Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 4.3b Skalarprodukt

Q: Definition des Skalarprodukts (geometrisch)?
A: a⃗ · b⃗ = |a⃗|·|b⃗|·cos φ (Zwischenwinkel φ). Ergebnis: eine Zahl, kein Vektor.

Q: Skalarprodukt in Komponenten?
A: a₁b₁ + a₂b₂ (+ a₃b₃) — Produkte bilden und summieren.

Q: (2|5) · (4|−1) = ?
A: 8 − 5 = 3. Nicht (8|−5) — das Ergebnis ist eine Zahl!

Q: Was gilt für a⃗ · a⃗?
A: a⃗ · a⃗ = |a⃗|² — daraus folgt |a⃗| = √(a⃗ · a⃗).

Q: Die Winkelformel?
A: cos φ = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗|·|b⃗|) für a⃗, b⃗ ≠ 0⃗.

Q: Was verrät das Vorzeichen des Skalarprodukts?
A: > 0: spitzer Winkel · = 0: orthogonal · < 0: stumpfer Winkel.

Q: Orthogonalitätstest?
A: a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗ · b⃗ = 0 — ersetzt jede Winkelmessung.

Q: 2D-Trick für einen Normalenvektor zu (a₁|a₂)?
A: (−a₂|a₁): Komponenten tauschen, ein Vorzeichen drehen — Skalarprodukt wird null.

Q: Für welches k steht (3|k) senkrecht auf (2|4)?
A: 6 + 4k = 0 → k = −1.5.

Q: Winkel zwischen (1|2) und (3|1)?
A: cos φ = 5/(√5·√10) = 1/√2 → φ = 45°.

Q: Welche Rechenregeln gelten — und welche nicht?
A: Kommutativ und distributiv ✓, Skalare herausziehbar ✓. Kein Assoziativgesetz: (a⃗·b⃗)·c⃗ ist ein Vektor.

Q: Formel der Normalprojektion von a⃗ auf b⃗?
A: a⃗_b = ((a⃗·b⃗)/|b⃗|²)·b⃗, Betrag |a⃗·b⃗|/|b⃗| — der «Schatten» von a⃗ auf b⃗.

Q: Projektion von (4|2) auf (3|0)?
A: a⃗·b⃗ = 12, |b⃗|² = 9 → (4|0), Betrag 4.

Q: Projektion bei a⃗ ⊥ b⃗?
A: Nullvektor — ein senkrechter Vektor wirft keinen Schatten (wirksamer Anteil null).

Q: Physikalische Bedeutung des Skalarprodukts?
A: Arbeit W = F⃗ · s⃗ = |F⃗||s⃗|cos φ — nur der Kraftanteil in Bewegungsrichtung zählt.

Q: Arbeit bei F = 50 N, s = 8 m, φ = 60°?
A: W = 400 · 0.5 = 200 J; bei 90°: 0 J (senkrechte Kraft leistet keine Arbeit).

Q: Wie berechnet man den Innenwinkel bei Ecke A?
A: Mit den Vektoren von A weg (AB⃗, AC⃗) in der Winkelformel. Falsche Richtung → Nebenwinkel 180° − φ.

Q: Rechtwinkligkeit eines Dreiecks nachweisen?
A: Skalarprodukt der anliegenden Seitenvektoren einer Ecke: null → rechter Winkel dort.

Q: Winkel zwischen Würfel-Raumdiagonale und Kante?
A: cos φ = 1/√3 → φ ≈ 54.7° — für alle drei Kanten gleich (Symmetrie).

Q: (1|2|2) · (2|−2|1) = ? Was folgt daraus?
A: 2 − 4 + 2 = 0 → die Raumvektoren stehen senkrecht (φ = 90°).