Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 3.3 Polynomfunktionen

Q: Was ist eine Polynomfunktion (ganzrationale Funktion)?
A: f(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ mit n ∈ ℕ, aₖ ∈ ℝ, aₙ ≠ 0 — eine Linearkombination von Potenzfunktionen.

Q: Was heisst Grad und Leitkoeffizient?
A: Der Grad n ist der höchste Exponent, der Leitkoeffizient aₙ der Koeffizient davor (aₙ ≠ 0).

Q: Bekannte Spezialfälle der Polynomfunktion?
A: Grad 1: lineare Funktion; Grad 2: quadratische Funktion; nur ein Term aₙxⁿ: Potenzfunktion.

Q: Ist f(x) = 2x⁴ − 1/x² eine Polynomfunktion?
A: Nein — 1/x² = x⁻² hat einen negativen Exponenten. Polynome brauchen natürliche Exponenten.

Q: Was ist die Linearfaktordarstellung?
A: f(x) = aₙ·(x−x₁)(x−x₂)···(x−xₙ) — die Nullstellen stehen direkt in den Faktoren.

Q: Wie verhält sich der Graph an einer einfachen Nullstelle?
A: Er schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel).

Q: Wie verhält sich der Graph an einer doppelten Nullstelle?
A: Er berührt die x-Achse — Hoch- oder Tiefpunkt auf der Achse, kein Vorzeichenwechsel.

Q: Wie verhält sich der Graph an einer dreifachen Nullstelle?
A: Er schneidet terrassenförmig abgeflacht (Vorzeichenwechsel mit Sattel).

Q: Grad 2, Nullstellen 3 und −4, y-Achsenabschnitt −24: Funktionsgleichung?
A: Ansatz f(x) = a(x−3)(x+4); f(0) = −12a = −24 → a = 2: f(x) = 2(x−3)(x+4).

Q: Nullstellen von f(x) = x³ − 9x?
A: Ausklammern: x(x−3)(x+3) → x = −3, 0, 3 (Satz vom Nullprodukt).

Q: Globalverlauf bei ungeradem Grad?
A: Enden entgegengesetzt: aₙ > 0 von links unten nach rechts oben ↗; aₙ < 0 umgekehrt ↘.

Q: Globalverlauf bei geradem Grad?
A: Enden gleich: aₙ > 0 beide oben ∪; aₙ < 0 beide unten ∩.

Q: Wie viele Nullstellen hat eine Polynomfunktion n-ten Grades höchstens?
A: Höchstens n — bei ungeradem Grad mindestens eine (durchgehende Kurve kreuzt die Achse).

Q: Wie viele lokale Extremstellen höchstens?
A: Höchstens n − 1 (Hochpunkte und Tiefpunkte zusammen).

Q: Stimmt «Grad = Anzahl Nullstellen»?
A: Nein — der Grad ist nur die Obergrenze: x² + 1 hat Grad 2 und keine Nullstelle.

Q: Was ist ein Hochpunkt?
A: Ein lokal höchster Punkt des Graphen; seine y-Koordinate ist ein lokales (relatives) Maximum.

Q: Lokales vs. absolutes Maximum?
A: Lokal: grösster Wert in einer Umgebung. Absolut: grösster Funktionswert überhaupt — bei ungeradem Grad existiert er nie.

Q: Symmetrie-Schnellcheck über die Exponenten?
A: Nur gerade Exponenten (inkl. a₀): gerade Funktion, achsensymmetrisch. Nur ungerade (a₀ = 0!): ungerade, punktsymmetrisch.

Q: Ist f(x) = x⁵ − 3x³ + x + 1 gerade oder ungerade?
A: Weder noch — das konstante Glied +1 ist ein gerader Anteil neben den ungeraden Exponenten.

Q: Gerade Funktion mit Nullstelle bei x = 2: Welche weitere Nullstelle ist sicher?
A: x = −2 — Achsensymmetrie: f(−2) = f(2) = 0.