| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Bauwesen | Mörtelmischung in Anteilen | ●●○ |
| 2 | Mobilität | Treibstoffverbrauch und Rabatt | ●●○ |
| 3 | Elektrotechnik | Toleranzbereich eines Widerstands | ●●● |
| 4 | Logistik | Lagerbestand mit Ein- und Ausgängen | ●●○ |
| 5 | Architektur | Massstab als Bruch | ●●● |
| 6 | Life Sciences | Mischverhältnis Pufferlösung | ●●● |
Ein Maurermörtel wird im Verhältnis Sand : Zement : Wasser \(=\,4:1:1\) gemischt. Insgesamt sollen \(60\) Liter Mörtel hergestellt werden.
(a) Welcher Anteil (als Bruch und Prozent) ist Sand, welcher Zement?
(b) Wie viele Liter jeder Komponente werden benötigt?
(c) Welche Zahlbereiche sind hier sinnvoll?
Ein Lieferwagen verbraucht \(8{.}5\) Liter Diesel pro \(100\) km. Eine Tour ist \(240\) km lang. Die Tankstelle gibt einen Mengenrabatt von \(7\,\%\) ab \(20\) Litern. Der Normalpreis beträgt \(1{.}80\,\text{Fr./L}\).
(a) Wie viele Liter werden für die Tour benötigt?
(b) Greift der Rabatt? Falls ja: was kostet die Tankfüllung mit Rabatt (gerechnet, nicht gerundet)?
(c) Drücke das Ergebnis aus (b) als Bruch und als Dezimalzahl aus.
Ein Widerstand hat den Nennwert \(R = 470\,\Omega\) mit einer Toleranz von \(\pm 5\,\%\).
(a) Berechne den minimal und maximal zulässigen Wert.
(b) Schreibe den zulässigen Bereich als Intervall \([R_{\min};\,R_{\max}]\).
(c) Liegt ein gemessener Wert von \(R_\text{mess}=445\,\Omega\) in der Toleranz?
Eine Spedition startet den Tag mit \(120\) Paletten im Lager. Ein- und Ausgänge im Tagesverlauf: \(+45\), \(-30\), \(-50\), \(+20\), \(-15\).
(a) Berechne den Endbestand des Tages.
(b) Wie viele Paletten wurden insgesamt bewegt? (Summe der Beträge)
(c) Welcher Tiefststand wurde im Tagesverlauf erreicht?
Ein Plan ist im Massstab \(1:50\) gezeichnet. Auf dem Plan ist eine Wand \(7{.}2\) cm lang.
(a) Schreibe den Massstab als Bruch und als Prozentzahl.
(b) Wie lang ist die Wand in Wirklichkeit (in Metern)?
(c) Eine Türöffnung in Wirklichkeit \(0{.}9\,\text{m}\) — wie lang ist sie auf dem Plan?
Eine Pufferlösung wird hergestellt aus Säure und Base im Volumenverhältnis \(2:3\). Insgesamt sollen \(750\,\text{mL}\) hergestellt werden. Die zulässige Konzentration der Säure liegt im Intervall \([0{.}08;\,0{.}12]\,\text{mol/L}\).
(a) Welche Volumina von Säure und Base werden benötigt?
(b) Drücke den Anteil der Säure als Bruch, Dezimal und Prozent aus.
(c) Eine gemessene Konzentration von \(0{.}075\,\text{mol/L}\): liegt sie im zulässigen Bereich?
1. Gesamtanteile: \(4+1+1=6\). (a) Sand: \(\tfrac{4}{6}=\tfrac{2}{3}\approx 66{.}\overline{6}\,\%\); Zement: \(\tfrac{1}{6}\approx 16{.}\overline{6}\,\%\). (b) \(60\,\text{L}\) auf 6 Teile: \(1\) Teil \(=10\,\text{L}\). Sand \(40\,\text{L}\), Zement und Wasser je \(10\,\text{L}\). (c) Volumina sind reelle Zahlen \(\mathbb{R}^+\); Anteile sind rational \(\mathbb{Q}\). Idealisierung: in der Praxis verändern sich die Volumina beim Mischen (Wasser füllt Hohlräume zwischen den Sandkörnern), die Summe der Einzelvolumina ist also nicht exakt das Gesamtvolumen. Für die Anteilsrechnung ist das aber irrelevant.
