1.1 Grundlagen
In diesem Teilgebiet geht es um Struktur: einen algebraischen Ausdruck als Ganzes lesen, seine Bausteine erkennen und entscheiden, welche Umformung erlaubt ist. Wer Strukturen sieht, rechnet schneller — und macht weniger Vorzeichenfehler.
- Strukturen von algebraischen Ausdrücken erkennen und beim Berechnen sowie Umformen entsprechend berücksichtigen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann erklären, was ein algebraischer Term ist und woraus er besteht (Zahlen, Variablen, Operationen).
- Ich kann die Hauptoperation eines Terms bestimmen und damit seine Struktur beschreiben.
- Ich kann die Hierarchie der Operationen («Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich», innerhalb einer Stufe von links nach rechts) sicher anwenden.
- Ich kann einen Strukturbaum lesen und zu einem Term aufstellen.
- Ich kann Rechengesetze (Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz) erkennen und für Umformungen nutzen.
Einstieg — was ist die Hauptoperation?
Beim Einkauf rechnen drei Personen denselben Betrag verschieden aus:
Ein Päckchen Schrauben kostet 4 Fr., ein Päckchen Dübel kostet 3 Fr. Anna kauft je x Päckchen jeder Sorte und legt zusätzlich 5 Fr. für Verpackung dazu. Drei korrekte Schreibweisen für ihre Gesamtausgabe in Franken:
\[ 4 \cdot x + 3 \cdot x + 5 \qquad (4 + 3) \cdot x + 5 \qquad 7 \cdot x + 5 \]Alle drei Terme liefern für jedes x denselben Wert (ausprobieren mit \(x = 2\): 8 + 6 + 5 = 19, oder 7·2 + 5 = 19). Sie sind äquivalent. Aber nur die rechte Form lässt direkt erkennen, dass es sich um eine Summe aus „7·x" und „5" handelt; die mittlere zeigt dieselbe Struktur, rechnet \(4 + 3\) aber noch nicht aus.
Diese Beobachtung ist der Kern des Kapitels: Bevor man rechnet, schaut man auf die Struktur. Eine Strukturanalyse beantwortet drei Fragen:
- Was ist die Hauptoperation — eine Summe, ein Produkt, eine Potenz, ein Bruch?
- Aus welchen Bausteinen ist der Term zusammengesetzt — Summanden, Faktoren, Basis und Exponent?
- Welches Rechen- oder Umformgesetz passt zu dieser Struktur?
Wer auf diese Weise liest, vermeidet die typischen Vorzeichen- und Klammer-Stolperer, die später in jeder Termumformung lauern.
Definition — Term, Variable, Operation
Ein algebraischer Term ist ein sinnvoll geschriebener Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen und Operationen. Er liefert für jede Belegung der Variablen mit erlaubten Werten einen Zahlenwert.
Die Hauptoperation eines Terms ist diejenige Operation, die zuletzt ausgeführt wird, wenn man den Term Schritt für Schritt nach den Vorrangregeln auswertet.
| Begriff | Symbol | Beispiel | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| Term | \(T,\, T(x)\) | \(3x^2 - 5\) | Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen, Operationen |
| Variable | \(x,\, y,\, t\) | \(x\) | Platzhalter für eine Zahl |
| Konstante | \(a, b, c \in \mathbb{R}\) | \(5,\;\pi\) | fester Zahlenwert |
| Summand | — | in \(2x + 3\): \(2x\) und \(3\) | Bestandteil einer Summe |
| Faktor | — | in \(2 \cdot x\): \(2\) und \(x\) | Bestandteil eines Produkts |
| Koeffizient | — | in \(2x\): \(2\) | Zahlfaktor vor einer Variablen |
| Basis · Exponent | \(a^n\) | \(x^3\): Basis \(x\), Exp. 3 | Wiederholter Faktor |
Was ist die Hauptoperation in \( T = 3 \cdot (x + 2)^2 - 5 \)?
