So arbeitest du mit dieser Lösung
- Zuerst rechnen, dann lesen. Das Aufgabenblatt steht gleich unten, vollständig und ohne Lösungen. Nimm ein Blatt und arbeite es durch, bevor du weiterscrollst.
- Erst danach hierher zurück. Wer die Lösung vorher liest, verwechselt Verstehen mit Wiedererkennen. Das gilt für die Clips genauso.
- Zu jeder Teilaufgabe ein Clip. Neun Teilaufgaben, neun Clips. Der Clip zeigt den Gedankengang, die Lösung darunter macht ihn vollständig.
- Der orange Balken sagt, was zählt. Unter jeder Lösung steht, wofür es die Punkte gibt — daran siehst du, ob dein Rechenweg gereicht hätte.
- Hakenfeld setzen. Sitzt eine Aufgabe, hakst du sie oben rechts im Aufgabenkopf ab. Der Balken links zeigt, wo du stehst.
Aufgabenblatt
Alle Teilaufgaben am Stück, ohne Lösungen und ohne Clips.
Aufgabe 1 · Am rechtwinkligen Dreieck (6 Punkte)
- 1a(3 P)Vervollständigen Sie die Definitionen: \(\cos(\alpha) = \ldots\), \(\sin(\alpha) = \ldots\), \(\tan(\alpha) = \ldots\) — am Dreieck unten.
- 1b(1 P)Nehmen wir an, dass der dritte Winkel \(\beta\) ist. Erklären Sie, warum \(\sin(\beta) = \cos(\alpha)\) gilt.
- 1c(2 P)Zeigen Sie durch Umformung, dass \(\ 1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\)
Aufgabe 2 · Richtig oder falsch (4 Punkte)
Sind die folgenden Aussagen RICHTIG oder FALSCH? Falls eine Aussage falsch ist, erklären Sie warum.
- 2a(2 P)Wenn man in einem rechtwinkligen Dreieck mit \(\gamma = 90^\circ\) die Ankathete von \(\alpha\) halbiert und die Gegenkathete von \(\alpha\) verdoppelt, so vervierfacht sich \(\tan(\alpha)\)
- 2b(1 P)\(\dfrac{4}{3}\pi\ \text{rad} = 240^\circ\)
- 2c(1 P)\(\tan(\alpha) = \dfrac{1}{\tan(90^\circ - \alpha)}\)
Aufgabe 3 · Fehlersuche (4 Punkte)
- 3(4 P)Ein Ballonfahrer entdeckt in 3000 m Höhe über dem Meer fliegend zwei Schiffe. Beide fahren direkt hintereinander. Das dem Ballon nähere Schiff erblickt er unter einem Tiefenwinkel von \(40^\circ\), das dahinter herfahrende unter \(25^\circ\). Bestimmen Sie den Abstand der Schiffe. — Die Aufgabe wurde auf die falsche Weise gelöst (Rechnung unten). Identifizieren Sie die zwei Fehler und korrigieren Sie diese.
Aufgabe 4 · Einheitskreis (4 Punkte)
- 4a(2 P)Zeichnen Sie einen Punkt \(P\) im zweiten Quadranten auf dem Einheitskreis und beschreiben Sie die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten von \(P\) mit Hilfe trigonometrischer Funktionen.
- 4b(2 P)Bestimmen Sie alle Winkel \(\alpha\), für die \(\sin(\alpha) = 1\) gilt. Geben Sie die Lösung sowohl in Grad als auch in Radianten an.
Durchgerechnet? Dann geht es unten weiter — Teilaufgabe für Teilaufgabe, jede mit Clip und Musterlösung.
1 — Definitionen, Kofunktion, Identität
Alle drei Teilaufgaben hängen an demselben Bild. Wer die Seiten einmal sauber von \(\alpha\) aus benennt, hat a) geschenkt, b) fast geschenkt und für c) die halbe Arbeit getan.
