Title: TALS Mathematik / Grundlagen / 5.5 Trigonometrische Gleichungen

Q: Was ist eine elementare trigonometrische Gleichung?
A: Eine Gleichung der Form sin(φ) = c, cos(φ) = c oder tan(φ) = c mit gegebener reeller Zahl c. Gesucht: alle Winkel φ, die die Gleichung erfüllen.

Q: Wann ist sin(φ) = c lösbar?
A: Nur für −1 ≤ c ≤ 1. Für |c| > 1: keine Lösung (𝕃 = {}), weil sin(φ) immer zwischen −1 und 1 liegt.

Q: Wann ist cos(φ) = c lösbar?
A: Nur für −1 ≤ c ≤ 1. Für |c| > 1: keine Lösung, weil cos(φ) immer zwischen −1 und 1 liegt.

Q: Wann ist tan(φ) = c lösbar?
A: Immer — für jedes c ∈ ℝ. Der Tangens ist unbeschränkt.

Q: Lösungsschema für sin(φ) = c (in 3 Schritten)
A: 1. Hauptlösung: φ₁ = arcsin(c)
2. Zweite Lösung (Supplement): φ₂ = 180° − φ₁
3. Periodizität: φ = φ₁ + k·360° oder φ = φ₂ + k·360°, k ∈ ℤ

Q: Lösungsschema für cos(φ) = c (in 3 Schritten)
A: 1. Hauptlösung: φ₁ = arccos(c)
2. Zweite Lösung (x-Achsen-Symmetrie): φ₂ = −φ₁ (oder 360° − φ₁)
3. Periodizität: φ = ±φ₁ + k·360°, k ∈ ℤ

Q: Lösungsschema für tan(φ) = c (in 2 Schritten)
A: 1. Hauptlösung: φ₁ = arctan(c)
2. Periodizität: φ = φ₁ + k·180°, k ∈ ℤ
Achtung: Periode 180°, nicht 360°! Nur eine Lösungsfamilie.

Q: Wertebereich von arcsin(x)
A: arcsin: [−1, 1] → [−90°, 90°]
Hauptwert liegt in Q I (für positive c) oder Q IV (für negative c).

Q: Wertebereich von arccos(x)
A: arccos: [−1, 1] → [0°, 180°]
Hauptwert liegt in Q I (für positive c) oder Q II (für negative c).

Q: Wertebereich von arctan(x)
A: arctan: ℝ → (−90°, 90°)
Hauptwert liegt in Q I (für positive c) oder Q IV (für negative c).

Q: sin(φ) = 0 → Lösungen?
A: 𝕃 = {0°, 180°} in [0°, 360°)
Allgemein: φ = k·180°, k ∈ ℤ

Q: sin(φ) = ½ → Lösungen?
A: 𝕃 = {30°, 150°} in [0°, 360°)
Allgemein: 30° + k·360° oder 150° + k·360°

Q: sin(φ) = −½ → Lösungen?
A: 𝕃 = {210°, 330°} in [0°, 360°) (Q III, Q IV)

Q: sin(φ) = √2/2 → Lösungen?
A: 𝕃 = {45°, 135°} in [0°, 360°)

Q: sin(φ) = √3/2 → Lösungen?
A: 𝕃 = {60°, 120°} in [0°, 360°)

Q: sin(φ) = 1 → Lösungen?
A: 𝕃 = {90°} (nur eine Lösung pro Periode — 1 ist das Maximum von sin)
Allgemein: 90° + k·360°

Q: sin(φ) = −1 → Lösungen?
A: 𝕃 = {270°} (nur eine Lösung pro Periode)

Q: cos(φ) = 0 → Lösungen?
A: 𝕃 = {90°, 270°} in [0°, 360°)
Allgemein: φ = 90° + k·180°

Q: cos(φ) = ½ → Lösungen?
A: 𝕃 = {60°, 300°} in [0°, 360°) (Q I, Q IV)

Q: cos(φ) = −½ → Lösungen?
A: 𝕃 = {120°, 240°} in [0°, 360°) (Q II, Q III)

Q: cos(φ) = √2/2 → Lösungen?
A: 𝕃 = {45°, 315°} in [0°, 360°)

Q: cos(φ) = √3/2 → Lösungen?
A: 𝕃 = {30°, 330°} in [0°, 360°)

Q: cos(φ) = 1 → Lösungen?
A: 𝕃 = {0°} (Maximum)

Q: cos(φ) = −1 → Lösungen?
A: 𝕃 = {180°} (Minimum)