Auswertung der Reihenfolge: zuerst \(x + 2\), dann das Quadrat, dann mal 3, zuletzt minus 5. Der Term ist also eine Differenz — die Hauptoperation ist die Subtraktion. Minuend ist \(3 \cdot (x+2)^2\), Subtrahend ist \(5\). (Gleichwertig als Summe gelesen: die Summanden sind \(3 \cdot (x+2)^2\) und \(-5\).)
✏️ Mini-Check — Term und Hauptoperation
Welche Hauptoperation hat der Term \(3 \cdot (x + 5) - x^2\)?
- Multiplikation
- Subtraktion
- Potenz
Lösung anzeigen
Die Hauptoperation eines Terms ist die Operation, die ausgeführt wird.
Lösung anzeigen
Werte den Term \(7 \cdot x + 5\) für \(x = 2\) aus.
Lösung anzeigen
Sind \(4 \cdot x + 3 \cdot x + 5\) und \(7 \cdot x + 5\) äquivalent? Und warum zeigt die zweite Form die Struktur besser?
Lösungsweg anzeigen
Hierarchie der Operationen ↗ 1.4
Welche Operation in einem Term zuletzt ausgeführt wird, hängt von der Hierarchie (Vorrangregeln) ab. Die Hierarchie löst Mehrdeutigkeiten auf — z.B. ist \(2 + 3 \cdot 4 = 14\) (nicht 20), weil die Multiplikation Vorrang vor der Addition hat.
- \((2+3) \cdot 4 = 20\)
- \(2 \cdot (5-1)^2 = 32\)
- \(-(3+4) = -7\)
- \(2 \cdot 3^2 = 18\) (nicht 36)
- \(-3^2 = -9\) (nicht +9)
- \(\sqrt{9+16} = 5\)
- \(2 + 3 \cdot 4 = 14\) (nicht 20)
- \(20 - 6 : 2 = 17\)
- \(8 : 4 \cdot 2 = 4\) (links→rechts)
- \(a - b - c\) heisst \((a-b)-c\)
- \(10 - 3 + 2 = 9\) (nicht 5)
- von links nach rechts auswerten
Eselsbrücke: „Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich". Innerhalb derselben Stufe wird von links nach rechts gerechnet (\(a - b - c\) heisst \((a-b) - c\), nicht \(a - (b-c)\)). Bei Mausüberflug auf eine Stufe siehst du weitere Beispiele.
| Term | Hauptoperation | Begründung |
|---|---|---|
| \(2 \;\colorbox{#d8f0e2}{$\color{#2d9d5e}\boldsymbol{+}$}\; 3 \cdot 4\) | Addition | Punkt vor Strich → erst \(3 \cdot 4\), dann + 2 |
| \((2 + 3) \;\colorbox{#ddeaf8}{$\color{#1a4f8a}\boldsymbol{\cdot}$}\; 4\) | Multiplikation | Klammer zuerst → \(5 \cdot 4\) |
| \(2 \;\colorbox{#ddeaf8}{$\color{#1a4f8a}\boldsymbol{\cdot}$}\; x^3\) | Multiplikation | Potenz vor Punkt → erst \(x^3\), dann mal 2 |
| \((2 \cdot x)\)3 | Potenz | Klammer zuerst → \(2x\), dann hoch 3 |
| \(a + b\)\(2\) | Division | Bruch = Division mit unsichtbarer Klammer um Zähler |
| \(\colorbox{#e5e7eb}{$\color{#374151}\boldsymbol{-}$}\,x^2\) | Negation einer Potenz | Potenz vor Vorzeichen → \(-(x^2)\), nicht \((-x)^2\) |
Bevor du losrechnest, frage dich: welche Operation wird zuletzt ausgeführt? Das ist die Hauptoperation — sie bestimmt, mit welcher Regel du den Term umformen darfst. Beispiel: \(\,3 \cdot (x + 5) - x^2\) hat als Hauptoperation die Subtraktion (Strichrechnung bindet am schwächsten, Klammer und Potenz sind „weiter innen"). Eine Klammer-Auflösung in einem Summanden lässt den anderen unberührt.