Aufgabe 1 · 6 P
-
1a(3 P)Vervollständigen Sie die Definitionen: \(\cos(\alpha) = \ldots\), \(\sin(\alpha) = \ldots\), \(\tan(\alpha) = \ldots\)
Lösung
Von \(\alpha\) aus: Gegenkathete \(a\), Ankathete \(b\), Hypotenuse \(c\)
\(\cos(\alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{b}{c}\)
\(\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{a}{c}\)
\(\tan(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{a}{b}\)
Probe im Kopf: \(\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \dfrac{a/c}{b/c} = \dfrac{a}{b} = \tan(\alpha)\) — die Hypotenuse kürzt sich weg. Wer eine Definition vergisst, holt sie sich so zurück.
Je 1 P für die drei Definitionen. Die Benennung muss von \(\alpha\) aus stimmen — bei \(\beta\) wären Gegen- und Ankathete vertauscht.
-
1b(1 P)Erklären Sie, warum \(\sin(\beta) = \cos(\alpha)\) gilt.
Lösung
Im Dreieck ist \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\) und \(\gamma = 90^\circ\), also \(\beta = 90^\circ - \alpha\)
Entscheidend ist der Rollentausch der Seiten: Was von \(\alpha\) aus die Ankathete ist, nämlich \(b\), ist von \(\beta\) aus die Gegenkathete. Die Hypotenuse \(c\) bleibt für beide dieselbe.
\(\sin(\beta) = \dfrac{\text{Gegenkathete von } \beta}{c} = \dfrac{b}{c} \qquad \cos(\alpha) = \dfrac{\text{Ankathete von } \alpha}{c} = \dfrac{b}{c}\)
Beides ist derselbe Bruch, also \(\sin(\beta) = \cos(\alpha)\)
Allgemein: \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\) und \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\). Daher der Name Kosinus — der Sinus des Ergänzungswinkels.
1 P. Die blosse Formel \(\sin(90^\circ-\alpha) = \cos(\alpha)\) hinzuschreiben ist keine Erklärung — gefragt ist das Warum, also der Rollentausch der Seiten.
-
1c(2 P)Zeigen Sie durch Umformung, dass \(\ 1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\)
Lösung
Zwei Bausteine: \(\tan(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\) und der trigonometrische Pythagoras \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)
\(1 + \tan^2(\alpha) = 1 + \dfrac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}\)
\(= \dfrac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + \dfrac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \dfrac{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}\)
\(= \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\)
Alternativ direkt am Dreieck: \(1 + \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{b^2+a^2}{b^2} = \dfrac{c^2}{b^2} = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\) — hier ist es der gewöhnliche Satz des Pythagoras. Beide Wege gelten für \(\cos(\alpha) \neq 0\)
1 P für den Ansatz (Tangens als Quotient, gleichnamig machen), 1 P für das Einsetzen des Pythagoras. Von einer Seite ausgehen und zur anderen kommen — nicht auf beiden Seiten gleichzeitig umformen.
Alle drei Teilaufgaben sind dieselbe Sache aus drei Blickwinkeln. In a) benennt man die Seiten von einem Winkel aus. In b) sieht man, dass dieselbe Seite von beiden Winkeln aus einen anderen Namen trägt. Und in c) genügt es, alles auf Sinus und Kosinus zurückzuführen und den Pythagoras einzusetzen.
2 — Drei Aussagen prüfen
Hier ist alle drei Male «richtig» die Antwort. Das ist die eigentliche Falle der Aufgabe: Wer aus dem Aufbau schliesst, dass mindestens eine falsch sein müsse, sucht einen Fehler, den es nicht gibt. Geprüft wird jede Aussage einzeln, durch Nachrechnen.
Aufgabe 2 · 4 P
-
2a(2 P)Ankathete von \(\alpha\) halbieren, Gegenkathete verdoppeln — vervierfacht sich \(\tan(\alpha)\)?
Lösung
RICHTIG.
