Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 3.2b Wurzelfunktionen

Q: Was ist eine Wurzelfunktion?
A: Eine Funktion f(x) = ⁿ√x = x^(1/n) mit n ∈ ℕ*; f : ℝ₀⁺ → ℝ₀⁺.

Q: Wurzelfunktion und Potenzfunktion — Zusammenhang?
A: Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion y = xⁿ (auf ℝ₀⁺) — und umgekehrt.

Q: Wie entsteht der Graph der Umkehrfunktion grafisch?
A: Durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x: Jeder Punkt (a|b) wird zu (b|a).

Q: Warum ist y = x² auf ganz ℝ nicht umkehrbar?
A: Zu jeder Höhe y > 0 gehören zwei Urbilder ±x. Erst die Einschränkung auf ℝ₀⁺ macht die Zuordnung eindeutig.

Q: Umkehrfunktion von y = x³?
A: y = ∛x — bei ungeradem Exponenten wäre die Umkehrung sogar auf ganz ℝ möglich.

Q: D und W der Wurzelfunktion y = ⁿ√x?
A: D = W = ℝ₀⁺ — Radikand und Wurzelwert sind nie negativ.

Q: Gemeinsame Punkte aller Wurzelkurven?
A: (0|0) und (1|1) — denn ⁿ√1 = 1 für jedes n.

Q: Warum hat die Wurzelfunktion keine Symmetrie?
A: D = ℝ₀⁺ ist nicht symmetrisch zum Ursprung — mit x liegt −x nie im Definitionsbereich.

Q: Maximaler Definitionsbereich von y = √(x−u)?
A: Radikand ≥ 0: x − u ≥ 0 → D = [u; +∞[.

Q: Startpunkt von y = a·√(x−u) + v?
A: (u | v) — dort ist die Wurzel null.

Q: √x und ∛(x²) als Potenzen geschrieben?
A: √x = x^(1/2), ∛(x²) = x^(2/3).

Q: ⁵√32 und ⁴√81 im Kopf?
A: ⁵√32 = 2 (2⁵ = 32), ⁴√81 = 3 (3⁴ = 81).

Q: Strategie zum Lösen einer Wurzelgleichung?
A: 1. Definitionsbereich (Radikand ≥ 0), 2. Wurzel isolieren, 3. hoch n, 4. Probe in der Ausgangsgleichung.

Q: Warum ist nach dem Quadrieren eine Probe nötig?
A: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung — es können Scheinlösungen entstehen.

Q: √(…) = c mit c < 0 — Lösungsmenge?
A: L = { } — Wurzelwerte sind nie negativ, die Gleichung ist unlösbar.

Q: Löse √(3x+1) = 4.
A: Quadrieren: 3x + 1 = 16 → x = 5. Probe: √16 = 4 ✓

Q: Löse ∛(x−5) = 3.
A: Hoch 3: x − 5 = 27 → x = 32. Probe: ∛27 = 3 ✓

Q: Ordinatenabschnitt von y = 3√(x+1) − 6?
A: x = 0 einsetzen: y₀ = 3·√1 − 6 = −3.

Q: Fadenpendel T = 2π·√(l/g): Umkehrfunktion l(T)?
A: l = g·T²/(4π²) ≈ 0.248·T² — die Umkehrung der Wurzelfunktion ist quadratisch.

Q: √x oder ⁵√x — welcher Wert ist zwischen 0 und 1 grösser?
A: Die höhere Wurzel: ⁵√x > √x für 0 < x < 1 (rechts von 1 ist es umgekehrt).