Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, gebildet aus Zahlen, Variablen, Operationszeichen und Klammern. Beispiele: \(3 + 4\), \(2x^2 - 5\), \(\sqrt{a + b}\). Kein Term: \(3 + \cdot 4\) (zwei Operatoren hintereinander).
Die Hauptoperation ist die Operation, die als letzte ausgeführt wird, wenn man den Term auswertet. Sie bestimmt die Termart:
| Term | Hauptoperation | Termart |
|---|---|---|
| \(3x + 5\) | Addition | Summe |
| \(2 \cdot (x + 4)\) | Multiplikation | Produkt |
| \(\dfrac{x + 1}{x - 2}\) | Division | Quotient (Bruch) |
| \(x^2\) | Potenzieren | Potenz |
| \(\sqrt{x + 3}\) | Wurzelziehen | Wurzel |
Werden mehrere Operationen verknüpft, gilt eine festgelegte Reihenfolge:
Beispiel: \(3 + 4 \cdot 2^2 = 3 + 4 \cdot 4 = 3 + 16 = 19\) (nicht 28).
| Hauptoperation | Subtraktion → Differenz aus \(3(x+2)^2\) und \(5\) |
| Minuend | Produkt aus 3 und \((x + 2)^2\) |
| Faktor 1 | Koeffizient \(3\) |
| Faktor 2 | Potenz: Basis \((x + 2)\), Exponent 2 |
| Basis der Potenz | Summe aus \(x\) und 2 |
| Gesetz | Addition | Multiplikation |
|---|---|---|
| Kommutativ | \(a + b = b + a\) | \(a \cdot b = b \cdot a\) |
| Assoziativ | \((a + b) + c = a + (b + c)\) | \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) |
| Neutrales Element | \(a + 0 = a\) | \(a \cdot 1 = a\) |
| Distributiv | \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) | |
Subtraktion und Division sind nicht kommutativ (\(5 - 3 \neq 3 - 5\)) und nicht assoziativ (\((10 - 5) - 2 \neq 10 - (5 - 2)\)).
\(-x^2 = -(x^2)\): die Potenz bindet stärker als das Vorzeichen. Setzt man \(x = 3\), erhält
man \(-9\).
\((-x)^2 = (-x) \cdot (-x) = x^2\): die Klammer schliesst das Vorzeichen ein. Für \(x = 3\)
ergibt das \((-3)^2 = 9\).
Ein Sachverhalt kann in der Mathematik auf verschiedene, jedoch äquivalente Arten beschrieben werden:
| Form | Beispiel | Stärke |
|---|---|---|
| algebraisch | \(2x + 4\) | exaktes Rechnen, Umformen |
| verbal | «das Doppelte von \(x\) plus 4» | Verständnis, Modellierung |
| Wertetabelle | \(x = 1 \Rightarrow 6\), \(x = 2 \Rightarrow 8\) | Probe, Erkennen |
| Term | sinnvoller Ausdruck mit Zahlen, Variablen, Operationen, Klammern |
| Hauptoperation | was zuletzt ausgeführt wird → bestimmt die Termart |
| Hierarchie | Klammern → Potenzen/Wurzeln → Punkt → Strich |
| Drei Rechengesetze | Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz (Add. und Mult.) |
| Vorzeichen vor Potenz | \(-x^2 \neq (-x)^2\) — Klammer macht den Unterschied |