Mit Gegenkathete \(g\) und Ankathete \(a\) ist \(\tan(\alpha) = \dfrac{g}{a}\). Nach der Änderung:
\(\dfrac{2g}{a/2} = 2g \cdot \dfrac{2}{a} = \dfrac{4g}{a} = 4 \cdot \dfrac{g}{a} = 4\tan(\alpha)\)
Beide Änderungen wirken im selben Sinn — der Zähler wird doppelt so gross, der Nenner halb so gross. Zusammen ergibt das den Faktor \(4\)
Zahlenprobe: aus \(\tfrac{3}{4} = 0.75\) wird \(\tfrac{6}{2} = 3\), und \(3 = 4 \cdot 0.75\). — Genau genommen ändert sich mit den Seiten auch der Winkel selbst; gemeint ist der Tangens des neuen Winkels an dieser Ecke.
2 P für die Antwort mit Rechnung. Ein blosses «richtig» ohne den Bruch gibt keine volle Punktzahl.
-
2b(1 P)\(\dfrac{4}{3}\pi\ \text{rad} = 240^\circ\)
Lösung
RICHTIG.
Die ganze Umrechnung hängt an \(\pi\ \text{rad} = 180^\circ\). Also \(\pi\) durch \(180^\circ\) ersetzen:
\(\dfrac{4}{3}\pi = \dfrac{4}{3} \cdot 180^\circ = 4 \cdot 60^\circ = 240^\circ\)
Gegenprobe: \(240^\circ\) sind zwei Drittel von \(360^\circ\), und zwei Drittel von \(2\pi\) sind \(\tfrac{4}{3}\pi\)
1 P. Erst durch drei, dann mal vier — so bleibt es im Kopf rechenbar.
-
2c(1 P)\(\tan(\alpha) = \dfrac{1}{\tan(90^\circ - \alpha)}\)
Lösung
RICHTIG.
Mit den Kofunktions-Regeln aus 1b: \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\) und \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\). Also
\(\tan(90^\circ - \alpha) = \dfrac{\sin(90^\circ - \alpha)}{\cos(90^\circ - \alpha)} = \dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \dfrac{1}{\tan(\alpha)}\)
und damit \(\dfrac{1}{\tan(90^\circ - \alpha)} = \tan(\alpha)\)
Am Dreieck sieht man dasselbe sofort: Was für \(\alpha\) die Gegenkathete ist, ist für \(\beta = 90^\circ - \alpha\) die Ankathete — der Bruch kippt. Zahlenprobe: \(\tan(30^\circ) \cdot \tan(60^\circ) = 0.577 \cdot 1.732 = 1\). Bedingung: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), sonst ist ein Tangens null oder undefiniert.
1 P. Die Begründung darf über die Kofunktion oder über das Dreieck laufen — beides zählt.
Bei 2a den Winkel mit dem Tangenswert verwechseln. Der Tangens vervierfacht sich — der Winkel tut das nicht. Aus \(\alpha \approx 36.9^\circ\) (mit \(\tan = 0.75\)) wird \(\alpha \approx 71.6^\circ\) (mit \(\tan = 3\)), nicht \(147.6^\circ\). Nichts an der Aufgabe behauptet etwas über den Winkel.
3 — Der Ballon und die zwei Schiffe
Nicht selber rechnen, sondern eine fremde Rechnung prüfen. Der Ansatz der vorgelegten Lösung ist richtig — der Abstand ist die Differenz zweier waagrechter Strecken. Beide Strecken sind aber falsch bestimmt.
Aufgabe 3 · 4 P
-
3(4 P)Identifizieren Sie die zwei Fehler in der vorgelegten Lösung und korrigieren Sie diese.
Lösung
Was vorgelegt wurde:
\(\cos(25^\circ) = \dfrac{3000}{z} \ \Longrightarrow \ z = \dfrac{3000}{\cos(25^\circ)}\)
\(\tan(25^\circ) = \dfrac{y}{3000} \ \Longrightarrow \ y = \dfrac{3000}{\tan(25^\circ)}\)
\(\text{Abstand} = z - y\)
Der Ansatz \(z - y\) ist richtig: Der Abstand der Schiffe ist die Differenz ihrer waagrechten Entfernungen vom Ballon.
