Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 4.2b Pyramiden, Kegel und Stümpfe

Q: Volumenformel aller spitzen Körper?
A: V = ⅓·G·h — ein Drittel des Prismas/Zylinders gleicher Grundfläche und Höhe (Füll-Experiment: 3 Füllungen).

Q: Die drei Strecken der quadratischen Pyramide?
A: Körperhöhe h < Seitenhöhe h_s (zur Kantenmitte) < Seitenkante s (zur Ecke).

Q: Formel für die Seitenhöhe h_s?
A: h_s = √(h² + (a/2)²) — Pythagoras mit der halben Kante.

Q: Formel für die Seitenkante s?
A: s = √(h² + (a√2/2)²) — mit der halben Diagonale.

Q: Mantel und Oberfläche der quadratischen Pyramide?
A: M = 2·a·h_s (vier Dreiecke), O = a² + M. Für den Mantel h_s, nie h!

Q: Pyramide a=6, h=4: h_s, V, O?
A: h_s = √(16+9) = 5; V = 48; O = 36+60 = 96.

Q: Kegel: V und Mantellinie?
A: V = ⅓πr²h; m = √(r²+h²) — Hypotenuse im Achsenquerschnitt.

Q: Kegel: Mantel und Oberfläche?
A: M = πrm; O = πr(r+m).

Q: Öffnungswinkel des Kegels?
A: sin(w/2) = r/m — der Winkel an der Spitze; w = 90° genau bei r = h.

Q: Der abgerollte Kegelmantel?
A: Ein Kreissektor: Radius m, Winkel α = (r/m)·360° — der Sektorbogen ist der Grundkreisumfang.

Q: Vom Sektor zurück zum Kegel?
A: r = m·α/360°, dann h = √(m² − r²).

Q: Kegel r=3, h=4: m, V, M, w?
A: m = 5; V = 12π ≈ 37.7; M = 15π ≈ 47.1; w ≈ 73.7°; Sektor 216°.

Q: Volumen des Pyramidenstumpfs?
A: V = (h/3)·(G₁ + √(G₁G₂) + G₂).

Q: Volumen des Kegelstumpfs?
A: V = (πh/3)·(R² + Rr + r²).

Q: Mantel des Kegelstumpfs?
A: M = π(R+r)·m mit m = √(h² + (R−r)²).

Q: Ähnlichkeit im Raum: die drei Skalierungen?
A: Längen ∼ k, Flächen ∼ k², Volumen ∼ k³.

Q: Kegel in halber Höhe geköpft: Volumenanteile?
A: Restkegel 1/8 (k = ½ → k³), Stumpf 7/8 — nicht halbe-halbe!

Q: Stumpf ohne Stumpfformel?
A: Grosser spitzer Körper minus kleiner — der kleine ist eine k-Kopie (Ähnlichkeit).

Q: Pyramidenstumpf G₁=64, G₂=16, h=6: V?
A: V = 2·(64+32+16) = 224.

Q: Schüttkegel: Höhe aus Böschungswinkel?
A: h = r·tan(β) — z.B. r=4, β=30°: h ≈ 2.31.