Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 5.2c Kreis und Kreisteile

Q: Definition: Kreis (Mittelpunkt M, Radius r)
A: Menge aller Punkte in der Ebene mit Abstand r zum Mittelpunkt M.

Q: Was ist der Durchmesser d eines Kreises?
A: Strecke durch M, die beide Kreislinien-Punkte verbindet. Es gilt d = 2r.

Q: Was ist eine Sehne?
A: Eine Strecke, die zwei Punkte der Kreislinie verbindet (ohne durch M zu gehen).

Q: Was ist eine Sekante?
A: Eine Gerade, die die Kreislinie in zwei Punkten schneidet.

Q: Was ist eine Tangente?
A: Eine Gerade, die die Kreislinie in genau einem Punkt berührt. Sie steht dort senkrecht auf dem Radius.

Q: Was ist eine Passante?
A: Eine Gerade, die die Kreislinie nicht schneidet (verläuft komplett ausserhalb).

Q: Welche Symbole sind Strecken, welche Geraden?
A: Strecken: r (Radius), d (Durchmesser), s (Sehne).
Geraden: g (Sekante), t (Tangente), p (Passante).

Q: Tangenten-Eigenschaft
A: Die Tangente steht im Berührungspunkt senkrecht auf dem Radius: t ⊥ r.

Q: Definition der Kreiszahl π
A: π = U / d = Umfang geteilt durch Durchmesser. Bei jedem Kreis gleich.

Q: Ungefährer Wert von π (5 Stellen)
A: π ≈ 3,14159.

Q: Eigenschaften von π
A: π ist irrational (kein Bruch) und sogar transzendent (nicht Lösung einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten).

Q: Pi-Schranken: einbeschriebenes n-Eck im Einheitskreis
A: u_n / d = n · sin(180°/n). Bei n = 6: u_6/d = 3 (untere Schranke).

Q: Pi-Schranken: umschriebenes n-Eck im Einheitskreis
A: U_n / d = n · tan(180°/n). Bei n = 6: U_6/d = 2√3 ≈ 3,4641 (obere Schranke).

Q: Was leistete Archimedes mit n = 96?
A: Er klemmte π ein: 3,1408 < π < 3,1429 — drei Nachkommastellen gesichert.

Q: Kreis-Umfang (Formeln)
A: U = 2πr = πd.

Q: Kreis-Fläche (Formeln)
A: A = πr² = πd² / 4.

Q: Herleitung der Flächenformel (Idee)
A: Kreis in viele Sektoren schneiden, abwechselnd auflegen → Quasi-Rechteck mit Höhe r und Breite πr. Fläche = πr · r = πr².

Q: Definition: Kreisring
A: Bereich zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit Aussenradius R und Innenradius r.

Q: Kreisring: Breite und mittlerer Radius
A: Breite: b = R − r. Mittlerer Radius: r_m = (R + r) / 2.

Q: Kreisring: Flächenformeln (drei Varianten)
A: A = R²π − r²π = (R − r)(R + r)π = 2π · r_m · b.

Q: Anschauliche Bedeutung von A = 2π r_m · b
A: „Mittlerer Umfang mal Breite" — aufgeschnittener Ring ≈ Rechteck mit Länge U_Mitte und Breite b.

Q: Definition: Kreissektor (Kreisausschnitt)
A: Bereich zwischen zwei Radien und dem dazugehörigen Bogen. Gekennzeichnet durch Radius r und Zentriwinkel φ.

Q: Bogenlänge eines Sektors (Grad)
A: b = r · π · φ / 180° = (φ / 360°) · 2πr.

Q: Sektorfläche (zwei Formen)
A: A_SK = r² · π · φ / 360° = ½ · b · r.

Q: Spezialfall Sektor: Halbkreis (φ = 180°)
A: A_SK = ½ πr², b = πr.

Q: Spezialfall Sektor: Viertelkreis (φ = 90°)
A: A_SK = ¼ πr², b = ½ πr. Anteil am Vollkreis: 25 %.

Q: Definition: Kreissegment (Kreisabschnitt)
A: Bereich zwischen einer Sehne und dem zugehörigen Kreisbogen.

Q: Sehne s im Kreissegment (in Abhängigkeit von r und φ)
A: s = 2r · sin(φ/2).

Q: Segmenthöhe h im Kreissegment
A: h = r · (1 − cos(φ/2)).

Q: Pythagoras-Beziehung im Segment
A: (s/2)² + (r − h)² = r². (Verbindet s, h und r.)

Q: Segmentfläche (Hauptformel)
A: A_SG = A_Sektor − A_Dreieck = r² π φ / 360° − s(r − h) / 2.

Q: Beziehung Bogen ↔ Sektorfläche
A: A_SK = ½ · b · r — wie Dreiecksformel: halbe „Grundseite" mal Höhe.