Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 3.2a Potenzfunktionen

Q: Was ist eine Potenzfunktion?
A: Eine Funktion mit f(x) = a · xⁿ, n ∈ ℤ\{0}, a ∈ ℝ\{0}. (n = 0 zählt nicht dazu, n = 1 schon.)

Q: Was ist eine Parabel n-ter Ordnung?
A: Der Graph einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten n ∈ ℕ*.

Q: Was ist eine Hyperbel n-ter Ordnung?
A: Der Graph einer Potenzfunktion mit negativem ganzzahligem Exponenten; Schreibweise x⁻ⁿ = 1/xⁿ.

Q: Wann heisst eine Funktion gerade?
A: f(−x) = f(x) — der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Bei Potenzfunktionen: gerader Exponent.

Q: Wann heisst eine Funktion ungerade?
A: f(−x) = −f(x) — der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei Potenzfunktionen: ungerader Exponent.

Q: Was ist eine horizontale Asymptote?
A: Eine Gerade, an die sich der Graph in x-Richtung immer mehr annähert, ohne sie zu schneiden.

Q: Was ist eine Polstelle (Pol)?
A: Die Definitionslücke x₀ einer Hyperbel; dort wächst |f(x)| über alle Grenzen. Die senkrechte Gerade x = x₀ heisst Polgerade.

Q: D und W von y = x²ⁿ (gerader Exponent)?
A: D = ℝ, W = ℝ₀⁺. Gemeinsame Punkte: (0|0), (1|1), (−1|1).

Q: D und W von y = 1/x²ⁿ (gerade Hyperbel)?
A: D = ℝ\{0}, W = ℝ⁺. Asymptoten x = 0 und y = 0, keine Nullstellen.

Q: Gemeinsame Punkte aller ungeraden Parabeln y = x²ⁿ⁻¹?
A: (0|0), (1|1), (−1|−1).

Q: Asymptoten von y = 1/xⁿ?
A: Vertikal x = 0 (y-Achse), horizontal y = 0 (x-Achse).

Q: Terrassenpunkt vs. Flachpunkt bei S(0|0)?
A: Terrassenpunkt bei ungeraden Exponenten (n ≥ 3), Flachpunkt bei geraden Exponenten.

Q: Wirkung von u und v in y = a·(x−u)ⁿ + v?
A: u verschiebt horizontal (rechts für u > 0), v vertikal. Hyperbel-Asymptoten wandern mit: x = u, y = v.

Q: Wirkung von a in y = a·(x−u)ⁿ + v?
A: |a| > 1 Streckung, |a| < 1 Stauchung in y-Richtung; a < 0 zusätzlich Spiegelung an der x-Achse.

Q: Nullstellen von (x−3)⁴ − 16 = 0
A: (x−3)⁴ = 16 → x − 3 = ±2 → x₁ = 5, x₂ = 1. (Gerader Exponent: ±-Fall!)

Q: Nullstelle von (x−2)³ + 8 = 0
A: (x−2)³ = −8 → x − 2 = −2 → x₀ = 0. (Ungerader Exponent: genau eine Lösung.)

Q: y = xⁿ geht durch P(2|32). Bestimme n.
A: 2ⁿ = 32 = 2⁵ → n = 5.

Q: Anzahl Lösungen von (x−u)ⁿ = r bei geradem n?
A: Zwei für r > 0 (±ⁿ√r), keine für r < 0, eine für r = 0.

Q: y = x³: Was passiert mit y, wenn x verdoppelt wird?
A: Faktor 2³ = 8 — Verdopplung des Arguments verachtfacht den Funktionswert.