Punkt vor Strich vergessen: \(2 + 3 \cdot 4\) ist nicht \((2 + 3) \cdot 4\). Richtig: erst \(3 \cdot 4 = 12\), dann \(2 + 12 = 14\). Wer Klammer setzt, wo keine steht, ändert das Resultat (hier von 14 auf 20).
Klammer-Potenz-Verwechslung: \(x^2 + x^2\) ist nicht \((x+x)^2\). Test \(x=3\): links \(9+9 = 18\), rechts \(6^2 = 36\).
Vorzeichen vor Potenz: Setze \(x = 3\):
- \(-x^2 = -(3^2) = -9\)
- \((-x)^2 = (-3)^2 = +9\)
Die Klammer ändert das Ergebnis komplett. Schreibweise auf dem Taschenrechner und auf dem Papier müssen sich entsprechen.
✏️ Mini-Check — Hierarchie der Operationen
\(2 + 3 \cdot 4 = \;?\)
- \(20\)
- \(14\)
- \(24\)
Lösung anzeigen
Innerhalb derselben Stufe wird von nach rechts gerechnet.
Lösung anzeigen
Berechne \(2 \cdot 3^2\) und \(-3^2\).
Lösung anzeigen
Was ergibt \(8 : 4 \cdot 2\) — und warum nicht \(1\)?
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Strukturbaum lesen
Ein Strukturbaum macht die Hauptoperation und die Bausteine eines Terms sichtbar. Er hilft besonders, wenn ein Term mehrere Klammern, Brüche oder Potenzen enthält. Die Hierarchie aus dem vorhergehenden Abschnitt bestimmt, welche Operation zuoberst im Baum steht.
Mit dem Strukturbaum erkennt man: ein Term ist nicht „eine Potenz", weil irgendwo \(\,(\cdot)^2\) vorkommt — die Hauptoperation kann eine ganz andere sein. Der Baum zeigt sie zuoberst.
✏️ Mini-Check — Strukturbaum
Was steht in einem Strukturbaum zuoberst?
- Die innerste Klammer
- Die Hauptoperation
- Die grösste Zahl
Lösung anzeigen
Der Bruchstrich wirkt wie eine unsichtbare um Zähler und Nenner.
Lösung anzeigen
Welche Hauptoperation hat \((a + b) \cdot (a - b)\)?
Lösung anzeigen
Welche Hauptoperation hat \(-x^2 + \sqrt{x + 4}\)? Skizziere den Baum im Kopf.
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Rechengesetze für Umformungen
Die Strukturanalyse zeigt, welches Rechengesetz auf einen Term passt. Drei Gesetze stehen im Zentrum. Probiere die Gesetze mit konkreten Zahlen aus — würfle neue Werte für \(a, b, c \in \{-10, \dots, 10\}\) und beobachte, dass linke und rechte Seite tatsächlich denselben Wert liefern.
Diese beiden Gesetze gelten nur für Addition und Multiplikation, nicht für Subtraktion und Division. Die Subtraktion ist nicht kommutativ (\(5 - 2 = 3\), aber \(2 - 5 = -3\)) und nicht assoziativ.
Trick: Schreibe die Subtraktion als Addition einer negativen Zahl — danach gelten die Gesetze wieder. Beispiel: \(5 - 2 = 5 + (-2)\). Auf diese Addition darf das Kommutativgesetz angewandt werden:
\[ 5 + (-2) \;=\; (-2) + 5 \;=\; 3. \]So lassen sich Summanden in beliebiger Reihenfolge zusammenfassen, sobald die Differenz in eine Summe (mit Vorzeichen) umgeschrieben ist.
Vereinfache \(4 \cdot (3 + x) - 2 \cdot (5 - x)\).
