Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 2.2b Exponential- und logarithmische Gleichungen

Q: Was ist eine Exponentialgleichung?
A: Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable im Exponenten von Potenzen steht.

Q: Was ist eine logarithmische Gleichung?
A: Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable in den Argumenten von Logarithmen steht.

Q: Exponentenvergleich — wann und wie?
A: Beide Seiten auf dieselbe Basis bringen: aᵐ = aⁿ ⇒ m = n. Beispiel: 2ˣ = 16 = 2⁴ → x = 4.

Q: Wie holt das Logarithmieren die Variable herunter?
A: Mit dem Gesetz log(uˣ) = x·log u — aus aˣ = c wird x·ln a = ln c, also x = ln c / ln a.

Q: Wann darf man NICHT logarithmieren?
A: Wenn auf einer Seite eine Summe/Differenz steht — log(uˣ + v) lässt sich nicht zerlegen. Erst ausklammern!

Q: Wie löst man 3^(x+1) + 3ˣ = 20?
A: Ausklammern: 3ˣ·(3+1) = 20 → 3ˣ = 5 → x = log₃ 5 ≈ 1.46.

Q: Wann hilft die Substitution u = aˣ?
A: Wenn a²ˣ und aˣ gemischt vorkommen: a²ˣ = (aˣ)² = u² — quadratische Gleichung in u; nur u > 0 brauchbar.

Q: Löse 3²ˣ + 9 = 10·3ˣ.
A: u = 3ˣ: u² − 10u + 9 = 0 → u = 1, 9 → L = {0; 2}.

Q: Wie viele Lösungen hat aˣ = c für c ≤ 0?
A: Keine — Exponentialwerte sind stets positiv.

Q: Verfahren für logarithmische Gleichungen (4 Schritte)?
A: 1. D bestimmen (Argumente positiv), 2. zu einem Log-Term zusammenfassen, 3. entlogarithmieren, 4. lösen und kontrollieren.

Q: Was bedeutet «entlogarithmieren» bei log_a T(x) = c?
A: Mit der Basis potenzieren: T(x) = a^c. Beispiel: lg(x+3) = 2 → x + 3 = 100 → x = 97.

Q: Warum ist Entlogarithmieren keine Äquivalenzumformung?
A: Es können Scheinlösungen entstehen, die die D-Bedingung (Argumente positiv) verletzen — Kontrolle nötig.

Q: lg(x−3) = 1 − lg x: Kandidaten 5 und −2 — Lösungsmenge?
A: L = {5} — bei x = −2 wäre lg(−5) nicht definiert: Scheinlösung.

Q: 3·lg x² = 6 über 6·lg x = 6 gelöst — was ging schief?
A: Korrekt ist lg x² = 2·lg |x| — der Weg über lg x setzt x > 0 voraus und verliert x = −10; L = {−10; 10}.

Q: Verdopplungszeit bei Wachstumsfaktor q?
A: n = ln 2 / ln q — z.B. q = 1.045: n ≈ 15.7 Jahre; unabhängig vom Startwert.

Q: «Wann?»-Frage bei N(t) = N₀·2^(t/T) = Z?
A: 2^(t/T) = Z/N₀ → t = T·log₂(Z/N₀) — logarithmieren holt t herunter.

Q: Löse 4ˣ − 7·2ˣ = 8.
A: u = 2ˣ: u² − 7u − 8 = 0 → u = 8 (u = −1 entfällt) → x = 3.

Q: Definitionsmenge von ln(x+2) = 1 + ln 3x?
A: x + 2 > 0 ∧ 3x > 0 → D = ]0; ∞[ — die schärfere Bedingung gewinnt.

Q: log₂ u + log₂(u−2) = 3: Lösung?
A: D: u > 2. u(u−2) = 8 → (u−4)(u+2) = 0 → u = 4 (−2 ist Scheinlösung).

Q: Wertverlust 22 % pro Jahr: Wann noch die Hälfte?
A: 0.78ⁿ = 0.5 → n = ln 0.5 / ln 0.78 ≈ 2.8 Jahre.