10 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 30-45 Minuten.
Bestimme bei jedem Term die Hauptoperation und die Termart:
(a) \(\;7 + 3x\) (b) \(\;5 \cdot (a + 2)\) (c) \(\;\dfrac{x + 1}{x - 4}\) (d) \(\;\sqrt{x^2 + 4}\)
Beschreibe die Struktur des Terms \(2 \cdot (x + 3)^2 - 4\): was ist die Hauptoperation, welche Glieder gibt es, wie sind sie aufgebaut?
Berechne ohne Hilfsmittel:
(a) \(\;6 + 4 \cdot 3\) (b) \(\;(6 + 4) \cdot 3\) (c) \(\;20 - 2^3\) (d) \(\;3 \cdot 4 + 2 \cdot 5\)
Berechne für \(x = 4\):
(a) \(\;-x^2\) (b) \(\;(-x)^2\) (c) \(\;-(x - 5)\) (d) \(\;-(x^2 - 1)\)
Welches Rechengesetz wurde jeweils angewendet?
(a) \(7 + 3 = 3 + 7\)
(b) \((2 + 5) + 8 = 2 + (5 + 8)\)
(c) \(4 \cdot (x + 7) = 4x + 28\)
(d) \(a \cdot 1 = a\)
Sind die Aussagen wahr oder falsch? Bei falsch ein konkretes Gegenbeispiel angeben.
(a) Die Subtraktion ist kommutativ.
(b) Die Division ist assoziativ.
(c) Es gilt \(a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c\).
Berechne den Termwert für \(x = 3\) und \(y = 2\):
(a) \(\;3x + 2y - 1\) (b) \(\;x^2 - y^2\) (c) \(\;\dfrac{x + y}{x - y}\)
Berechne für \(a = -2\) und \(b = 3\):
(a) \(\;-a^2 + b^2\) (b) \(\;(a - b)^2\) (c) \(\;\dfrac{2a + b}{a \cdot b}\)
Schreibe als Term in \(x\):
(a) Das Doppelte von \(x\), vermindert um 5.
(b) Das Quadrat von \(x + 3\).
(c) Drei Fünftel von \(x\).
(d) Der Kehrwert von \(x - 2\).
Beschreibe in einem ganzen Satz, wie der Term \(\dfrac{2x - 5}{x + 1}\) aufgebaut ist — mit den Begriffen Quotient, Differenz, Summe.
(a) Hauptoperation: Addition; Termart: Summe.
(b) Multiplikation; Produkt.
(c) Division; Quotient (Bruch).
(d) Wurzelziehen; Wurzel.
Hauptoperation: Subtraktion. Der Term ist eine Differenz aus zwei Gliedern: dem Produkt \(2 \cdot (x+3)^2\) und der Konstante 4. Das erste Glied ist ein Produkt zweier Faktoren, von denen der zweite Faktor eine Potenz mit Basis \((x+3)\) und Exponent 2 ist. Die Basis selbst ist die Summe aus \(x\) und 3.
(a) \(6 + 12 = 18\). (b) \(10 \cdot 3 = 30\). (c) \(20 - 8 = 12\). (d) \(12 + 10 = 22\).
(a) \(-(4)^2 = -16\). (b) \((-4)^2 = 16\). (c) \(-(4 - 5) = -(-1) = 1\). (d) \(-(16 - 1) = -15\).
(a) Kommutativgesetz der Addition.
(b) Assoziativgesetz der Addition.
(c) Distributivgesetz.
(d) neutrales Element der Multiplikation.
(a) falsch: \(7 - 3 = 4\), aber \(3 - 7 = -4\).
(b) falsch: \((24 / 6) / 2 = 2\), aber \(24 / (6 / 2) = 24 / 3 = 8\).
(c) wahr — die Distributiv-Regel gilt auch über Differenzen. Schreibe dazu die
Differenz als Summe mit negativer Zahl: \(b - c = b + (-c)\). Dann
\(a \cdot (b - c) = a \cdot \bigl(b + (-c)\bigr) = a \cdot b + a \cdot (-c) = a \cdot b - a \cdot c\).
(a) \(9 + 4 - 1 = 12\). (b) \(9 - 4 = 5\). (c) \(\dfrac{5}{1} = 5\).
(a) \(-(-2)^2 + 3^2 = -4 + 9 = 5\). (b) \((-2 - 3)^2 = (-5)^2 = 25\). (c) \(\dfrac{2(-2) + 3}{(-2)(3)} = \dfrac{-1}{-6} = \dfrac{1}{6}\).
(a) \(2x - 5\). (b) \((x + 3)^2\). (c) \(\dfrac{3}{5} \cdot x\) bzw. \(\dfrac{3x}{5}\). (d) \(\dfrac{1}{x - 2}\).
Der Term ist ein Quotient: im Zähler steht eine Differenz aus dem Doppelten von \(x\) und der Konstante 5; im Nenner steht eine Summe aus \(x\) und 1. Die Hauptoperation ist also die Division.