Strukturanalyse: Hauptoperation ist Differenz. Minuend und Subtrahend sind beide Produkte mit Klammer. Auf jedes Produkt das Distributivgesetz anwenden:
\[ 4 \cdot 3 + 4 \cdot x - (2 \cdot 5 - 2 \cdot x) = 12 + 4x - 10 + 2x = 2 + 6x. \]Beachte das Vorzeichen: das Minus vor der zweiten Klammer kehrt jedes Vorzeichen darin um.
✏️ Mini-Check — Rechengesetze
Welches Gesetz steckt hinter \(4x + 3x = (4 + 3) \cdot x\)?
- Kommutativgesetz
- Distributivgesetz
- Assoziativgesetz
Lösung anzeigen
\(a \cdot b = b \cdot a\) heisst gesetz.
Lösung anzeigen
Berechne \(25 \cdot 17 \cdot 4\) geschickt im Kopf.
Lösung anzeigen
Gilt \(a - b = b - a\)? Begründe mit einem Gegenbeispiel.
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Bestimme zu jedem Term die Hauptoperation (jene, die zuletzt ausgeführt wird).
- \(7 - 3 \cdot x\)
- \((x - 2) \cdot (x + 5)\)
- \(\dfrac{x + 1}{x - 1}\)
- \(2 \cdot x^3 + 1\)
- \(\sqrt{x + 4}\)
- \(-(x + 3)^2\)
- Subtraktion (Minuend 7, Subtrahend \(3x\))
- Multiplikation der beiden Klammerfaktoren
- Division (Bruch)
- Addition (Summanden \(2x^3\) und 1)
- Wurzel (Stufe 2 vor allem darunter)
- Negation einer Potenz: erst quadrieren, dann Vorzeichen-Wechsel — also Multiplikation mit \(-1\)
Schreibe Hauptoperation, Summanden bzw. Faktoren auf. Achte besonders auf Vorzeichen.
- \(T_1 = 5 \cdot x^2 - 3 \cdot x + 7\)
- \(T_2 = (a + b) \cdot (a - b)\)
- \(T_3 = \dfrac{2 \cdot x + 3}{x^2 - 1}\)
- Hauptoperation = Addition / Subtraktion; drei Summanden: \(+5x^2,\;-3x,\;+7\).
- Hauptoperation = Multiplikation; zwei Faktoren \(a+b\) und \(a-b\). (Beide Faktoren sind selber Summen.)
- Hauptoperation = Division; Zähler \(2x+3\) ist eine Summe, Nenner \(x^2-1\) ist eine Differenz aus Quadrat und 1.
Prüfe rechnerisch (für mehrere x-Werte) und durch Strukturanalyse, ob die beiden Terme äquivalent sind. Begründe dein Urteil.
- \(2 \cdot (x + 3)\) und \(2 \cdot x + 3\)
- \(x^2 + x^2\) und \(2 \cdot x^2\)
- \(x^2 + x^2\) und \((2 \cdot x)^2\)
- \(\sqrt{a + b}\) und \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) (Wurzel-Gesetze formal in 1.4 Zehnerpotenzen & Quadratwurzeln — hier reicht der Strukturvergleich)
- Nicht äquivalent. Test \(x = 1\): links \(2 \cdot 4 = 8\), rechts \(2 + 3 = 5\). Erst die Klammer (Hauptop. der linken Seite ist Multiplikation), rechts ist Hauptop. eine Addition.
- Äquivalent. \(x^2 + x^2 = 2 \cdot x^2\) — Zusammenfassen gleicher Summanden.
- Nicht äquivalent. \((2x)^2 = 4x^2 \neq 2x^2\). Test \(x = 1\): \(2\) vs. \(4\).
- Nicht äquivalent. Test \(a = b = 1\): \(\sqrt{2} \approx 1.41\), aber \(1 + 1 = 2\). Die Wurzel verteilt sich nicht über die Summe. (Das Gegenbeispiel zur „Wurzel-Distributivität" wird in 1.4 Wurzelgesetze systematisch behandelt.)