2. (a) \(8{.}5 \cdot \tfrac{240}{100} = 8{.}5 \cdot 2{.}4 = 20{.}4\,\text{L}\). (b) Ja, da \(20{.}4 \ge 20\). Tankfüllung mit Rabatt: \(20{.}4 \cdot 1{.}80 \cdot 0{.}93 = 36{.}72 \cdot 0{.}93 = 34{.}1496\,\text{Fr.}\) (zum Vergleich: ohne Rabatt \(36{.}72\,\text{Fr.}\), Ersparnis \(2{.}5704\,\text{Fr.}\)). (c) Als Bruch: \(\tfrac{341496}{10000}=\tfrac{42687}{1250}\,\text{Fr.}\); dezimal: \(34{.}1496\,\text{Fr.}\) In der Praxis: An der Tankstelle wird auf 5 Rappen gerundet, also \(34{.}15\,\text{Fr.}\) (kaufmännisch). Der mathematisch exakte Wert \(34{.}1496\) bleibt für Folgerechnungen erhalten — gerundet wird erst ganz am Schluss.
3. (a) \(R_{\min}=470 \cdot 0{.}95 = 446{.}5\,\Omega\); \(R_{\max}=470 \cdot 1{.}05 = 493{.}5\,\Omega\). (b) Bereich: \([446{.}5;\,493{.}5]\,\Omega\). (c) \(445 < 446{.}5\) → liegt nicht in der Toleranz. Praxis: \(5\,\%\)-Widerstände sind durch einen goldenen Farbring markiert (4. Ring), \(1\,\%\)-Widerstände durch einen braunen. Je enger die Toleranz, desto teurer das Bauteil.
4. (a) \(120 + 45 - 30 - 50 + 20 - 15 = 90\) Paletten. (b) Summe der Beträge: \(45+30+50+20+15=160\) Bewegungen. (c) Verlauf: \(120 \to 165 \to 135 \to 85 \to 105 \to 90\). Tiefststand: \(85\) Paletten. Wichtig: Tiefststand (\(85\)) ist nicht dasselbe wie Endbestand (\(90\)) — der Tiefststand kann zwischendurch unterschritten werden, ohne dass der Endbestand betroffen ist. Für die Lagerplanung (Kapazität, Stellplätze) zählt der Tiefststand.
5. (a) \(1:50 = \tfrac{1}{50}=0{.}02=2\,\%\). (b) \(7{.}2\,\text{cm} \cdot 50 = 360\,\text{cm} = 3{.}6\,\text{m}\). (c) \(0{.}9\,\text{m} = 90\,\text{cm}\); auf dem Plan: \(\tfrac{90}{50}=1{.}8\,\text{cm}\). Faustregel: Bei Massstab \(1:50\) gilt „1 cm auf dem Plan entspricht 50 cm = 0.5 m in echt". Übliche Architektur-Massstäbe: \(1:50\) Detail, \(1:100\) Grundriss, \(1:200\) Lageplan, \(1:500\) Übersicht.
6. (a) Verhältnisteile: \(2+3=5\). \(750\,\text{mL}:5=150\,\text{mL}\) pro Teil. Säure: \(2 \cdot 150 = 300\,\text{mL}\); Base: \(3 \cdot 150 = 450\,\text{mL}\). (b) Säureanteil: \(\tfrac{2}{5}=0{.}4=40\,\%\). (c) \(0{.}075 < 0{.}08\) → liegt nicht im zulässigen Intervall \([0{.}08;\,0{.}12]\). Beachte: Der Säureanteil (40 %, Volumenverhältnis) ist nicht die Konzentration im chemischen Sinn (mol/L). Die Konzentration hängt zusätzlich von der Stoffmenge der Säure pro Volumen ab — das Volumenverhältnis sagt nur, wie viel Lösung aus jedem Ausgangsstoff besteht.