Sieben Anwendungsaufgaben aus Technik, Bauwesen und Alltag. In jeder Situation soll ein Sachverhalt zuerst als Term formuliert werden, bevor gerechnet wird. Vorgehen: Variablen festlegen → Term aufstellen → einsetzen oder umformen → Ergebnis interpretieren. Musterlösungen am Ende.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Alltag | Pause-Snack am Kiosk | ●○○ |
| 2 | Bauwesen | Materialkosten einer Wand | ●●○ |
| 3 | Mobilität | Stundensatz und Wegpauschale | ●●○ |
| 4 | Elektrotechnik | Leistung an einem Widerstand | ●●● |
| 5 | Logistik | Verpackungsformel | ●●○ |
| 6 | Architektur | Heizfläche eines Wintergartens | ●●● |
| 7 | Life Sciences | Wachstum einer Bakterienkultur | ●●● |
Im Pausenkiosk kostet ein Brötchen 2.50 Fr. und ein Getränk 3.20 Fr. Eine Gruppe kauft \(n\) Brötchen und \(g\) Getränke.
(a) Stelle einen Term \(K(n, g)\) für die Gesamtkosten auf.
(b) Berechne die Kosten für 5 Brötchen und 3 Getränke.
(c) Wie ändert sich der Term, wenn der Kiosk auf den Gesamtbetrag 10 % Sonntags-Aufschlag erhebt?
Lösungsweg:
Eine Trockenbauwand hat die Länge \(\ell\) m und die Höhe \(h\) m. Pro Quadratmeter Wandfläche werden 28 Fr. Material und 12 Fr. Zubehör (Leim, Dübel) gerechnet. Zusätzlich kostet die Anlieferung pauschal 75 Fr.
(a) Stelle einen Term \(K(\ell, h)\) für die Gesamtkosten auf.
(b) Berechne die Kosten für eine Wand mit \(\ell = 5\) m, \(h = 2.5\) m.
Lösungsweg:
Eine Heizungsmonteurin verrechnet 95 Fr. pro Arbeitsstunde \(t\) (in h) plus eine Wegpauschale von 65 Fr. pro Auftrag.
(a) Drücke den Rechnungsbetrag \(R(t)\) als Term aus.
(b) Welche Stundenzahl ergibt einen Rechnungsbetrag von 540 Fr.?
(c) Wie verändert sich der Term, wenn pro Auftrag zwei Wegpauschalen anfallen (Hin- und Rückweg getrennt)?
Lösungsweg:
Die elektrische Leistung an einem Widerstand \(R\) bei einer Spannung \(U\) wird durch \(P = \dfrac{U^2}{R}\) beschrieben.
(a) Beschreibe die Termstruktur (Hauptoperation, Glieder).
(b) Wie ändert sich \(P\), wenn die Spannung verdoppelt wird? Nutze die Termstruktur, um die Antwort ohne konkrete Zahlen zu begründen.
(c) Berechne \(P\) für \(U = 230\) V und \(R = 50\) Ω.
Lösungsweg:
Eine quaderförmige Schachtel hat Länge \(\ell\), Breite \(b\) und Höhe \(h\) (alle in cm). Die Oberfläche \(O\) lässt sich in zwei äquivalenten Termen schreiben:
\(O_1 = 2 \ell b + 2 \ell h + 2 b h\) und \(O_2 = 2 \cdot (\ell b + \ell h + b h)\).
(a) Welches Rechengesetz erlaubt die Umformung von \(O_1\) zu \(O_2\)?
(b) Berechne \(O\) für \(\ell = 30\), \(b = 20\), \(h = 15\) cm.
(c) Welche Form ist beim Tippen in den Taschenrechner praktischer? Begründe.
Lösungsweg:
Ein rechteckiger Wintergarten mit Innenmassen \(a \times b\) hat Glasflächen rundum. Vom Boden aus gesehen besteht er aus zwei Längsseiten (\(a\) lang, \(h\) hoch), zwei Querseiten (\(b\) lang, \(h\) hoch) und einem Dach der Fläche \(a \cdot b\).
(a) Stelle einen Term \(F(a, b, h)\) für die gesamte verglaste Fläche auf.
(b) Vereinfache mit dem Distributivgesetz.
(c) Berechne für \(a = 5\) m, \(b = 3\) m, \(h = 2.4\) m.
Lösungsweg:
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 30 Minuten. Mit Anfangszahl \(N_0\) und Zeit \(t\) in Stunden gilt \(N(t) = N_0 \cdot 2^{2t}\).
(a) Was ist die Hauptoperation des Terms? Erkläre mit Hierarchie der Operationen, in welcher Reihenfolge ausgewertet wird.
