Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 4.3a Vektorbegriff und Komponenten

Q: Was ist ein Vektor?
A: Die Klasse aller Pfeile gleicher Länge und Richtung — eine Verschiebung ohne festen Ort. Skalare brauchen nur eine Zahl, Vektoren zusätzlich eine Richtung.

Q: Skalar oder Vektor: Temperatur, Kraft, Masse, Geschwindigkeit?
A: Temperatur und Masse: Skalare. Kraft und Geschwindigkeit: Vektoren (Betrag + Richtung).

Q: Was ist der Gegenvektor −a⃗?
A: Gleiche Länge, entgegengesetzte Richtung; a⃗ + (−a⃗) = 0⃗ (Nullvektor).

Q: Wie addiert man Vektoren zeichnerisch?
A: Pfeile aneinanderhängen (oder Parallelogramm): Der Summenpfeil geht vom Start des ersten zur Spitze des letzten.

Q: Was bewirkt die skalare Multiplikation s·a⃗?
A: Streckt den Pfeil auf Länge |s|·|a⃗|; bei s < 0 dreht sich die Richtung um.

Q: Wann heissen zwei Vektoren kollinear?
A: Wenn einer ein Vielfaches des anderen ist (b⃗ = s·a⃗) — gleicher Faktor in allen Komponenten, Pfeile parallel.

Q: Formel für den Verbindungsvektor AB⃗?
A: AB⃗ = r⃗_B − r⃗_A — «Spitze minus Fuss» (Ziel minus Start).

Q: Betrag eines Vektors in Ebene und Raum?
A: |a⃗| = √(a₁² + a₂²) bzw. √(a₁² + a₂² + a₃²) — Pythagoras.

Q: Betrag von (3|4) und von (2|−1|2)?
A: √(9+16) = 5 und √(4+1+4) = 3.

Q: Was ist ein Ortsvektor?
A: Der Vektor OA⃗ vom Ursprung zum Punkt A — seine Komponenten sind die Koordinaten von A.

Q: Wie rechnet man polar → kartesisch um?
A: a₁ = r·cos φ, a₂ = r·sin φ (r = Betrag, φ = Winkel zur positiven x-Achse).

Q: Wie rechnet man kartesisch → polar um?
A: r = √(a₁² + a₂²), tan φ = a₂/a₁ — Quadrant an den Vorzeichen prüfen!

Q: Polarform von (−2|2) — die Quadranten-Falle?
A: r = 2√2; Rechner: arctan(−1) = −45°, aber 2. Quadrant → φ = 135° (180° addieren).

Q: Was heisst normieren?
A: Einen Vektor auf Betrag 1 bringen: e⃗_a = a⃗/|a⃗| — gleiche Richtung, Länge 1.

Q: Einheitsvektor zu (3|4)?
A: |a⃗| = 5 → (0.6|0.8). Kontrolle: √(0.36+0.64) = 1 ✓

Q: Was ist eine Linearkombination?
A: c⃗ = s·a⃗ + t·b⃗ — bei nicht kollinearen a⃗, b⃗ ist jeder ebene Vektor eindeutig zerlegbar (LGS für s, t).

Q: Zerlege (5|1) in die Richtungen (2|1) und (1|−1).
A: 2s + t = 5 und s − t = 1 → s = 2, t = 1.

Q: Mittelpunkt einer Strecke vektoriell?
A: r⃗_M = ½(r⃗_A + r⃗_B) — Mittelwert der Ortsvektoren, komponentenweise.

Q: Schwerpunkt eines Dreiecks vektoriell?
A: r⃗_S = ⅓(r⃗_A + r⃗_B + r⃗_C).

Q: Boot 4 m/s quer, Strömung 3 m/s — resultierendes Tempo?
A: 5 m/s (3-4-5-Dreieck): Vektoraddition, Betrag mit Pythagoras.