Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 3.1 Grundlagen Funktionen

Q: Was ist eine reelle Funktion?
A: Eine Zuordnung f : D → W, die jedem x ∈ D ⊆ ℝ genau einen Wert y ∈ W ⊆ ℝ zuordnet.
Schreibweise: x ↦ f(x).

Q: Was ist das Argument einer Funktion?
A: Die unabhängige Variable x — der Eingangswert, frei wählbar aus dem Definitionsbereich D.

Q: Was ist der Funktionswert?
A: Die abhängige Variable y = f(x) — das Ergebnis der Zuordnung für ein gegebenes Argument x.

Q: Was ist der Definitionsbereich D?
A: Die Menge aller x-Werte, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.

Q: Was ist der Wertebereich W?
A: Die Menge aller y-Werte, die die Funktion tatsächlich annehmen kann.

Q: Welche vier Darstellungsformen einer Funktion gibt es?
A: 1. Verbal — Beschreibung der Zuordnung in Worten
2. Wertetabelle — Paare (x, f(x))
3. Graph — Punkte im Koordinatensystem
4. Term/Gleichung — Rechenvorschrift, z.B. f(x) = 2·x + 1

Q: Was ist der Funktionsterm?
A: Die Rechenvorschrift, mit der man aus x den Funktionswert f(x) berechnet — z.B. 2·x + 1.

Q: Welche drei Schreibweisen für eine Funktion gibt es?
A: Zuordnungsvorschrift: x ↦ f(x)
Funktionsgleichung: y = f(x)
Vollform: f : D → W, x ↦ f(x)

Q: Wie lautet der Definitionsbereich von f(x) = 1/x?
A: D = ℝ \ {0}
(Nenner darf nicht 0 sein.)

Q: Wie lautet der Definitionsbereich von f(x) = √x?
A: D = [0; ∞[
(Radikand muss ≥ 0 sein.)

Q: Wie lautet der Definitionsbereich von f(x) = 1/√x?
A: D = ]0; ∞[
(Radikand ≥ 0 und Nenner ≠ 0 → strikt grösser als 0.)

Q: Was ist der Vertikaltest?
A: Eine Kurve im Koordinatensystem ist genau dann der Graph einer Funktion, wenn jede zur y-Achse parallele Gerade die Kurve höchstens in einem Punkt schneidet.

Q: Ist eine senkrechte Gerade x = c ein Funktionsgraph?
A: Nein — bei x = c gibt es unendlich viele y-Werte. Vertikaltest schlägt fehl.

Q: Ist ein Kreis um den Ursprung ein Funktionsgraph?
A: Nein — fast jedes x hat zwei y-Werte (oben und unten). Vertikaltest schlägt fehl.

Q: Ist eine Parabel y = a·x² + b·x + c ein Funktionsgraph?
A: Ja — jeder x-Wert hat genau einen y-Wert.

Q: Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt?
A: y_0 = f(0) — also x = 0 in den Funktionsterm einsetzen.
Der Punkt heisst (0 | f(0)).

Q: Wie berechnet man die Nullstellen einer Funktion?
A: Setze f(x) = 0 und löse die entstandene Gleichung nach x auf.
Die Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse: (x_0 | 0).

Q: Wie viele y-Achsenabschnitte kann eine Funktion höchstens haben?
A: Höchstens einen — denn x = 0 ist genau eine Stelle, und jede Funktion ordnet ihr genau einen y-Wert zu.

Q: Wie viele Nullstellen kann eine Funktion haben?
A: Keine, eine oder mehrere — je nach Funktion. Beispiele: f(x) = x² hat eine Nullstelle (bei 0); g(x) = x² − 4 hat zwei (±2); h(x) = x² + 1 hat keine.

Q: Wie berechnet man den Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen?
A: 1. Funktionsterme gleichsetzen: f(x) = g(x)
2. Gleichung nach x auflösen → x_S
3. x_S in eine Funktion einsetzen → y_S
4. Andere Funktion als Probe.

Q: Können zwei Funktionsgraphen mehrere Schnittpunkte haben?
A: Ja — bei Funktionen unterschiedlichen Grades. Z.B. f(x) = x + 1 und g(x) = x² − 1 schneiden sich zweimal.

Q: Was ist der Unterschied zwischen mathematischem und sachlichem Definitionsbereich?
A: Der mathematische Definitionsbereich ist der grösstmögliche reelle Bereich.
Der sachliche Definitionsbereich (bei Anwendungen) ist oft kleiner — z.B. nur t ≥ 0 bei Zeitabhängigkeit, oder begrenzt durch physikalische Grössen.

Q: Welche Information enthalten Wertetabelle und Graph einer Funktion?
A: Dieselbe Information — alle vier Darstellungsformen (verbal, Tabelle, Graph, Term) sind gleichwertig. Sie machen nur unterschiedliche Aspekte sichtbar.

Q: Was bedeutet f(3) konkret?
A: Den Funktionswert an der Stelle x = 3 — also das y, das die Funktion bei Eingabe von 3 produziert.
Beispiel: für f(x) = 2·x + 1 ist f(3) = 7.

Q: Punktprobe: Liegt P(x_0 | y_0) auf dem Graphen?
A: Setze x_0 in f(x) ein. Wenn f(x_0) = y_0: ja. Sonst: nein.