Berechne den Wert des Terms \(\;T(x) = 2 \cdot (x + 1)^2 - 3 \cdot x \;\) für \(x = 4\) und gib das Ergebnis ein.
Klammere mit dem Distributivgesetz aus dem Term \(\;6 \cdot x^2 + 9 \cdot x\;\) den grössten gemeinsamen Faktor heraus. Welche Hauptoperation hat der Term vor und nach der Umformung? Was hilft die neue Form?
Wozu ausklammern? Ein Strukturwechsel von Summe zu Produkt eröffnet neue Werkzeuge. Zwei wichtige Anwendungen:
- Gleichung lösen: Aus dem Produkt \(3x \cdot (2x+3) = 0\) liest man direkt zwei Lösungen ab (Satz vom Nullprodukt).
- Bruch kürzen: Steht der Term in einem Bruch, lässt sich nur ein Faktor wegkürzen, nie ein Summand. Erst die Faktor-Form erlaubt Kürzen.
Anwendung 1 — Gleichung: \(6x^2 + 9x = 0 \;\Longleftrightarrow\; 3x \cdot (2x+3) = 0\). Aus dem Produkt liest man direkt zwei Lösungen ab: \(x = 0\) und \(x = -1.5\). Der Strukturwechsel macht aus „eine Gleichung zweiten Grades" den Satz „ein Produkt ist null genau dann, wenn ein Faktor null ist".
Anwendung 2 — Bruch kürzen: \(\;\dfrac{6x^2 + 9x}{12x} = \dfrac{3x \cdot (2x+3)}{12x} = \dfrac{2x+3}{4}\;\) (für \(x \neq 0\)). Aus dem Zähler kürzt sich nur der gemeinsame Faktor \(3x\) mit dem Nenner \(12x\) zu \(\tfrac{1}{4}\). Ohne Ausklammern wäre das nicht möglich, weil sich aus der Summe \(6x^2 + 9x\) kein einzelner Summand mit dem Nenner kürzen lässt.
Ein Werkstück besteht aus einem rechteckigen Brett der Breite \(b\) und der Länge \(2 \cdot b + 4\). Stelle einen Term für den Flächeninhalt auf und einen für den Umfang. Welche Hauptoperation hat jeder der beiden Terme?
Fläche: \(A = b \cdot (2b + 4) = 2b^2 + 4b\). Hauptop. Multiplikation in der Faktor-Form, Addition in der ausgerechneten Form. Beide äquivalent.
Umfang: \(U = 2 \cdot b + 2 \cdot (2b + 4) = 2b + 4b + 8 = 6b + 8\). Hauptop. Addition.
Strategisch: Will man ausrechnen, ist \(6b + 8\) bequem. Will man faktorisieren, ist \(2 \cdot (3b + 4)\) bequem — daraus liest man z.B. ab, dass der Umfang für ganzzahlige \(b\) stets eine gerade Zahl ist.
Drei Lernende berechnen denselben Term \(T = -3^2 + 2 \cdot (5 - 1)^2\) für sich — höchstens eine der drei Rechnungen kann stimmen. Lies jede Rechnung sorgfältig — finde den Fehler, benenne die verletzte Regel und korrigiere.
- Anna: \(-3^2 + 2 \cdot (5-1)^2 = 9 + 2 \cdot 4^2 = 9 + 2 \cdot 16 = 9 + 32 = 41\)
- Bruno: \(-3^2 + 2 \cdot (5-1)^2 = -9 + (2 \cdot 4)^2 = -9 + 64 = 55\)
- Carlo: \(-3^2 + 2 \cdot (5-1)^2 = -9 + 2 \cdot 4^2 = -9 + 8^2 = -9 + 64 = 55\)
- Wer hat richtig gerechnet?
- Identifiziere bei den falschen Rechnungen den ersten Fehler-Schritt und benenne die verletzte Regel.
