Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 5.2a Dreiecke

Q: Bezeichnung der Seiten im Dreieck
A: Eine Seite heisst stets nach dem gegenüberliegenden Eckpunkt: a = BC (gegenüber A), b = CA (gegenüber B), c = AB (gegenüber C).

Q: Innenwinkelsumme im Dreieck
A: α + β + γ = 180°. Folgt aus dem Wechselwinkelsatz an einer Parallelen durch C zur Seite c.

Q: Was ist ein Aussenwinkel?
A: Der Nebenwinkel eines Innenwinkels: α' = 180° − α. Jeder Eckpunkt hat einen Aussenwinkel.

Q: Aussenwinkelsumme
A: α' + β' + γ' = 360°.

Q: Aussenwinkelsatz
A: Jeder Aussenwinkel ist gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel: α' = β + γ.

Q: Was ist ein gleichschenkliges Dreieck?
A: Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten (Schenkeln). Die beiden Basiswinkel sind gleich gross.

Q: Was ist ein gleichseitiges Dreieck?
A: Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten. Alle Innenwinkel betragen 60°.

Q: Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?
A: Ein Dreieck mit einem Innenwinkel von 90°. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heisst Hypotenuse und ist die längste Seite.

Q: Höhe im gleichseitigen Dreieck mit Seite s
A: h = s · √3 / 2. (Folgt aus dem halben gleichseitigen Dreieck mit Seitenverhältnis 1 : √3 : 2.)

Q: Was ist eine Höhe im Dreieck?
A: Strecke von einer Ecke senkrecht zur gegenüberliegenden Seite (oder deren Verlängerung). Schnittpunkt der drei Höhen: Höhenschnittpunkt H.

Q: Wo liegt der Höhenschnittpunkt?
A: Bei spitzwinkligen Dreiecken im Innern, bei rechtwinkligen auf der Ecke C, bei stumpfwinkligen ausserhalb.

Q: Was ist eine Seitenhalbierende?
A: Strecke von einer Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Schnittpunkt: Schwerpunkt S, teilt jede im Verhältnis 2 : 1 vom Eckpunkt.

Q: Was ist eine Mittelsenkrechte?
A: Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Seite verläuft. Schnittpunkt: Umkreismittelpunkt M_U — gleich weit von allen Eckpunkten.

Q: Was ist eine Winkelhalbierende?
A: Strahl, der einen Innenwinkel in zwei gleiche Teile teilt. Schnittpunkt: Inkreismittelpunkt M_I — gleich weit von allen Seiten.

Q: Vier merkwürdige Punkte — Übersicht
A: Höhen → H
Seitenhalbierende → S (2:1)
Mittelsenkrechte → M_U (Umkreis)
Winkelhalbierende → M_I (Inkreis)

Q: Was bedeutet kongruent?
A: Deckungsgleich — durch Drehung, Spiegelung oder Verschiebung exakt zur Deckung zu bringen.

Q: Kongruenzsatz SSS
A: Drei Seiten gegeben. Eindeutig, wenn die Dreiecksungleichung erfüllt ist.

Q: Kongruenzsatz SWS
A: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel. Immer eindeutig.

Q: Kongruenzsatz WSW
A: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel. Eindeutig, solange α + β < 180°.

Q: Kongruenzsatz SsW
A: Zwei Seiten und der Winkel gegenüber der grösseren Seite (Grossbuchstabe S — kleines s). Eindeutig.

Q: Achtung: sSW — Winkel gegenüber kleinerer Seite
A: Im Allgemeinen nicht eindeutig. Es gibt 0, 1 oder 2 Lösungen je nach Verhältnis von b·sin(α) zu a.

Q: Was ist die Dreiecksungleichung?
A: Jede Seite ist kürzer als die Summe und länger als die Differenz der beiden anderen. Reicht zu prüfen: längste Seite < Summe der anderen zwei.

Q: Fläche eines allgemeinen Dreiecks
A: A = (g · h) / 2
g = beliebige Grundseite, h = zugehörige Höhe.

Q: Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit Seite s
A: A = s² · √3 / 4.

Q: Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks (Katheten a, b)
A: A = (a · b) / 2.

Q: Satz des Pythagoras
A: Im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse c und Katheten a, b: a² + b² = c².

Q: Kathetensatz des Euklid
A: Im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenusenabschnitten p (unter a) und q (unter b):
a² = p · c
b² = q · c.

Q: Höhensatz des Euklid
A: Höhe h auf der Hypotenuse, Hypotenusenabschnitte p und q: h² = p · q.

Q: Kehrsatz des Pythagoras
A: Wenn in einem Dreieck a² + b² = c² gilt (mit c als längster Seite), dann ist es rechtwinklig mit rechtem Winkel gegenüber c.

Q: Seitenverhältnis 30°-60°-90°-Dreieck
A: 1 : √3 : 2. Entsteht beim Halbieren eines gleichseitigen Dreiecks.

Q: Seitenverhältnis 45°-45°-90°-Dreieck
A: 1 : 1 : √2. Entsteht beim Halbieren eines Quadrats entlang der Diagonale.

Q: Drei bekannte pythagoreische Tripel
A: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17). Vielfache (z.B. 6, 8, 10) sind ebenfalls Tripel.