(b) Berechne die Anzahl Bakterien nach 3 Stunden, wenn \(N_0 = 500\).
(c) Beschreibe in Worten, wie sich der Term \(2^{2t}\) ändert, wenn \(t\) um 1 Stunde zunimmt.
Lösungsweg:
(a) Pro Brötchen kostet 2.50 Fr., pro Getränk 3.20 Fr. — also \(K(n, g) = 2.50 \cdot n + 3.20 \cdot g\). Hauptoperation: Addition. Termart: Summe aus zwei Produkten.
(b) Einsetzen: \(K(5, 3) = 2.50 \cdot 5 + 3.20 \cdot 3 = 12.50 + 9.60 = 22.10\,\text{Fr.}\)
(c) Der Aufschlag wirkt auf den Gesamtbetrag, also den ganzen Term \(K(n, g)\). Faktor \(1.10\) (= 100 % + 10 %): \(K_{\text{So}}(n, g) = 1.10 \cdot (2.50 \cdot n + 3.20 \cdot g)\). Die Klammer ist wichtig — sonst würde der Aufschlag nur auf einen Summanden wirken.
(a) \(K(\ell, h) = 28 \cdot \ell \cdot h + 12 \cdot \ell \cdot h + 75 = (28 + 12) \cdot \ell \cdot h + 75 = 40 \cdot \ell \cdot h + 75\). Die Zusammenfassung der ersten beiden Glieder ist das Distributivgesetz rückwärts gelesen (\(28 \cdot x + 12 \cdot x = (28+12) \cdot x\)). Hauptoperation des Gesamtterms: Addition.
(b) \(K(5,\, 2.5) = 40 \cdot 5 \cdot 2.5 + 75 = 500 + 75 = 575\) Fr.
(a) \(R(t) = 95 \cdot t + 65\).
(b) \(95 t + 65 = 540 \Rightarrow 95 t = 475 \Rightarrow t = 5\) Stunden.
(c) \(R(t) = 95 t + 2 \cdot 65 = 95 t + 130\). Die Konstante steigt von 65 auf 130 Fr. Strukturell bleibt der Term aber ein lineares Bildungsgesetz \(R(t) = m \cdot t + b\) mit Steigung \(m = 95\) und Achsenabschnitt \(q = 130\) — solche Terme heissen lineare Funktionen und werden in 3.2 systematisch behandelt.
(a) Hauptoperation: Division (Quotient). Zähler: Potenz \(U^2\). Nenner: Variable \(R\).
(b) Wird \(U\) verdoppelt, wird \(U^2\) vervierfacht (\((2U)^2 = 4 U^2\)). Bei konstantem \(R\) wird also auch \(P\) vervierfacht.
(c) \(P = 230^2 / 50 = 52\,900 / 50 = 1\,058\) W.
(a) Distributivgesetz, rückwärts gelesen: \(2A + 2B + 2C = 2(A + B + C)\).
(b) \(O = 2 \cdot (30 \cdot 20 + 30 \cdot 15 + 20 \cdot 15) = 2 \cdot (600 + 450 + 300) = 2 \cdot 1\,350 = 2\,700\) cm².
(c) Form \(O_2\) ist praktischer: nur eine Multiplikation mit 2 am Schluss, statt drei einzeln.
(a) \(F(a, b, h) = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h + a \cdot b\).
(b) Distributiv: \(F = 2h \cdot (a + b) + a b\).
(c) \(F = 2 \cdot 2.4 \cdot (5 + 3) + 5 \cdot 3 = 4.8 \cdot 8 + 15 = 38.4 + 15 = 53.4\) m².
(a) Hauptoperation: Multiplikation (Produkt). Faktoren: \(N_0\) und \(2^{2t}\). Der zweite Faktor ist eine Potenz; im Exponenten steht das Produkt \(2 \cdot t\). Reihenfolge: erst \(2 \cdot t\) im Exponenten berechnen, dann \(2^{(\ldots)}\), zuletzt mal \(N_0\). Vorgriff: Solche Bildungsgesetze der Form \(N(t) = N_0 \cdot a^{k t}\) heissen Exponentialfunktionen und werden im Schwerpunktfach (Teilgebiet 3.4, Exponential- und Logarithmusfunktionen) systematisch behandelt.
(b) \(N(3) = 500 \cdot 2^{6} = 500 \cdot 64 = 32\,000\) Bakterien.
(c) Wenn \(t\) um 1 zunimmt, steigt \(2t\) um 2 — und damit \(2^{2t}\) um den Faktor \(2^2 = 4\). Die Bakterienzahl wird also jede Stunde mit 4 multipliziert (= zweimal verdoppelt, was zur 30-Minuten-Verdopplung passt).