- Welcher Term wäre statt \(-3^2\) gemeint, wenn man tatsächlich \(+9\) als Resultat erhalten wollte?
Richtiges Resultat: Hauptoperation ist die Addition. Linker Summand: \(-3^2 = -(3^2) = -9\) (das Minus ist kein Teil der Basis, weil das Potenzieren stärker bindet). Rechter Summand: \((5-1)^2 = 4^2 = 16\), dann \(2 \cdot 16 = 32\). Ergebnis: \(-9 + 32 = 23\).
- Niemand! Das richtige Resultat ist \(23\), nicht \(41\) und nicht \(55\).
- Fehler-Diagnose:
- Anna rechnet \(-3^2 = 9\) — sie behandelt das Minus als Teil der Basis. Verletzte Regel: Potenzieren bindet stärker als das Vorzeichen, \(-3^2 = -(3^2) = -9\). Der Rest ihrer Rechnung ist korrekt.
- Bruno rechnet \((2 \cdot 4)^2 = 64\) statt \(2 \cdot 4^2\) — er zieht den Faktor \(2\) unzulässig in die Basis hinein (erfundene Klammer). Verletzte Regel: Potenzieren bindet stärker als Multiplizieren.
- Carlo rechnet \(2 \cdot 4^2 \rightarrow 8^2\) — er multipliziert zuerst \(2 \cdot 4 = 8\) und potenziert dann. Derselbe Regelverstoss wie bei Bruno (Hierarchie der Operationen), nur anders notiert; deshalb landen beide beim gleichen falschen Wert \(55\).
- Damit das Resultat des linken Summanden \(+9\) wäre, müsste man Klammern setzen: \((-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = +9\). Die Klammer macht das Minus zum Teil der Basis. Genau dieser Unterschied ist im Theorieteil häufiger Fehler festgehalten. Strategie: Bei Termen mit Minuszeichen vor einer Potenz lohnt sich ein Blick auf den Strukturbaum: ist \(-x^2\) die Form \(-(x^2)\) (Minus aussen) oder \((-x)^2\) (Minus innen)?
Zusammenfassung
Wer einen Term richtig liest, weiss schon halb, was er tun soll: Hauptoperation finden, Bausteine benennen, Gesetz auswählen.
| Hauptoperation | die zuletzt auszuführende Operation eines Terms |
| Hierarchie | Klammer ▶ Potenz/Wurzel ▶ Punkt ▶ Strich · gleiche Stufe von links nach rechts |
| Bausteine | Summanden bei Summen, Minuend/Subtrahend bei Differenzen, Faktoren bei Produkten, Dividend/Divisor bzw. Zähler/Nenner bei Quotienten, Basis und Exponent bei Potenzen |
| Äquivalenz | zwei Terme heissen äquivalent, wenn sie für jede erlaubte Belegung der Variablen denselben Wert liefern — nicht nur für einzelne Testwerte |
| Distributivgesetz | \(a(b+c) = ab + ac\) — Klammer auflösen oder ausklammern (Strukturwechsel!) |
| Werkzeug | Strukturbaum sichtbar machen → passendes Rechengesetz auswählen |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Drei Terme, ein Wert: 7·x + 5 zeigt, was zuletzt kommt
- 0:00Anna kauft je x Päckchen Schrauben und Dübel und zahlt fünf Franken für die Verpackung. Drei Terme beschreiben den Betrag. Liefern sie immer denselben Wert?
- 0:09Für x gleich zwei rechnet jede Form anders: vier mal zwei plus drei mal zwei plus fünf, oder sieben mal zwei plus fünf. Alle drei landen bei neunzehn.
- 0:19Auch bei x gleich zehn: überall fünfundsiebzig. Das ist kein Zufall. Vier x plus drei x ist vier plus drei mal x, also sieben x. Die drei Terme sind äquivalent.
