Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 4.3 Masszahlen

Q: Was ist der Mittelwert?
A: Summe aller Werte geteilt durch n. Symbol: x̄ ("x quer"). Formel: x̄ = (1/n)·Σxᵢ

Q: Was ist der Median?
A: Der mittlere Wert der sortierten Liste. Bei geradem n: Mittelwert der zwei mittleren Werte. Symbol: x̃ ("x Schlange").

Q: Was ist der Modus?
A: Der häufigste Wert. Funktioniert auch für kategoriale Daten. Symbol: x̂ ("x Dach").

Q: Berechne den Mittelwert von 4, 7, 2, 9, 8
A: (4+7+2+9+8)/5 = 30/5 = 6

Q: Berechne den Median von 4, 7, 2, 9, 8
A: Sortiert: 2, 4, 7, 8, 9. Mittlere Position (3): 7

Q: Berechne den Median von 3, 5, 8, 10
A: n gerade. Mittel der Positionen 2 und 3: (5+8)/2 = 6.5

Q: Was ist die Standardabweichung?
A: Mittlere Abweichung vom Mittelwert. Formel: s = √((1/(n−1))·Σ(xᵢ−x̄)²)

Q: Was ist die Varianz?
A: Das Quadrat der Standardabweichung. s² = (1/(n−1))·Σ(xᵢ−x̄)²

Q: Warum dividieren wir bei s durch (n−1) und nicht durch n?
A: Bei einer Stichprobe liefert n−1 eine bessere Schätzung der Streuung in der Grundgesamtheit. Tabellenkalkulation: STABW.S bzw. STDEV.S.

Q: Was sind Quartile?
A: Q₁, Q₂, Q₃ teilen die sortierte Liste in vier gleich grosse Teile. Q₂ = Median.

Q: Was ist Q₁?
A: Das untere Quartil — 25 % der Werte sind kleiner. Median der unteren Hälfte.

Q: Was ist Q₃?
A: Das obere Quartil — 75 % der Werte sind kleiner. Median der oberen Hälfte.

Q: Was ist die Quartilsdifferenz (IQR)?
A: QD = Q₃ − Q₁. Breite der mittleren 50 % der Daten. Im Boxplot: Boxbreite.

Q: Was bedeutet robust?
A: Eine Kennzahl ist robust, wenn sie durch einzelne Extremwerte (Ausreisser) kaum verändert wird.

Q: Median oder Mittelwert — welches ist robust?
A: Median ist robust. Mittelwert reagiert stark auf Ausreisser.

Q: Wann Mittelwert verwenden?
A: Bei symmetrischer Verteilung ohne Ausreisser.

Q: Wann Median verwenden?
A: Bei schiefer Verteilung oder mit Ausreissern. Beispiel: Einkommen, Wartezeiten.

Q: Faustregel: x̄ und x̃ weit auseinander → ?
A: Verteilung ist schief, oft mit Ausreissern. Median bevorzugen.

Q: Faustregel: x̄ und x̃ nahe beieinander → ?
A: Verteilung ist annähernd symmetrisch. Beide Lagemasse funktionieren.

Q: Excel: Mittelwert in A1:A100
A: =MITTELWERT(A1:A100) bzw. englisch =AVERAGE(A1:A100)

Q: Excel: Standardabweichung der Stichprobe
A: =STABW.S(A1:A100) bzw. englisch =STDEV.S(A1:A100)

Q: Excel: Quartilsdifferenz in einer Formel
A: =QUARTILE.INKL(A:A;3) − QUARTILE.INKL(A:A;1)

Q: Wenn s = 0, was bedeutet das?
A: Alle Werte der Stichprobe sind gleich. Keine Streuung.

Q: Welche fünf Zahlen bilden den Boxplot?
A: min, Q₁, Median, Q₃, max. Box von Q₁ bis Q₃, Mittellinie am Median, Whisker zu min und max.

Q: Welche Masszahl ist nur für kategoriale Daten sinnvoll?
A: Modus. Mittelwert und Median brauchen Zahlen mit Reihenfolge.

Q: Welches Streumass passt zum Median?
A: Quartilsdifferenz (QD). Beide sind robust und passen zum Boxplot.

Q: Welches Streumass passt zum Mittelwert?
A: Standardabweichung. Beide nutzen alle Werte mit voller Stärke.

Q: Merksatz: Lage und Streuung
A: Eine Stichprobe ist erst beschrieben, wenn beide angegeben sind: Lage (wo liegt die Mitte?) und Streuung (wie breit verteilt?). Mittelwert + s gehen zusammen, Median + QD gehen zusammen.