Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 3.3 Quadratische Funktionen

Q: Was ist eine quadratische Funktion?
A: Eine Funktion f : ℝ → ℝ, x ↦ a·x² + b·x + c mit a ≠ 0. Der Graph ist eine Parabel.

Q: Welche drei Darstellungsformen einer quadratischen Funktion gibt es?
A: 1. Allgemeine Form: f(x) = a·x² + b·x + c
2. Scheitelform: f(x) = a·(x − u)² + v
3. Linearfaktorform: f(x) = a·(x − x₁)·(x − x₂)

Q: Was kann man aus der Allgemeinen Form direkt ablesen?
A: Den y-Achsenabschnitt c = f(0).
Vorzeichen von a ⇒ Öffnungsrichtung.

Q: Was kann man aus der Scheitelform direkt ablesen?
A: Den Scheitelpunkt S(u | v) und die Symmetrieachse x = u.

Q: Was kann man aus der Linearfaktorform direkt ablesen?
A: Die Nullstellen x₁ und x₂.

Q: Wie lautet die Mitternachtsformel?
A: x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4·a·c)) / (2·a)

Q: Was ist die Diskriminante?
A: D = b² − 4·a·c
Sie steht unter der Wurzel der Mitternachtsformel.

Q: Was sagt die Diskriminante aus?
A: D > 0: 2 verschiedene Nullstellen
D = 0: 1 doppelte Nullstelle (Scheitel auf x-Achse)
D < 0: keine reelle Nullstelle

Q: Wie berechnet man den Scheitel aus der Allgemeinen Form?
A: u = −b / (2·a)
v = f(u)
oder durch quadratische Ergänzung.

Q: Was bedeutet das Vorzeichen von a?
A: a > 0: Parabel nach oben offen, Scheitel ist Minimum.
a < 0: Parabel nach unten offen, Scheitel ist Maximum.

Q: Was bedeutet der Betrag von a?
A: |a| > 1: gestreckt (schmaler).
0 < |a| < 1: gestaucht (breiter).
|a| = 1: Normalparabel-Form.

Q: Wie stellt man die Funktionsgleichung aus Scheitel und einem Punkt auf?
A: Ansatz Scheitelform: f(x) = a·(x − u)² + v.
Den weiteren Punkt P einsetzen ⇒ a berechnen.

Q: Wie stellt man die Funktionsgleichung aus zwei Nullstellen und einem Punkt auf?
A: Ansatz Linearfaktorform: f(x) = a·(x − x₁)·(x − x₂).
Den weiteren Punkt einsetzen ⇒ a berechnen.

Q: Wie stellt man die Funktionsgleichung aus drei Punkten auf?
A: Ansatz: f(x) = a·x² + b·x + c.
Drei Punkte einsetzen ⇒ Gleichungssystem für a, b, c lösen.

Q: Wie wandelt man die Scheitelform in die Allgemeine Form um?
A: Klammern ausmultiplizieren und Terme zusammenfassen.
Beispiel: 2·(x − 3)² − 5 = 2·x² − 12·x + 13.

Q: Wie wandelt man die Allgemeine Form in die Scheitelform um?
A: Mit der Scheitelformel: u = −b/(2a), v = f(u) — oder per quadratischer Ergänzung.

Q: Wie wandelt man die Allgemeine Form in die Linearfaktorform um?
A: Mitternachtsformel anwenden, Nullstellen x₁, x₂ bestimmen.
Dann f(x) = a·(x − x₁)·(x − x₂).
(Nur möglich wenn D ≥ 0.)

Q: Welche Form gibt es nur, wenn D ≥ 0?
A: Die Linearfaktorform. Bei D < 0 hat die Parabel keine reellen Nullstellen, also keine Linearfaktorzerlegung über ℝ.

Q: Wie lautet der Bremsweg in Abhängigkeit der Geschwindigkeit (Faustformel)?
A: s(v) = (v / 10)²  =  v² / 100
(s in m, v in km/h)
Verdoppelte Geschwindigkeit ⇒ vierfacher Bremsweg.

Q: Wie lautet die Höhenfunktion beim freien Fall?
A: h(t) = h₀ − ½·g·t²
mit g ≈ 9{,}81 m/s²

Q: Wie maximiert man typischerweise einen Umsatz U(p) = p·x(p) bei linearer Absatzfunktion?
A: Bei x(p) = k·p + d wird U(p) eine quadratische Funktion in p.
Maximum am Scheitel: p* = −d / (2·k).

Q: Wie lautet der Scheitel der Normalparabel?
A: S(0 | 0). Die Normalparabel ist f(x) = x².

Q: Was ist eine reine quadratische Funktion?
A: Eine quadratische Funktion mit b = 0:
f(x) = a·x² + c
Symmetrisch zur y-Achse.

Q: Wann verläuft die Parabel durch den Ursprung?
A: Wenn c = 0, also f(x) = a·x² + b·x.
Eine Nullstelle liegt dann immer bei x = 0.

Q: Was ist die Symmetrieachse einer Parabel in Scheitelform?
A: Die senkrechte Gerade x = u durch den Scheitel.