Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 4.3c Geraden

Q: Parametergleichung der Geraden?
A: g: r⃗ = r⃗_A + t·u⃗, t ∈ ℝ — Stützpunkt A, Richtungsvektor u⃗ ≠ 0⃗; gilt in Ebene und Raum.

Q: Gerade durch zwei Punkte A, B?
A: Richtungsvektor u⃗ = AB⃗ = r⃗_B − r⃗_A, Stützpunkt A (oder B).

Q: Sind Stützpunkt und Richtungsvektor eindeutig?
A: Nein — jeder Geradenpunkt taugt als Stützpunkt, jedes Vielfache ≠ 0⃗ als Richtung.

Q: Wie funktioniert die Punktprobe?
A: Komponentenweise nach t auflösen: alle Komponenten müssen dasselbe t liefern — sonst liegt der Punkt nicht auf g.

Q: Liegt Q(4|4) auf r⃗ = (1|2) + t(3|1)?
A: x: t = 1, y: t = 2 — Widerspruch, nein.

Q: Welche Lagen können zwei Geraden in der Ebene haben?
A: Identisch, echt parallel oder schneidend — nicht parallele Geraden schneiden sich in der Ebene immer.

Q: Welche Lage gibt es nur im Raum?
A: Windschief: nicht parallel und ohne Schnittpunkt — die Geraden laufen aneinander vorbei.

Q: Der Lage-Fahrplan für zwei Geraden?
A: 1. Richtungen kollinear? ja → Punktprobe (identisch/parallel) · nein → gleichsetzen (Schnitt/windschief).

Q: Warum beim Gleichsetzen verschiedene Parameter t und s?
A: Die Geraden dürfen den Schnittpunkt zu verschiedenen Parameterwerten erreichen — gleicher Buchstabe koppelt die «Fahrpläne» fälschlich.

Q: Schnittpunkt von (1|2)+t(3|1) und (0|5)+s(1|−1)?
A: 1+3t = s, 2+t = 5−s → t = 0.5, s = 2.5 → (2.5|2.5).

Q: Windschief-Test im Raum?
A: Zwei Komponenten bestimmen t und s — die dritte testet: Widerspruch → windschief.

Q: Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden?
A: cos φ = |u⃗ · v⃗| / (|u⃗|·|v⃗|) — der Betrag erzwingt den spitzen Winkel (0° ≤ φ ≤ 90°).

Q: Wann stehen zwei Geraden senkrecht?
A: Wenn das Skalarprodukt der Richtungsvektoren null ist.

Q: Abstand Punkt–Gerade: das Lot-Rezept?
A: 1. Laufender Punkt F = A + t·u⃗ · 2. PF⃗ · u⃗ = 0 → t · 3. d = |PF⃗|.

Q: Abstand von P(4|0) zu (0|1)+t(2|1)?
A: 5t − 7 = 0 → t = 1.4, F(2.8|2.4), d = √7.2 ≈ 2.68.

Q: Warum ist der Lotfusspunkt der nächste Geradenpunkt?
A: Jeder andere Geradenpunkt bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse länger als die Lot-Kathete.

Q: Bewegung als Parametergleichung?
A: r⃗(t) = r⃗₀ + t·v⃗ mit t = Zeit; das Tempo ist |v⃗|.

Q: Bahnschnitt vs. Kollision?
A: Bahnschnitt: gleicher Ort bei beliebigen Parametern (t ≠ s erlaubt). Kollision: gleicher Ort bei gleichem t.

Q: Drohne r⃗(t) = (2|1|10) + t(4|3|0): Tempo und Höhe?
A: Tempo √(16+9) = 5; Höhe konstant 10 — die z-Komponente der Richtung ist null.

Q: Aus x = 1+3t, y = 2+t die Funktionsgleichung?
A: t eliminieren: y = x/3 + 5/3 (m = u₂/u₁). Im Raum unmöglich — dort bleibt nur die Parameterform.