- 0:31Das blau markierte Plus wird zuletzt gerechnet, es ist die Hauptoperation. In Form eins ist es erst das zweite Plus. In Form drei sieht man es sofort: Sieben x plus fünf ist eine Summe.
- 0:43Merke: Äquivalente Terme liefern für jedes x denselben Wert. Die Form sieben x plus fünf zeigt am schnellsten, was zuletzt gerechnet wird: eine Addition.
Stufe um Stufe: was zuletzt bleibt, ist die Hauptoperation
- 0:00Die Animation rechnet einen Term Schritt für Schritt aus. Oben leuchtet die Stufe, die gerade dran ist. Was bleibt am Schluss übrig?
- 0:09Bei x gleich zwei leuchten die Stufen der Reihe nach auf: Klammer, Potenz, Punkt, Strich. Übrig bleibt achtundvierzig minus fünf, gleich dreiundvierzig. Die Subtraktion kommt zuletzt, sie ist die Hauptoperation.
- 0:23Im zweiten Term steht die Potenz rechts. Trotzdem wird zuerst zwei hoch zwei gerechnet und erst dann drei mal sieben. Es zählt die Stufe, nicht die Position im Term.
- 0:34Im dritten Term stehen Minus und Plus auf derselben Stufe. Dann gilt: von links nach rechts. Zuerst zehn minus drei gleich sieben, zuletzt sieben plus zwei gleich neun. Die Hauptoperation ist die Addition.
- 0:47Merke: Ausgewertet wird Stufe um Stufe, Klammer, Potenz, Punkt, Strich, und auf derselben Stufe von links nach rechts. Was zuletzt übrig bleibt, ist die Hauptoperation.
Strukturbaum: zuoberst steht, was zuletzt gerechnet wird
- 0:00Der Strukturbaum zerlegt einen Term von oben nach unten in seine Bausteine. Was steht ganz oben?
- 0:09Im ersten Term kommen eine Klammer, eine Potenz und ein Produkt vor. Zuoberst steht aber die Differenz: Minus fünf wird zuletzt gerechnet. Die Potenz steckt zwei Ebenen tiefer.
- 0:21Im zweiten Term gibt es ein Plus und ein Minus, aber beide stehen in Klammern. Zuoberst steht das Produkt, die zwei Klammern sind seine Faktoren.
- 0:30Beim Bruch steht der Quotient zuoberst. Zähler und Nenner hängen als eigene Teilbäume darunter. Der Bruchstrich wirkt wie eine unsichtbare Klammer um beide.
- 0:39Merke: Zuoberst im Strukturbaum steht die Hauptoperation, die Operation, die zuletzt ausgeführt wird. Der Bruchstrich wirkt wie eine unsichtbare Klammer um Zähler und Nenner.
Flächenmodell: das Distributivgesetz als zerschnittenes Rechteck
- 0:00Warum darf man a mal die Klammer b plus c ausmultiplizieren? Die Animation zeigt es an einem Rechteck, das man zerschneidet.
- 0:09Das Rechteck ist drei hoch und vier plus zwei breit, seine Fläche ist achtzehn. Ein Schnitt teilt es in zwei Teile: drei mal vier plus drei mal zwei, zwölf plus sechs, wieder achtzehn.
- 0:21Zwei Klammern schneiden das Rechteck in beide Richtungen. Es entstehen zwei mal zwei gleich vier Teilflächen: Jeder Summand der ersten Klammer trifft jeden der zweiten. Zusammen wieder fünfunddreissig, sieben mal fünf.
- 0:34Setzt man a gleich c und b gleich d, wird das Rechteck ein Quadrat. Die orange und die grüne Teilfläche sind gleich gross, je sechs. So entsteht die erste binomische Formel: a plus b im Quadrat ist a Quadrat plus zwei a b plus b Quadrat.
- 0:49Merke: Ein Rechteck behält seine Fläche, wenn man es zerschneidet. Genau das sagt das Distributivgesetz. Bei zwei Klammern trifft jeder Summand der einen jeden der anderen.