Title: TALS Mathematik / Schwerpunkt / 4.3d Ebenen (Ergänzung)

Q: Parametergleichung der Ebene?
A: E: r⃗ = r⃗_A + s·u⃗ + t·v⃗ — Stützpunkt plus zwei nicht kollineare Spannvektoren, zwei Parameter.

Q: Warum zwei Parameter?
A: Eine Fläche hat zwei Freiheitsgrade — die Gerade (eine Linie) nur einen.

Q: Warum dürfen die Spannvektoren nicht kollinear sein?
A: Sonst zeigen beide «Regler» in dieselbe Richtung — alle Kombinationen bleiben auf einer Geraden, keine Fläche.

Q: Ebene durch drei Punkte A, B, C?
A: u⃗ = AB⃗, v⃗ = AC⃗, Stützpunkt A — die Punkte müssen ein echtes Dreieck bilden.

Q: Punktprobe in der Ebene: das Verfahren?
A: Drei Gleichungen, zwei Unbekannte: zwei bestimmen s und t, die dritte testet.

Q: Liegt P(2|3|3) in (1|0|0)+s(1|2|0)+t(0|1|3)?
A: x: s = 1; z: t = 1; Test y: 2+1 = 3 ✓ — ja.

Q: Gleichung der x-y-Ebene?
A: r⃗ = s·e⃗₁ + t·e⃗₂ — alle Punkte mit z = 0.

Q: Schnitt Gerade–Ebene: der Ansatz?
A: Gleichsetzen: 3 Gleichungen für 3 Unbekannte (Geraden-Parameter r, Ebenen-Parameter s, t).

Q: Lösungsanzahl und Lage Gerade–Ebene?
A: 1 Lösung: Durchstosspunkt · 0: echt parallel · ∞: Gerade liegt in der Ebene.

Q: Durchstosspunkt von (0|5|3)+r(1|0|0) durch die Beispiel-Ebene?
A: 3t = 3 → t = 1; 2s+t = 5 → s = 2; r = 1+s = 3 → (3|5|3).

Q: Welche Lagen können zwei Ebenen haben?
A: Identisch, echt parallel oder Schnitt in einer Geraden — nie in nur einem Punkt.

Q: Wie prüft man «Gerade parallel zur Ebene»?
A: Richtungsvektor als Linearkombination der Spannvektoren darstellbar, Stützpunkt aber ausserhalb — bzw. System ohne Lösung.

Q: Pultdach (0|0|4)+s(6|0|0)+t(0|5|2): Höhe über (3|2.5)?
A: 6s = 3 → s = 0.5; 5t = 2.5 → t = 0.5; z = 4 + 2·0.5 = 5 m.

Q: Wie findet man allgemein die Höhe über einem Grundriss-Punkt?
A: x-, y-Gleichung → s, t → in die z-Gleichung einsetzen.

Q: Dachneigung aus dem Spannvektor (0|5|2)?
A: 2 m pro 5 m Tiefe (40 %) — das Verhältnis der Komponenten.

Q: Kamin über (2|3) senkrecht: Durchstosshöhe durchs Pultdach?
A: s = 1/3, t = 0.6 → z = 4 + 1.2 = 5.2 m.

Q: Leitung (0|0|9)+r(6|0|0) und Pultdach: Lage?
A: Richtung = Spannvektor → parallel; über (0|0) liegt die Ebene auf 4 m, die Leitung auf 9 m → echt parallel.

Q: Was ist die Normalenform (Ausblick)?
A: n⃗ · (r⃗ − r⃗_A) = 0 mit Normalenvektor n⃗ ⊥ E — kompakter für Abstände und Winkel (Hochschulstoff).

Q: Drei Punkte auf einer Geraden — Ebene definierbar?
A: Nein: AB⃗ und AC⃗ wären kollinear; durch eine Gerade gehen unendlich viele Ebenen.

Q: Ist 4.3d Ebenen Teil des RLP 2030?
A: Nein — Ergänzung des TALS-Lehrmittels: Der RLP 4.3 endet bei den Geraden; Ebenen sind der natürliche nächste Schritt.