lautet die pq-Formel?
A: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
für x² + p·x + q = 0 (Normalform).

Q: Wann lohnt sich Faktorisieren als Lösungsweg?
A: Wenn die linke Seite einen offensichtlichen gemeinsamen Faktor hat (z.B. x) oder eine binomische Formel ist. Dann Satz vom Nullprodukt: ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.

Q: Faktorisieren — drei Sub-Methoden, wann welche?
A: (a) x ausklammern bei c = 0: ax² + bx = x·(ax + b) = 0.
(b) Binom erkennen wenn Mittelterm = ±2ab: x² ± 2ax + a² = (x ± a)² = 0.
(c) Zweiklammersatz / Vieta bei ganzzahligen Lösungen in Normalform.

Q: Faktorisieren mit Binom: löse x² − 6x + 9 = 0
A: Mittelterm 6x = 2·3·x, konstantes Glied 9 = 3². Also (x − 3)² = 0 → x = 3 (doppelt). ℒ = {3}.
Stolperstein: Mittelterm muss exakt ±2ab sein — sonst kein reines Binom.

Q: Faktorisieren mit Zweiklammersatz: löse x² − 5x + 6 = 0
A: Suche zwei Zahlen mit Summe 5 und Produkt 6 → 2 und 3.
(x − 2)·(x − 3) = 0 → x₁ = 2, x₂ = 3. ℒ = {2, 3}.
Stolperstein: klappt nur bei rationalen Lösungen — sonst Mitternachtsformel.

Q: Welches Verfahren wählst du für 2x² − 5x − 3 = 0?
A: Vollständig quadratisch mit nicht trivialen Koeffizienten → Mitternachtsformel:
x = (5 ± √(25 + 24))/4 = (5 ± 7)/4 → x₁ = 3, x₂ = −½. ℒ = {−½, 3}.

Q: Was ist die Diskriminante?
A: D = b² − 4·a·c (Term unter der Wurzel der Mitternachtsformel). Sie verrät die Anzahl reeller Lösungen, ohne dass man rechnen muss.

Q: Welche drei Fälle gibt es bei der Diskriminante?
A: D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen, ℒ = {x₁, x₂}.
D = 0: eine doppelte Lösung, ℒ = {−b/(2a)}.
D < 0: keine reelle Lösung, ℒ = ∅.

Q: Wurzelterm-Sicht der Diskriminante in der Mitternachtsformel?
A: In x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a) entscheidet √D:
D > 0: √D ist eine positive reelle Zahl, ± liefert zwei Werte.
D = 0: √0 = 0, der ±-Term verschwindet → eine doppelte Lösung.
D < 0: √(negativ) ist in ℝ nicht definiert → keine reelle Lösung.

Q: Wie viele Lösungen hat x² + 2x + 5 = 0?
A: D = 4 − 20 = −16 < 0 → ℒ = ∅, keine reelle Lösung.

Q: Wie lautet der Satz von Vieta für x² + p·x + q = 0?
A: Mit Lösungen x₁, x₂:
x₁ + x₂ = −p
x₁ · x₂ = q

Q: Wozu kann man Vieta nützen?
A: Lösungen raten bei ganzzahligen Koeffizienten und schnelle Probe. Auch zur Konstruktion einer Gleichung aus gegebenen Lösungen.

Q: Mit Vieta: Welche Gleichung hat die Lösungen 2 und −5?
A: Summe: 2 + (−5) = −3, also p = 3.
Produkt: 2 · (−5) = −10, also q = −10.
Gleichung: x² + 3x − 10 = 0.

Q: Häufiger Fehler: x² = 9 → x = 3?
A: Falsch. Beim Wurzelziehen aus x² immer ±-Zeichen setzen: x = ±3, also ℒ = {−3, 3}. Beide Werte erfüllen die Gleichung.

Q: Häufiger Fehler: x² + x = 0 → durch x teilen?
A: Falsch. Beim Teilen durch x verlierst du die Lösung x = 0. Stattdessen ausklammern: x·(x + 1) = 0 → ℒ = {−1, 0}.

Q: Häufiger Fehler: Mitternachtsformel mit falschem Vorzeichen von b?
A: Achte auf das Minuszeichen vor b: x = (−b ± √…)/(2a). Ist b = −5, dann steht im Zähler +5.

Q: Drei Darstellungen einer quadratischen Gleichung?
A: Algebraisch: a·x² + b·x + c = 0 — exaktes Rechnen.
Tabellarisch: Wertetabelle des Terms; Lösungen sind die x-Werte mit Tabellenwert 0.
Faktorform: a·(x − x₁)·(x − x₂) = 0 — Lösungen direkt ablesbar.

Q: Was bedeutet Parameterdiskussion bei einer quadratischen Gleichung?
A: Diskussion einer Gleichung wie x² + 4x + k = 0 mit Parameter k: Für welche Werte von k hat sie 2, 1 oder 0 Lösungen? Antwort über die Diskriminante D(k).

Q: Wie diskutierst du x² + 4x + k = 0 in Abhängigkeit von k?
A: Diskriminante: D = 16 − 4k.
k < 4: D > 0 → 2 Lösungen.
k = 4: D = 0 → 1 Doppellösung (x = −2).
k > 4: D < 0 → keine reelle Lösung.

Q: Anwendung Bruchgleichung: 12/v + 12/(v−4) = 3/2. Wie kommst du auf die quadratische Form?
A: Mit v·(v−4) durchmultiplizieren: 12(v−4) + 12v = 1.5·v(v−4).
Ausmultiplizieren und auf eine Seite: v² − 20v + 32 = 0.
v = (20 ± √(400−128))/2 ≈ 18.25 km/h (positive Lösung).

Q: Substitution: Wie löst du x⁴ − 5x² + 4 = 0?
A: Setze u = x². Dann u² − 5u + 4 = 0 → u = 1 oder u = 4.
Rück-Substitution: x² = 1 → x = ±1; x² = 4 → x = ±2. ℒ = {−2, −1, 1, 2}.