12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Nenne die beiden üblichen Wertepaare für Verzerrungswinkel \( \alpha \) und Faktor \(q\).
Eine Tiefenkante von 6 cm wird mit \( q = \tfrac{1}{2} \) gezeichnet: Bildlänge? Und wie lang ist eine Kante wirklich, die im Bild (\( q = \tfrac{1}{3} \)) 2 cm misst?
Welche vier Lagen können zwei Geraden im Raum haben — und welche davon gibt es in der Ebene nicht?
Wie viele Kanten eines Würfels sind zu einer gegebenen Kante windschief? Begründe kurz.
Wodurch ist eine Ebene eindeutig bestimmt — und warum reichen drei Punkte auf einer Geraden nicht?
Wie ist der Winkel zwischen (a) Gerade und Ebene, (b) zwei Ebenen definiert?
Berechne den Winkel zwischen der Raumdiagonale eines Würfels und der Grundfläche.
Quader \( 4 \times 3 \times 2 \): Winkel zwischen Raumdiagonale und Grundfläche? (Erst Bodendiagonale!)
Jemand erhält für die Raumdiagonale des Quaders \( 4 \times 3 \times 2 \) den Wert 29. Zeige mit zwei Schranken, dass das unmöglich ist, und korrigiere.
Behauptung: «Würfel mit \( a = 2 \) hat \( V = 4\ \text{cm}^2 \).» Finde beide Fehler.
Prüfe die Kegelformel \( V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h \) mit zwei Plausibilitäts-Argumenten.
Frontflächen · Faktor \(q\) · unverzerrt.
\( \alpha = 45° \) mit \( q = \tfrac{1}{2} \) — oder \( \alpha = 30° \) mit \( q = \tfrac{1}{3} \).
\( 6 \cdot \tfrac{1}{2} = 3 \) cm; \( 2 : \tfrac{1}{3} = 6 \) cm.
Identisch, parallel, schneidend, windschief — Letzteres gibt es nur im Raum.
Vier — von den 11 übrigen sind 3 parallel und 4 schneidend.
Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen — durch eine Gerade gehen unendlich viele Ebenen.
(a) Winkel zur senkrechten Projektion der Geraden in die Ebene. (b) Winkel der beiden Senkrechten zur Schnittgeraden (je eine pro Ebene).
\( \tan\varphi = \tfrac{a}{a\sqrt{2}} \Rightarrow \varphi \approx 35.26° \).
Bodendiagonale \( \sqrt{16+9} = 5 \); \( \tan\varphi = \tfrac{2}{5} \Rightarrow \varphi \approx 21.80° \).
\( d \) muss zwischen 4 (längste Kante) und 9 (Kantensumme) liegen — 29 ist unmöglich; vergessene Wurzel: \( d = \sqrt{29} \approx 5.39 \) ✓.
\( V = a^3 = 8 \), nicht 4 — und die Einheit ist \( \text{cm}^3 \), nicht \( \text{cm}^2 \).
Grenzfall \( h \to 0 \): \( V \to 0 \) ✓; Vergleich: Kegel < Zylinder \( \pi r^2 h \), Faktor \( \tfrac{1}{3} < 1 \) ✓.