Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 4.2c Kugel und zusammengesetzte Körper

Q: Kugel: Volumen und Oberfläche?
A: V = (4/3)πr³; O = 4πr² — die Oberfläche ist viermal der Grosskreis.

Q: Radius aus dem Volumen?
A: r = ∛(3V/(4π)) — Kubikwurzel, da V dreidimensional.

Q: Radius aus der Oberfläche?
A: r = √(O/(4π)) — Quadratwurzel, da O zweidimensional.

Q: Das Archimedes-Verhältnis?
A: Kugel im engsten Zylinder (h = 2r): V_Kugel : V_Zylinder = 2 : 3 — für jede Grösse.

Q: Kugel r=6: V und O?
A: V ≈ 904.8; O ≈ 452.4.

Q: 1-Liter-Kugel: Radius?
A: r = ∛(3000/(4π)) ≈ 6.20 cm.

Q: Formel der Kugelkappe (Fläche)?
A: A = 2πrh — hängt nur von r und der Schichthöhe h ab.

Q: Formel des Kugelsegments (Körper)?
A: V = (πh²/3)·(3r − h) — der eben abgeschnittene «Deckel».

Q: Formel des Kugelsektors?
A: V = (2πr²h)/3 — «Glace-Kegel»: Segment plus Kegel bis zum Zentrum.

Q: Grenzfall-Test der Segmentformel?
A: h = r → ⅔πr³ (Halbkugel) ✓; h = 2r → (4/3)πr³ (ganze Kugel) ✓.

Q: Halbkugel: V und vollständige Oberfläche?
A: V = ⅔πr³; frei stehend O = 3πr² (gewölbt 2πr² + Schnittkreis πr²).

Q: Verdoppelter Kugelradius: V und O?
A: V ×8 (k³), O ×4 (k²).

Q: Warum kühlen grosse Körper langsamer aus?
A: Wärmeinhalt ∼ V ∼ k³, Abgabe ∼ O ∼ k² — das Verhältnis O/V sinkt mit der Grösse.

Q: Silo = Zylinder (r=3, h=8) + Halbkugel: V?
A: 72π + 18π = 90π ≈ 282.7 m³.

Q: Silo-Aussenfläche ohne Boden?
A: Zylindermantel + Halbkugel: 48π + 18π = 66π ≈ 207.3 m² — Nahtstellen zählen nicht.

Q: Eiskugel (r) schmilzt in Kegel-Waffel (gleicher r): Mindesthöhe?
A: h = 4r — aus (4/3)πr³ = ⅓πr²h; r² kürzt sich.

Q: Masse aus Volumen?
A: m = ρ·V — z.B. Stahlkugel r=1 cm: V ≈ 4.19 cm³, m ≈ 32.9 g (ρ = 7.85).

Q: Grosse Bleikugel (r=6) → kleine Kugeln (r=2): wie viele?
A: k = 3 → k³ = 27 Kugeln.

Q: Grösste Kugel im Würfel: Radius und Füllanteil?
A: r = a/2; Anteil π/6 ≈ 52.36 % — unabhängig von a (Ähnlichkeit).

Q: Zusammengesetzte Körper: die zwei Bilanz-Regeln?
A: Volumen: Teile addieren/subtrahieren. Oberfläche: nur sichtbare Flächen, Nahtstellen weglassen.