Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 5.2b Vierecke

Q: Innenwinkelsumme im Viereck
A: α + β + γ + δ = 360°. Beweis: Eine Diagonale teilt das Viereck in zwei Dreiecke à 180°.

Q: Innenwinkelsumme im n-Eck
A: σ_n = (n − 2) · 180°. Folgt aus der Zerlegung in n−2 Dreiecke, ausgehend von einem Eckpunkt.

Q: Anzahl Diagonalen im n-Eck
A: n · (n − 3) / 2. Im Achteck: 8·5/2 = 20 Diagonalen.

Q: Vierecks-Hierarchie
A: Viereck → Trapez → Parallelogramm → Rechteck / Rhombus → Quadrat. Jede speziellere Form erbt alle Eigenschaften der allgemeineren.

Q: Was ist ein Trapez?
A: Ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten. Die parallelen Seiten heissen a und c, die Schenkel b und d.

Q: Was ist ein Parallelogramm?
A: Ein Viereck, in dem beide Seitenpaare parallel sind. Folgerung: Gegenseiten gleich lang, Diagonalen halbieren sich.

Q: Was ist ein Rechteck?
A: Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel (dann sind alle vier 90°). Folgerung: Diagonalen sind gleich lang.

Q: Was ist ein Rhombus (Raute)?
A: Ein Parallelogramm mit allen vier Seiten gleich lang. Folgerung: Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren die Innenwinkel.

Q: Was ist ein Quadrat?
A: Rechteck und Rhombus zugleich: alle Seiten gleich, alle Winkel 90°.

Q: Was ist ein Drachenviereck?
A: Viereck mit zwei Paaren gleich langer benachbarter Seiten. Eine Symmetrieachse, Diagonalen senkrecht.

Q: Unterschied Rhombus und Drachen
A: Rhombus: alle vier Seiten gleich. Drachen: zwei Paare benachbarter gleicher Seiten, beide Paare nicht zwingend gleich lang. Jeder Rhombus ist Drachen, nicht umgekehrt.

Q: Mittellinie im Trapez
A: Strecke, die die Mittelpunkte der Schenkel verbindet. Länge: m = (a + c) / 2. Parallel zu a und c. Daraus: A = m · h.

Q: Fläche Quadrat (Seite a)
A: A = a²; Umfang U = 4a.

Q: Fläche Rechteck (Seiten a, b)
A: A = a · b; Umfang U = 2(a + b).

Q: Fläche Parallelogramm
A: A = g · h mit g = Grundseite, h = Höhe (nicht der Schenkel!). Umfang U = 2(a + b).

Q: Fläche Trapez
A: A = ½ · (a + c) · h = m · h. Höhe h ist der senkrechte Abstand der parallelen Seiten.

Q: Fläche Rhombus oder Drachen (Diagonalen e, f)
A: A = ½ · e · f. Gilt für alle Vierecke mit senkrecht aufeinander stehenden Diagonalen.

Q: Eigenschaften der Diagonalen im Parallelogramm
A: Sie halbieren sich gegenseitig im Schnittpunkt.

Q: Eigenschaften der Diagonalen im Rechteck
A: Sie halbieren sich UND sind gleich lang.

Q: Eigenschaften der Diagonalen im Rhombus
A: Sie halbieren sich, stehen senkrecht aufeinander und halbieren die Innenwinkel.

Q: Was ist ein Sehnenviereck?
A: Ein Viereck, dessen vier Eckpunkte auf einem gemeinsamen Kreis (Umkreis) liegen.

Q: Charakterisierung Sehnenviereck
A: α + γ = 180° und β + δ = 180° — gegenüberliegende Innenwinkel ergänzen sich auf 180°.

Q: Was ist ein Tangentenviereck?
A: Ein Viereck, in das ein Inkreis passt (berührt alle vier Seiten von innen).

Q: Charakterisierung Tangentenviereck
A: a + c = b + d — Summen gegenüberliegender Seiten sind gleich.

Q: Welche Vierecke sind immer Sehnenvierecke?
A: Rechteck und Quadrat. Auch gleichschenkliges Trapez.

Q: Welche Vierecke sind immer Tangentenvierecke?
A: Quadrat, Rhombus, Drachen.

Q: Was ist ein regelmässiges n-Eck?
A: Ein n-Eck mit allen Seiten gleich lang UND allen Innenwinkeln gleich gross. Hat einen Umkreis (R) und einen Inkreis (Apothem r).

Q: Zentriwinkel im regelmässigen n-Eck
A: ζ_n = 360° / n. Beispiele: ζ_3 = 120°, ζ_4 = 90°, ζ_6 = 60°.

Q: Innenwinkel im regelmässigen n-Eck
A: α_n = 180° − ζ_n = (n−2)·180°/n. Beispiele: α_6 = 120°, α_8 = 135°.

Q: Seitenlänge im regelmässigen n-Eck
A: s = 2R · sin(ζ_n / 2). Im Sechseck: s = R (ohne Trigonometrie, weil das Sechseck aus sechs gleichseitigen Dreiecken besteht).

Q: Inkreisradius (Apothem) im regelmässigen n-Eck
A: r = R · cos(ζ_n / 2). Die Höhe eines Bestimmungsdreiecks vom Mittelpunkt zur Seitenmitte.

Q: Regelmässiges Sechseck — exakte Werte
A: Mit Umkreisradius R: s = R, r = R√3/2. Zentriwinkel 60°, Innenwinkel 120°. Zerlegt in 6 gleichseitige Dreiecke.

Q: Regelmässiges Dreieck (gleichseitig) — exakte Werte
A: Mit Umkreisradius R: s = R√3, r = R/2. Zentriwinkel 120°, Innenwinkel 60°.

Q: Regelmässiges Quadrat — exakte Werte
A: Mit Umkreisradius R: s = R√2, r = R√2/2. Zentriwinkel 90°, Innenwinkel 90°.

Q: Fläche regelmässiges n-Eck
A: A = ½ · n · s · r = ½ · U · r. Halber Umfang mal Apothem.