Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 2.1 Grundlagen Gleichungen

Q: Was ist eine Gleichung?
A: Die Aussage, dass zwei Terme denselben Wert haben: T₁(x) = T₂(x).

Q: Grundmenge G, Definitionsmenge D, Lösungsmenge L?
A: G: erlaubte Zahlen (meist ℝ) · D: wo beide Seiten definiert sind · L: alle x ∈ D, welche die Gleichung erfüllen.

Q: Woraus ergibt sich die Definitionsmenge?
A: Nenner ≠ 0, Radikand ≥ 0, Logarithmus-Argument > 0.

Q: Was ist eine Äquivalenzumformung?
A: Eine Umformung, welche die Lösungsmenge nicht ändert — im Waage-Bild: beide Seiten gleich verändern.

Q: Welche Umformungen sind immer äquivalent?
A: Beidseitig addieren/subtrahieren; beidseitig mit fester Zahl ≠ 0 multiplizieren/dividieren.

Q: Drei gefährliche Umformungen?
A: Quadrieren (Scheinlösungen), mit Term multiplizieren (Scheinlösung bei Term = 0), durch Term dividieren (Lösungsverlust).

Q: Kann L leer oder ganz ℝ sein?
A: Ja: unlösbar (x = x + 1 → L = { }) und allgemeingültig (2(x+1) = 2x + 2 → L = ℝ).

Q: Die Leitfrage zur Typ-Bestimmung?
A: «Wo steht die Unbekannte?» — Basis, Exponent, Radikand, Nenner oder Betrag.

Q: x⁴ = 81 vs. 4ˣ = 81 — Typ und Lösung?
A: x⁴ = 81: Potenzgleichung, L = {−3; 3} · 4ˣ = 81: Exponentialgleichung, L = {log₄ 81} ≈ {3.17}.

Q: Typ und Methode von √(2x+1) = 7?
A: Wurzelgleichung: separieren, quadrieren, Probe — x = 24.

Q: Typ und Methode von 6/(x+1) = 2?
A: Rationale Gleichung: D notieren (x ≠ −1), Hauptnenner — x = 2.

Q: Typ und Methode von |x − 4| = 9?
A: Betragsgleichung: zwei Fälle x − 4 = ±9 — L = {−5; 13}.

Q: Typ und Methode von 5·2ˣ = 80?
A: Exponentialgleichung: isolieren (2ˣ = 16), Exponentenvergleich — x = 4.

Q: Typ und Methode von x(x−3)(x+2) = 0?
A: Produktform: Satz vom Nullprodukt — L = {−2; 0; 3}.

Q: Der Vier-Schritte-Fahrplan?
A: 1. Typ bestimmen, 2. D notieren, 3. passende Methode, 4. überprüfen.

Q: Drei Arten der Überprüfung?
A: Probe (Ausgangsgleichung!), Skizze (Anzahl Schnittpunkte), Plausibilität (Vorzeichen, Grössenordnung, Einheit).

Q: Warum die Probe in der AUSGANGSgleichung?
A: Scheinlösungen erfüllen die umgeformte Gleichung — nur die ursprüngliche entlarvt sie.

Q: Wozu die Skizze vor dem Rechnen?
A: Sie zeigt die erwartete Lösungsanzahl — findet die Rechnung mehr: Scheinlösung prüfen; weniger: Lösung verloren.

Q: Faustregel beim Isolieren von x (3x + 2 = 11)?
A: Erst Summanden wegschaffen (−2), dann Faktoren (:3) — sonst entstehen unnötige Brüche.

Q: Fehlersuche: x² = 4x | :x ⇒ x = 4. Was fehlt?
A: Die Division durch x hat x = 0 vernichtet. Korrekt: x(x−4) = 0 → L = {0; 4}.