Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 2.2c Betrags- und Polynomgleichungen, Ungleichungen

Q: Definition des Betrags?
A: |x| = x für x ≥ 0, −x für x < 0 — geometrisch der Abstand zum Nullpunkt; stets |x| ≥ 0.

Q: Was bedeutet |x − m| geometrisch?
A: Der Abstand von x zur Zahl m auf der Zahlengeraden.

Q: Lösen von |T(x)| = c für c > 0?
A: Zwei Fälle: T(x) = c oder T(x) = −c — meist zwei Lösungen.

Q: |T(x)| = c mit c < 0: Lösungsmenge?
A: L = { } — Beträge sind nie negativ.

Q: Löse |x − 3| = 5.
A: x − 3 = ±5 → L = {−2; 8} — die Zahlen mit Abstand 5 von der 3.

Q: Wie löst man |A| = |B|?
A: A = B oder A = −B — gleich oder entgegengesetzt.

Q: |x − m| ≤ r als Intervall?
A: [m − r; m + r] — Abstand von m höchstens r («Toleranzband»).

Q: |x − m| > r als Lösungsmenge?
A: x < m − r ∨ x > m + r — die beiden Aussenbereiche.

Q: Toleranz ±0.05 um Sollmass 12 als Betragsungleichung?
A: |d − 12| ≤ 0.05, also d ∈ [11.95; 12.05].

Q: Satz vom Nullprodukt?
A: A·B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0 — jeden Faktor einzeln null setzen.

Q: Löse (x+1)(x−2)(x²−9) = 0.
A: L = {−3; −1; 2; 3} — der quadratische Faktor liefert ±3.

Q: Warum nie durch x dividieren (z.B. bei x² = 4x)?
A: Division durch x ist für x = 0 verboten — genau diese Lösung geht verloren. Richtig: x(x−4) = 0 → L = {0; 4}.

Q: Wie viele reelle Lösungen hat (x−4)(x²+1) = 0?
A: Eine (x = 4) — x² + 1 ≥ 1 wird nie null.

Q: Wann dreht das Relationszeichen einer Ungleichung?
A: Bei Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl: −2x < 6 → x > −3.

Q: Vorzeichentabelle — die vier Schritte?
A: 1. Faktorisieren, 2. Nullstellen aller Faktoren (Abschnitte), 3. Vorzeichen je Faktor und Abschnitt, 4. Produktvorzeichen ablesen.

Q: (x−1)(x+3) < 0: Lösungsmenge?
A: Negativ genau zwischen den Nullstellen: L = {x | −3 < x < 1}.

Q: Wann gehören Randpunkte zur Lösungsmenge einer Ungleichung?
A: Nur bei ≥ oder ≤ — bei striktem </> sind sie ausgeschlossen.

Q: Schneller Check eines Ungleichungs-Abschnitts?
A: Einen Testwert einsetzen — das Vorzeichen gilt im ganzen Abschnitt.

Q: −(x−30)² + 400 > 0 als Betragsungleichung?
A: (x−30)² < 400 ⇔ |x − 30| < 20 → 10 < x < 50.

Q: (x+2)(x−1)(x−4) > 0: Lösungsmenge?
A: Vorzeichentabelle: −2 < x < 1 ∨ x > 4.