Fehler 1 — falsche Winkelfunktion. Die Höhe \(3000\) und die waagrechte Strecke \(z\) sind beide Katheten: die Gegenkathete und die Ankathete zum Tiefenwinkel. Zwischen zwei Katheten steht der Tangens; der Kosinus bräuchte die Hypotenuse.
\(\tan(25^\circ) = \dfrac{3000}{z} \ \Longrightarrow \ z = \dfrac{3000}{\tan(25^\circ)} \approx 6434\ \mathrm{m}\)
Fehler 2 — falscher Winkel. Für \(y\) wurde noch einmal \(25^\circ\) verwendet. Das nähere Schiff erscheint aber unter \(40^\circ\); diese Angabe kommt in der ganzen Lösung nicht vor.
\(\tan(40^\circ) = \dfrac{3000}{y} \ \Longrightarrow \ y = \dfrac{3000}{\tan(40^\circ)} \approx 3575\ \mathrm{m}\)
Ergebnis:
\(\text{Abstand} = z - y \approx 6434 - 3575 \approx 2858\ \mathrm{m}\)
In der Skizze der vorgelegten Lösung ist der Winkel zwischen der Senkrechten und der Sichtlinie zum näheren Schiff mit \(25^\circ\) angeschrieben. Dort gehören \(90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\) hin — und über diesen Weg käme \(y = 3000 \cdot \tan(50^\circ) \approx 3575\ \mathrm{m}\), dasselbe Ergebnis.
Je 2 P für einen erkannten und korrigierten Fehler. Erkennen allein genügt nicht — die Aufgabe verlangt ausdrücklich auch die Korrektur.
Die Zeile \(\tan(25^\circ) = \dfrac{y}{3000}\) wird zu \(y = \dfrac{3000}{\tan(25^\circ)}\) umgeformt. Richtig wäre \(y = 3000 \cdot \tan(25^\circ)\) — die Umformung selbst ist also ebenfalls falsch.
Gefragt sind zwei Fehler, und die beiden oben sind die inhaltlichen: die falsche Winkelfunktion und der ungenutzte \(40^\circ\)-Winkel. Der Umformungsfehler ist ein Rechenversehen in einer ohnehin falschen Zeile. Wer ihn zusätzlich nennt, hat mehr gesehen, nicht weniger — schreib ihn ruhig dazu.
Der Winkel wird immer von der Waagrechten aus gemessen. Damit liegt die Höhe dem Winkel gegenüber und die waagrechte Strecke an ihm an — zwei Katheten, also Tangens:
\[ \text{waagrechte Strecke} = \dfrac{\text{Höhe}}{\tan(\text{Tiefenwinkel})} \]
Und jedes anvisierte Objekt bringt seinen eigenen Winkel mit. Wer den Winkel stattdessen von der Senkrechten aus misst, rechnet mit \(90^\circ\) minus dem Tiefenwinkel — und dann mit \(\tan\) mal statt geteilt.
4 — Punkt und Periode
Auf dem Einheitskreis hören Sinus und Kosinus auf, Brüche zu sein: Sie sind die Koordinaten. Erst dadurch werden Winkel jenseits von 90° überhaupt möglich — im Dreieck gibt es sie nicht.
Aufgabe 4 · 4 P
-
4a(2 P)Zeichnen Sie \(P\) im zweiten Quadranten auf dem Einheitskreis und beschreiben Sie seine \(x\)- und \(y\)-Koordinaten mit trigonometrischen Funktionen.
Lösung
Der Winkel \(\alpha\) wird von der positiven \(x\)-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Dann gilt
\[ P = (\cos(\alpha) \mid \sin(\alpha)) \]
Warum: Am rechtwinkligen Dreieck ist \(\cos(\alpha) = \dfrac{x}{r}\) und \(\sin(\alpha) = \dfrac{y}{r}\). Auf dem Einheitskreis ist \(r = 1\), also bleibt \(x = \cos(\alpha)\) und \(y = \sin(\alpha)\)
Im zweiten Quadranten liegt \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), also \(\cos(\alpha) < 0\) und \(\sin(\alpha) > 0\) — der Punkt liegt links oben.
