Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 3.1 Grundlagen Funktionen

Q: Wirkung von u und v in y = a·f(x−u) + v?
A: u verschiebt horizontal (nach rechts für u > 0), v vertikal (nach oben für v > 0) — bei jeder Grundfunktion f.

Q: Wirkung von a in y = a·f(x−u) + v?
A: |a| > 1 Streckung, |a| < 1 Stauchung in y-Richtung; a < 0 zusätzlich Spiegelung an der x-Achse.

Q: Was bewirkt die Ersetzung x → −x?
A: Spiegelung an der y-Achse: y = f(−x) ist das seitenverkehrte Bild von y = f(x).

Q: (x − 3) im Argument: nach links oder rechts?
A: Nach rechts! f(x−3) nimmt bei x = 3 den Wert f(0) an. Kontrolle: Scheitel von (x−3)² liegt bei x = 3.

Q: Scheitelpunkt von y = a(x−u)² + v?
A: S = (u | v) — a < 0: Maximum, a > 0: Minimum. Der Faktor a ändert den Scheitel nicht.

Q: Definitionsmengen von √x, 1/x und ln x?
A: √x: ℝ₀⁺ · 1/x: ℝ \ {0} · ln x: ℝ⁺.

Q: Markante Punkte von aˣ und log_a x?
A: aˣ: durch (0|1) und (1|a) · log_a x: durch (1|0).

Q: Asymptoten der Grundfunktionen 1/x, aˣ, log_a x?
A: 1/x: x = 0 und y = 0 · aˣ: y = 0 · log_a x: x = 0.

Q: Zusammenhang der Graphen von x² und √x?
A: Sie sind Umkehrfunktionen (auf ℝ₀⁺): Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x.

Q: Schnittpunkte zweier Graphen — Verfahren?
A: Gleichsetzen → lösen → einsetzen: f(x) = g(x) liefert die Schnittstellen, Einsetzen die Punkte.

Q: Schnittpunkt von y = 2x − 3 und y = −x + 6?
A: 2x − 3 = −x + 6 → 3x = 9 → x = 3, y = 3: S = (3|3).

Q: Was bedeutet f(x) = g(x) grafisch?
A: Die Graphen kreuzen sich an den Lösungsstellen — Gleichung lösen heisst Schnittstellen suchen.

Q: Was bedeutet f(x) > g(x) grafisch?
A: Die Kurve von f liegt oberhalb der Kurve von g — die Lösungsmenge besteht aus Intervallen.

Q: Wie löst man eine Ungleichung mit der Testwert-Methode?
A: Schnittstellen berechnen — sie zerlegen die x-Achse in Abschnitte; ein Testwert pro Abschnitt entscheidet, wo die Ungleichung gilt.

Q: Wann gehören die Schnittstellen zur Lösungsmenge einer Ungleichung?
A: Nur bei ≥ oder ≤ — bei striktem </> sind die Randpunkte ausgeschlossen.

Q: Extremwertaufgabe — die vier Schritte?
A: 1. Zielgrösse festlegen, 2. Nebenbedingung aufschreiben, 3. einsetzen (eine Variable + Definitionsbereich), 4. Extremum via Scheitelform oder grafisch.

Q: Weide am Fluss (60 m Zaun, Flussseite offen): Zielfunktion und Optimum?
A: A(x) = x(60 − 2x) = −2(x−15)² + 450 → Breite 15 m, Länge 30 m, A = 450 m².

Q: Rechteck mit festem Umfang: Welche Form maximiert die Fläche?
A: Das Quadrat — z.B. Umfang 40: A(x) = x(20−x), Maximum bei x = 10.

Q: Monotonie-Argument für die Lösungsanzahl?
A: Streng steigende gegen streng fallende Funktion: höchstens ein Schnittpunkt — z.B. 2ˣ = 3 − x hat genau die Lösung x = 1.

Q: Warum lohnt sich die Skizze vor der Rechnung?
A: Sie zeigt Anzahl und ungefähre Lage der Lösungen — schützt vor verlorenen Lösungen und Rechenfehlern.