Q: tan(φ) = 0 → Lösungen?
A: 𝕃 = {0°, 180°} in [0°, 360°)
Allgemein: φ = k·180°

Q: tan(φ) = 1 → Lösungen?
A: 𝕃 = {45°, 225°} in [0°, 360°)
Allgemein: 45° + k·180°

Q: tan(φ) = −1 → Lösungen?
A: 𝕃 = {135°, 315°} in [0°, 360°)

Q: tan(φ) = √3 → Lösungen?
A: 𝕃 = {60°, 240°} in [0°, 360°)

Q: 5-Schritte-Strategie für trigonometrische Gleichungen
A: 1. Existenz prüfen (sin/cos: |c| ≤ 1)
2. Hauptlösung via Arkusfunktion
3. Zweite Lösung aus Symmetrie am Einheitskreis
4. Periodizität: 360° (sin/cos) bzw. 180° (tan)
5. Bereich beachten — nur Lösungen im verlangten Intervall

Q: Warum hat tan nur eine Lösungsfamilie pro 180°?
A: Geometrisch: tan(φ) ist die Steigung der Geraden vom Ursprung durch P. Eine Gerade trifft den Einheitskreis an zwei diametral gegenüberliegenden Punkten — diese unterscheiden sich um genau 180°. Deshalb Periode 180°, nicht 360°.

Q: Was bedeutet 'Hauptlösung'?
A: Der Wert, den der Taschenrechner via Arkusfunktion zurückgibt. Wegen der eingeschränkten Wertebereiche von arcsin/arccos/arctan ist das nur eine mögliche Lösung — die zweite Lösung in einem anderen Quadranten muss manuell konstruiert werden.

Q: sin(φ) = 0.4 mit φ ∈ [0°, 360°) — wie vorgehen?
A: 1. φ₁ = arcsin(0.4) ≈ 23.6° (Q I)
2. φ₂ = 180° − 23.6° = 156.4° (Q II, weil sin auch dort positiv)
𝕃 ≈ {23.6°, 156.4°}

Q: cos(φ) = −0.7 mit φ ∈ [0°, 360°) — wie vorgehen?
A: 1. φ₁ = arccos(−0.7) ≈ 134.4° (Q II — arccos liefert Wert in [0°, 180°])
2. φ₂ = 360° − 134.4° = 225.6° (Q III, x-Achs-Spiegelung)
𝕃 ≈ {134.4°, 225.6°}

Q: tan(φ) = 2 mit φ ∈ [0°, 360°) — wie vorgehen?
A: 1. φ₁ = arctan(2) ≈ 63.4° (Q I)
2. Periode 180°: φ₂ = 63.4° + 180° = 243.4° (Q III)
𝕃 ≈ {63.4°, 243.4°}

Q: Schreibweise: 'Bestimme alle Lösungen' — wie antworten?
A: Allgemeine Lösungsmenge mit k ∈ ℤ:
φ = φ₁ + k·360° oder φ = φ₂ + k·360°, k ∈ ℤ
(beim Tangens: + k·180° mit nur einer Familie)

Q: Schreibweise: 'Lösungen im Bereich 0° ≤ φ < 360°' — wie antworten?
A: Endliche Lösungsmenge:
𝕃 = {φ₁, φ₂}
aufsteigend sortiert.

Q: sin²(φ) = ¼ — wie viele Lösungen in [0°, 360°)?
A: Vier! Aus sin²(φ) = ¼ folgt sin(φ) = ±½. Für sin = ½: 30°, 150°. Für sin = −½: 210°, 330°. 𝕃 = {30°, 150°, 210°, 330°}.

Q: cos(φ)·sin(φ) = 0 — Lösungen in [0°, 360°)?
A: Produkt = 0 ⇔ ein Faktor = 0. cos = 0: 90°, 270°. sin = 0: 0°, 180°. 𝕃 = {0°, 90°, 180°, 270°} — alle vier Achsenpunkte.

Q: Anwendung: Eine Schwingung y(t) = A·sin(ω·t). Wann gilt y(t) = c?
A: Setze φ = ω·t und löse sin(φ) = c/A nach φ. Dann zurück: t = φ/ω. Beachte: Periodizität liefert mehrere Zeitpunkte.

Q: sin(φ) = cos(φ) — wie lösen?
A: Beide Seiten durch cos(φ) (≠ 0) teilen: tan(φ) = 1. Lösungen: φ = 45° + k·180°. In [0°, 360°): {45°, 225°}.