Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 5.2d Zentrische Streckung und Ähnlichkeit

Q: Definition: zentrische Streckung
A: Zentrum Z und Streckfaktor k ≠ 0. Jeder Punkt P wird abgebildet auf P′ mit ZP′ = k · ZP (Vektoren).

Q: Bedeutung k = 1
A: Identität: Bild = Original.

Q: Bedeutung k = −1
A: Punktspiegelung am Zentrum Z. Längen bleiben gleich, Orientierung kehrt sich um.

Q: Bedeutung |k| > 1
A: Vergrösserung: Bildstrecken sind länger als Originalstrecken.

Q: Bedeutung 0 < |k| < 1
A: Verkleinerung: Bildstrecken sind kürzer als Originalstrecken.

Q: Bedeutung k < 0
A: Bildpunkt liegt auf der anderen Seite von Z; Figur wird zusätzlich am Zentrum gespiegelt (gegensinnig).

Q: Vier Eigenschaften der zentrischen Streckung
A: Gleichsinnig (bei k > 0), parallelentreu, winkeltreu, verhältnistreu.

Q: Was bedeutet «verhältnistreu»?
A: Der Quotient aus Bildstrecke und Originalstrecke ist konstant und gleich dem Streckfaktor k.

Q: Streckfaktor und Längen
A: Strecken werden mit |k| skaliert: a′ = |k| · a.

Q: Streckfaktor und Flächen
A: Flächen werden mit k² skaliert: A′ = k² · A.

Q: Streckfaktor und Volumina (im Raum)
A: Volumina werden mit |k|³ skaliert: V′ = |k|³ · V.

Q: 1. Strahlensatz (Aussage)
A: Schneiden zwei Strahlen mit Anfangspunkt S zwei Parallelen AB und A′B′ (AB ∥ A′B′), so gilt:
SA : SA′ = SB : SB′
und gleichwertig SA : AA′ = SB : BB′.

Q: 2. Strahlensatz (Aussage)
A: Unter denselben Voraussetzungen stehen die Parallelenabschnitte im gleichen Verhältnis wie die Strahlenabschnitte: SA : SA′ = AB : A′B′ und SB : SB′ = AB : A′B′.

Q: Umkehrung des 1. Strahlensatzes
A: Gilt SA : SA′ = SB : SB′, dann sind die Geraden AB und A′B′ parallel. (Standardkonstruktion für Parallele durch einen Punkt.)

Q: Strahlensätze — Voraussetzung
A: Zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt S, geschnitten von zwei zueinander parallelen Geraden.

Q: Strahlensatz — typische Anwendung
A: Drei Strecken bekannt, eine vierte berechnen. Setze die Verhältnisse gleich und löse die entstehende Proportionsgleichung.

Q: Definition: ähnliche Figuren
A: Zwei Figuren F₁ und F₂ sind ähnlich (F₁ ~ F₂), wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung ineinander überführt werden können.

Q: Was ist eine Ähnlichkeitsabbildung?
A: Eine zentrische Streckung, evtl. kombiniert mit Verschiebung, Drehung oder Spiegelung.

Q: Drei Eigenschaften ähnlicher Figuren
A: 1. Sich entsprechende Winkel sind gleich gross.
2. Sich entsprechende Streckenverhältnisse sind konstant (= k).
3. Flächen verhalten sich wie k².

Q: Hauptähnlichkeitssatz am Dreieck
A: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. (Kürzel: WW.)

Q: Warum reichen zwei Winkel?
A: Weil die Innenwinkelsumme im Dreieck immer 180° beträgt — der dritte Winkel folgt automatisch.

Q: Ähnlichkeitssatz SSS
A: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis aller drei entsprechender Seiten übereinstimmen: a′/a = b′/b = c′/c.

Q: Ähnlichkeitssatz sWs
A: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier entsprechender Seiten und im eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.

Q: Ähnlichkeitssatz SsW
A: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier entsprechender Seiten und im Gegenwinkel der grösseren Seite übereinstimmen.

Q: Hauptähnlichkeitssatz im rechtwinkligen Dreieck
A: Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit ∠C = 90° und Höhe h auf der Hypotenuse c (Fusspunkt H) sind die drei Dreiecke ABC ~ AHC ~ CHB ähnlich.

Q: Kathetensatz (Euklid)
A: Im rechtwinkligen Dreieck: a² = p · c und b² = q · c. (Kathetenquadrat = Hypotenusenabschnitt × Hypotenuse.)

Q: Höhensatz (Euklid)
A: Im rechtwinkligen Dreieck mit Höhe h auf der Hypotenuse: h² = p · q. (Höhenquadrat = Produkt der Hypotenusenabschnitte.)

Q: Pythagoras als Folge des Kathetensatzes
A: a² + b² = pc + qc = (p + q) · c = c · c = c². (Mit p + q = c.)

Q: Höhe aus den Katheten
A: h = a · b / c. (Flächengleichheit: ½ ab = ½ ch.)

Q: Massstab 1:N — Flächenfaktor
A: Längenfaktor 1/N, also Flächenfaktor (1/N)² = 1/N². Beispiel: Karte 1:25 000 → 1 cm² Karte = 625 000 000 cm² = 6,25 ha real.

Q: Schattenwurf-Methode (Höhenmessung)
A: Höhe und Schatten verhalten sich für alle Objekte zur selben Sonnenzeit gleich: h_Objekt / h_Stab = Schatten_Objekt / Schatten_Stab.

Q: Wann sind die Kongruenzsätze und die Ähnlichkeitssätze verwandt?
A: Die Ähnlichkeitssätze sind die Verallgemeinerung der Kongruenzsätze: statt gleicher Seitenlängen verlangt man gleiche Seitenverhältnisse. Bei Streckfaktor k = 1 fallen sie zusammen.