Beispiel \(\alpha = 135^\circ\): \(P = (-0.71 \mid 0.71)\), wie oben gezeichnet.
1 P für die Zeichnung im richtigen Quadranten, 1 P für \(P = (\cos\alpha \mid \sin\alpha)\). Die Vorzeichen sollten erwähnt sein — sie zeigen, dass der Quadrant verstanden ist.
-
4b(2 P)Bestimmen Sie alle Winkel \(\alpha\) mit \(\sin(\alpha) = 1\), in Grad und in Radianten.
Lösung
Der Sinus ist die \(y\)-Koordinate. Gesucht sind also die Punkte des Einheitskreises mit \(y = 1\) — und das ist genau ein Punkt, der höchste: \(P = (0 \mid 1)\)
Er gehört zum Winkel \(\alpha = 90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\)
Nach jeder vollen Umdrehung steht man wieder auf demselben Punkt. Also:
\[ \alpha = 90^\circ + k \cdot 360^\circ \qquad \alpha = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Ohne das \(k \in \mathbb{Z}\) ist die Antwort unvollständig — gefragt sind alle Winkel, nicht einer. Probe: \(450^\circ\) und \(-270^\circ\) haben ebenfalls den Sinus \(1\)
1 P für \(90^\circ\) beziehungsweise \(\tfrac{\pi}{2}\), 1 P für die Periode in beiden Massen. Nur \(90^\circ\) anzugeben gibt die Hälfte.
Sinus und Kosinus wiederholen sich alle \(360^\circ = 2\pi\), der Tangens dagegen schon alle \(180^\circ = \pi\). Wer nach allen Lösungen gefragt wird, schreibt \(+\,k \cdot 360^\circ\) beziehungsweise \(+\,k \cdot 180^\circ\) dazu — mit \(k \in \mathbb{Z}\)
Ein zweiter Punkt: \(\sin(\alpha) = 1\) hat nur eine Lösung je Umlauf, weil \(1\) der grösste Wert des Sinus ist. Bei \(\sin(\alpha) = 0.5\) gäbe es dagegen zwei je Umlauf — \(30^\circ\) und \(150^\circ\)
Auswertung
Zähl die Punkte deiner eigenen Lösung zusammen — nach den orangen Zeilen unter den Musterlösungen.
| Aufgabe | Inhalt | Punkte |
|---|---|---|
| 1 | Definitionen, Kofunktion, Identität | 6 |
| 2 | Drei Aussagen prüfen | 4 |
| 3 | Fehlersuche am Ballon | 4 |
| 4 | Einheitskreis | 4 |
| Total | 9 Teilaufgaben | 18 |
| 16 – 18 P | Sitzt. Die Definitionen und der Einheitskreis sind beieinander. |
| 12 – 15 P | Gut. Schau die ein, zwei Stellen an, bei denen es geharzt hat, und rechne sie mit anderen Zahlen nach. |
| 8 – 11 P | Die Definitionen sitzen, der Einheitskreis noch nicht. Aufgabe 4 und Aufgabe 1b noch einmal — es ist zweimal dieselbe Idee. |
| 0 – 7 P | Zurück zu Aufgabe 1a: die Seiten von einem Winkel aus benennen. Ohne das ist der Rest nicht zu retten. |
| 1a | Gegen- und Ankathete vom falschen Winkel aus benannt. |
| 2 | Einen Fehler suchen, weil «alle drei richtig» unwahrscheinlich wirkt. |
| 3 | Nur erkennen, nicht korrigieren — die Aufgabe verlangt beides. |
| 4b | Die Periode vergessen: \(90^\circ\) statt \(90^\circ + k \cdot 360^\circ\). |