Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 3.2 Lineare Funktionen

Q: Was ist eine lineare Funktion?
A: Eine Funktion f : ℝ → ℝ, x ↦ m·x + b mit m, b ∈ ℝ. Der Graph ist eine Gerade.

Q: Was bedeutet der Parameter m?
A: Die Steigung der Geraden — gibt an, um wie viel y zunimmt, wenn x um 1 zunimmt.
Formel: m = Δy / Δx.

Q: Was bedeutet der Parameter b?
A: Der y-Achsenabschnitt — der y-Wert an der Stelle x = 0. Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0 | b).

Q: Wie unterscheidet man steigende, fallende und konstante Geraden?
A: Steigend: m > 0
Fallend: m < 0
Konstant (waagrecht): m = 0

Q: Wie berechnet man m aus zwei Punkten P₁(x₁ | y₁), P₂(x₂ | y₂)?
A: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Das ist der Differenzenquotient.

Q: Was ist das Steigungsdreieck?
A: Ein rechtwinkliges Dreieck, mit dem die Steigung grafisch bestimmt wird:
1 Einheit nach rechts (Δx = 1) → m Einheiten nach oben/unten (Δy = m).

Q: Wie stellt man die Funktionsgleichung aus zwei Punkten auf?
A: 1. Steigung: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
2. Einen Punkt einsetzen: y₁ = m·x₁ + b → nach b auflösen.
3. Funktionsgleichung: f(x) = m·x + b.

Q: Wie stellt man die Funktionsgleichung aus Steigung m und einem Punkt P auf?
A: Punktsteigungsform: y − y_P = m·(x − x_P)
Daraus folgt: f(x) = m·x + (y_P − m·x_P).

Q: Wie berechnet man die Nullstelle einer linearen Funktion?
A: f(x) = 0 setzen:
m·x + b = 0 ⟹ x₀ = −b / m  (falls m ≠ 0)
Punkt: (x₀ | 0).

Q: Wie viele Nullstellen hat eine lineare Funktion?
A: Genau eine, falls m ≠ 0.
Falls m = 0 und b ≠ 0: keine (waagrechte Gerade ohne x-Achsenschnitt).
Falls m = 0 und b = 0: jede Stelle (Gerade liegt auf der x-Achse).

Q: Was bedeutet der y-Achsenabschnitt grafisch und rechnerisch?
A: Grafisch: Schnittpunkt mit der y-Achse.
Rechnerisch: y₀ = f(0) = b.
Punkt: (0 | b).

Q: Wann sind zwei Geraden parallel?
A: Wenn ihre Steigungen gleich sind: m₁ = m₂.
(Bei b₁ ≠ b₂ haben sie keinen Schnittpunkt; bei b₁ = b₂ sind sie identisch.)

Q: Wann stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander?
A: Wenn m₁ · m₂ = −1, also m₂ = −1 / m₁.
Das negative Reziproke.

Q: Wie berechnet man den Schnittpunkt zweier Geraden?
A: 1. Funktionsterme gleichsetzen: m₁·x + b₁ = m₂·x + b₂
2. Nach x auflösen → x_S
3. x_S in eine Funktion einsetzen → y_S
4. Probe in der anderen Funktion.

Q: Wann haben zwei Geraden keinen Schnittpunkt?
A: Wenn sie parallel und nicht identisch sind: m₁ = m₂ und b₁ ≠ b₂.
Beim Gleichsetzen entsteht ein Widerspruch (z.B. 3 = 5).

Q: Wann haben zwei Geraden unendlich viele Schnittpunkte?
A: Wenn sie identisch sind: m₁ = m₂ und b₁ = b₂.
Beim Gleichsetzen entsteht eine wahre Aussage (z.B. 0 = 0).

Q: Welche Punkte liegen auf der x-Achse?
A: Alle Punkte (x | 0) — die y-Koordinate ist 0.
Auf der x-Achse selbst ist die Gerade y = 0 (also m = 0, b = 0).

Q: Welche Geradengleichung beschreibt eine waagrechte Gerade durch (0 | 4)?
A: y = 4  (also m = 0, b = 4).
Die Funktion ist konstant: f(x) = 4.

Q: Welche Gleichung beschreibt eine senkrechte Gerade?
A: x = c für eine Konstante c.
Wichtig: Senkrechte Geraden sind keine Funktionen — Vertikaltest schlägt fehl.

Q: Was bedeutet direkte Proportionalität?
A: Eine lineare Funktion mit b = 0: f(x) = m·x.
Der Graph geht durch den Ursprung (0 | 0). m heisst dann auch Proportionalitätsfaktor.

Q: Wie modelliert man typische Anwendungen mit linearen Funktionen?
A: Beispiel: Tank entleeren. V(t) = V₀ − k·t.
• V₀ = Anfangswert (y-Achsenabschnitt)
• −k = Verlust pro Zeiteinheit (Steigung)
• Nullstelle: Zeitpunkt, wann der Tank leer ist.

Q: Was unterscheidet mathematischen und sachlichen Definitionsbereich?
A: Mathematisch: D = ℝ (alle reellen Zahlen einsetzbar).
Sachlich: bei Anwendungen oft kleiner — z.B. nur t ≥ 0 (keine negative Zeit) oder begrenzt durch physikalische Grössen.

Q: Wie liest man m und b aus dem Graphen ab?
A: b: Schnittpunkt mit y-Achse direkt ablesen.
m: Steigungsdreieck — 1 Einheit nach rechts, dann zählen, wie viele Einheiten nach oben/unten.

Q: Sind zwei Geraden mit m₁ = 2 und m₂ = −0.5 senkrecht?
A: Ja. m₁ · m₂ = 2 · (−0.5) = −1 ✓.
Senkrechtkriterium erfüllt.

Q: Wie heisst die allgemeine Form der Geradengleichung?
A: Hauptform: y = m·x + b
Punktsteigungsform: y − y_P = m·(x − x_P)
Achsenabschnittsform: x/p + y/q = 1 mit p = Nullstelle, q = y-Achsenabschnitt.