Sechs Anwendungsaufgaben, nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Zu jeder Aufgabe gehört eine Skizze — sie liefert das rechtwinklige Hilfsdreieck und die Plausibilitäts-Schranken.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Technisches Zeichnen | Werkstück im Schrägbild | ●●○ |
| 2 | Raumplanung | Klassenzimmer-Check | ●●○ |
| 3 | Logistik | Passt die Stange in die Kiste? | ●●○ |
| 4 | Bauwesen | Dachneigung und Firstwinkel | ●●● |
| 5 | Montage | Leiter an der Wand | ●●● |
| 6 | Geometrie | Der 30°-Würfel (FTB) | ●●● |
Ein Quader-Werkstück \( 8 \times 6 \times 4 \) cm soll im Schrägbild (\( \alpha = 45° \), \( q = \tfrac{1}{2} \)) gezeichnet werden; die 6-cm-Kante zeigt nach hinten.
(a) Welche Masse hat die Frontfläche im Bild?
(b) Wie lang zeichnest du die Tiefenkanten?
(c) Ein Kollege misst im Bild eine Tiefenkante von 3 cm ab und notiert «3 cm». Was ist falsch?
Ein Raum misst \( 8 \times 7 \times 3 \) m; Faustregel: \( 30\ \text{m}^3 \) Luftraum pro Person (unbelüftet).
(a) Schätze das Volumen zuerst (Überschlag).
(b) Berechne exakt und vergleiche.
(c) Für wie viele Personen reicht der Raum nach der Faustregel?
Eine Transportkiste misst innen \( 1.2 \times 0.8 \times 0.5 \) m. Eine Stange ist 1.5 m lang.
(a) Gib ohne Rechnung das Plausibilitäts-Fenster für die Raumdiagonale an.
(b) Berechne die Raumdiagonale.
(c) Passt die Stange hinein?
Satteldach: Grundriss-Breite 6 m, First mittig 1.5 m über der Traufe.
(a) Skizziere den Querschnitt und begründe, warum er die Ebenenwinkel zeigt.
(b) Berechne den Neigungswinkel der Dachfläche.
(c) Berechne den Firstwinkel zwischen den Dachflächen.
Eine 6-m-Leiter lehnt an einer senkrechten Wand; ihr Fusspunkt steht 2 m von der Wand entfernt.
(a) Welcher Raumwinkel ist der Anstellwinkel — und wo liegt die Projektion der Leiter?
(b) Berechne den Anstellwinkel.
(c) Die Norm verlangt etwa 65° bis 75°. Steht die Leiter sicher?
Im Würfel \(ABCDEFGH\) ist der Winkel zwischen der Diagonalebene und der Flächendiagonale \(AF\) gesucht. Das Lot von \(F\) trifft den Mittelpunkt \(M\) der Flächendiagonale \(FH\).
(a) Begründe \( FM = \tfrac{1}{2} AF \).
(b) Berechne den Winkel im Dreieck \(AFM\).
(c) Warum braucht die Rechnung keine Kantenlänge?
(a) \( 8 \times 4 \) cm in wahrer Grösse.
(b) \( 6 \cdot \tfrac{1}{2} = 3 \) cm unter 45°.
(c) Die Kante ist verzerrt — wahre Länge \( 3 : \tfrac{1}{2} = 6 \) cm.
(a) \( \approx 8 \cdot 7 \cdot 3 \approx 170\ \text{m}^3 \).
(b) \( 168\ \text{m}^3 \) — Schätzung bestätigt.
(c) \( 168/30 = 5.6 \to 5 \) Personen.
(a) Zwischen 1.2 (längste Kante) und \( 1.2 + 0.8 + 0.5 = 2.5 \) m.
(b) \( d = \sqrt{1.44 + 0.64 + 0.25} = \sqrt{2.33} \approx 1.53 \) m ✓ im Fenster.
(c) Ja — knapp: 1.5 m < 1.53 m (diagonal eingelegt).
(a) Der Querschnitt steht senkrecht zur First-Schnittgeraden — seine Schenkel sind genau die Ebenenwinkel-Schenkel.
(b) \( \tan\varphi = 1.5/3 \Rightarrow \varphi \approx 26.57° \).
(c) \( 180° - 2 \cdot 26.57° \approx 126.87° \).
(a) Winkel Gerade–Ebene; die Projektion ist die Bodenstrecke Fusspunkt–Wand (2 m).
(b) \( \cos\varphi = \tfrac{2}{6} \Rightarrow \varphi \approx 70.53° \).
(c) Ja — 70.5° liegt im Normbereich.
(a) \(AF\) und \(FH\) sind beide Flächendiagonalen (\( a\sqrt{2} \)); \(M\) halbiert \(FH\).
(b) \( \sin\varphi = \tfrac{FM}{AF} = \tfrac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 30° \).
(c) Nur das Verhältnis der Strecken zählt — \(a\) kürzt sich weg (Ähnlichkeit aller Würfel).