Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 1.1 Grundlagen Arithmetik/Algebra

Q: Was bestimmt die Struktur eines Terms?
A: Der zuletzt ausgeführte Rechenschritt: (a+b)² ist eine Potenz, a²+b² eine Summe, 3x(x−2) ein Produkt.

Q: Welche Struktur hat (a+b)²?
A: Potenz — die Klammer wird zuerst berechnet, das Potenzieren kommt zuletzt.

Q: Welche Struktur hat x/(x+1)?
A: Quotient — zuletzt wird dividiert.

Q: (a+b)² = a²+b²?
A: Falsch! (a+b)² = a² + 2ab + b². Probe 3,4: 49 ≠ 25 — Differenz 2ab = 24.

Q: Die drei binomischen Formeln?
A: (a+b)² = a²+2ab+b²; (a−b)² = a²−2ab+b²; (a+b)(a−b) = a²−b².

Q: Was heisst Faktorisieren?
A: Struktur-Wechsel Summe → Produkt: Ausklammern (6x²+9x = 3x(2x+3)) oder Binome rückwärts (x²−9 = (x−3)(x+3)).

Q: Wann darf man kürzen?
A: Nur gemeinsame Faktoren — nie Summanden! (x+6)/6 ≠ x (Probe x=6: 2 ≠ 6). Erst faktorisieren, dann kürzen.

Q: Vereinfache (x²−9)/(x+3).
A: Faktorisieren: (x−3)(x+3)/(x+3) = x−3 (für x ≠ −3) — erst als Produkt ist Kürzen erlaubt.

Q: √(a²+b²) = a+b?
A: Falsch! Probe 3,4: √25 = 5 ≠ 7. Die Wurzel verteilt sich nur auf Produkte: √(ab) = √a·√b.

Q: Das grosse Struktur-Muster?
A: Multiplikative Strukturen verteilen sich, additive nicht — gilt für Kürzen, Wurzeln, Potenzen und Logarithmen.

Q: (2x)³ = ?
A: 8x³ — der Faktor 2 wird mitpotenziert; 2x³ wäre ein Struktur-Fehler.

Q: Wie setzt man negative Zahlen ein?
A: Immer in Klammern: x = −2 in x² gibt (−2)² = 4, nicht −2² = −4.

Q: Termwert 3x² − 2x + 1 bei x = −2?
A: 3·(−2)² − 2·(−2) + 1 = 12 + 4 + 1 = 17.

Q: Kopfrechen-Trick 17 · 23?
A: (20−3)(20+3) = 400 − 9 = 391 — die 3. binomische Formel rückwärts.

Q: Kopfrechen-Trick 99²?
A: (100−1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801 — das 2. Binom.

Q: Nachbarzahlen-Regel?
A: (n−1)(n+1) = n² − 1 — z.B. 29·31 = 900−1 = 899; umgekehrt 41² = 40·42+1.

Q: Was leistet die Zahlenprobe?
A: Sie widerlegt falsche Umformungen sofort — beweisen kann sie nie (zufällige Treffer möglich); beweisen tut die Algebra.

Q: Doppelbruch (1/2 + 1/3)/(1/6)?
A: Innen vor aussen: Zähler = 5/6; (5/6)/(1/6) = 5.

Q: Der Struktur-Fahrplan?
A: 1. Struktur bestimmen · 2. Werkzeug wählen (kürzen → erst faktorisieren) · 3. umformen · 4. Zahlenprobe.

Q: 25·16 + 25·4 geschickt?
A: Ausklammern: 25·(16+4) = 25·20 = 500 — Struktur als Rechenvorteil.