Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 5.3 Trigonometrische Berechnungen

Q: Was bedeutet die Eselsbrücke SOH-CAH-TOA?
A: Sin = Opposite / Hypotenuse → sin = Gegenkathete/Hypotenuse
Cos = Adjacent / Hypotenuse → cos = Ankathete/Hypotenuse
Tan = Opposite / Adjacent → tan = Gegenkathete/Ankathete

Q: Definition: sin(α) im rechtwinkligen Dreieck
A: sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
(Die Gegenkathete liegt dem Winkel α gegenüber.)

Q: Definition: cos(α) im rechtwinkligen Dreieck
A: cos(α) = Ankathete / Hypotenuse
(Die Ankathete liegt am Winkel α an.)

Q: Definition: tan(α) im rechtwinkligen Dreieck
A: tan(α) = Gegenkathete / Ankathete
= sin(α) / cos(α)

Q: Was ist die Hypotenuse?
A: Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Q: Was ist die Gegenkathete zu einem Winkel α?
A: Die Kathete, die dem Winkel α gegenüber liegt (sie berührt α nicht).

Q: Was ist die Ankathete zu einem Winkel α?
A: Die Kathete, die am Winkel α anliegt (sie ist nicht die Hypotenuse).

Q: sin(0°) = ?
A: 0

Q: sin(30°) = ?
A: 1/2 = 0.5

Q: sin(45°) = ?
A: √2/2 ≈ 0.707

Q: sin(60°) = ?
A: √3/2 ≈ 0.866

Q: sin(90°) = ?
A: 1

Q: cos(0°) = ?
A: 1

Q: cos(30°) = ?
A: √3/2 ≈ 0.866

Q: cos(45°) = ?
A: √2/2 ≈ 0.707

Q: cos(60°) = ?
A: 1/2 = 0.5

Q: cos(90°) = ?
A: 0

Q: tan(0°) = ?
A: 0

Q: tan(30°) = ?
A: 1/√3 = √3/3 ≈ 0.577

Q: tan(45°) = ?
A: 1

Q: tan(60°) = ?
A: √3 ≈ 1.732

Q: tan(90°) = ?
A: nicht definiert (cos(90°) = 0 → Division durch null)

Q: Wie kommt man von sin(α) zurück zum Winkel α?
A: Mit der Arkussinus-Funktion: α = arcsin(sin(α)) = sin⁻¹(...)
Auf dem Taschenrechner: SHIFT + sin

Q: Wie kommt man von cos(α) zurück zum Winkel α?
A: Mit der Arkuskosinus-Funktion: α = arccos(...) = cos⁻¹(...)
Auf dem Taschenrechner: SHIFT + cos

Q: Wie kommt man von tan(α) zurück zum Winkel α?
A: Mit der Arkustangens-Funktion: α = arctan(...) = tan⁻¹(...)
Auf dem Taschenrechner: SHIFT + tan

Q: Sinussatz — Formel
A: a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)
(Jede Seite verhält sich zum Sinus ihres Gegenwinkels gleich.)

Q: Kosinussatz — Formel für a²
A: a² = b² + c² − 2·b·c·cos(α)
α ist der Winkel zwischen b und c (gegenüber a).

Q: Wann verwende ich den Sinussatz?
A: Wenn ein Winkel-Seite-Paar bekannt ist (z. B. WSW, SsW). Mindestens ein Winkel und seine Gegenseite müssen gegeben sein.

Q: Wann verwende ich den Kosinussatz?
A: Bei SWS (zwei Seiten + eingeschlossener Winkel) oder SSS (alle drei Seiten gegeben). Liefert dann die fehlende Seite oder die Winkel.

Q: Strategie: Welcher Satz bei SSS?
A: Kosinussatz — der Sinussatz braucht ein Winkel-Seite-Paar, das fehlt bei SSS.

Q: Strategie: Welcher Satz bei WSW?
A: Sinussatz — der dritte Winkel folgt aus α+β+γ=180°, dann ist ein Winkel-Seite-Paar verfügbar.

Q: Strategie: Welcher Satz bei SWS?
A: Kosinussatz — die dritte Seite gegenüber dem gegebenen Winkel berechnen.

Q: Sonderfall des Kosinussatzes: was passiert bei α = 90°?
A: cos(90°) = 0, also: a² = b² + c² — das ist der Satz des Pythagoras! Der Kosinussatz ist die Verallgemeinerung.

Q: Wozu dient der Höhenwinkel?
A: Der Winkel zwischen Horizontale und Sehlinie zu einem höher gelegenen Punkt (Baum, Turm). Er erlaubt, Höhe aus Distanz zu berechnen: h = d · tan(α).

Q: Steigungswinkel einer Rampe (Höhe h, Lauflänge d)
A: tan(α) = h / d. Beispiel: h=1m, d=10m → tan(α)=0.1 → α≈5.7°.

Q: Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel?
A: A = ½ · a · b · sin(γ)
γ ist der Winkel zwischen a und b.

Q: Plausibilitätsprüfung: Was muss für sin(α) und cos(α) im rechtwinkligen Dreieck immer gelten?
A: 0 ≤ sin(α), cos(α) ≤ 1 für 0° ≤ α ≤ 90°
Werte ausserhalb → Fehler beim Rechnen.