1.2 Zahlen und zugehörige Grundoperationen
Zahlen kann man auf verschiedene Arten darstellen: als Bruch, in Prozent, als Dezimalzahl. Hier ordnest du jede Zahl in eine der vier Zahlenmengen \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) ein, beschreibst Bereiche mit Intervallen und rechnest die vier Grundoperationen sauber — auch ohne Taschenrechner.
- Zahlen darstellen (Bruch-, Prozent- und Dezimaldarstellung), nach Typ klassieren (\(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\)) und elementare Eigenschaften erklären (Vorzeichen, Betrag, Rundung, Ordnungsrelationen)
- Zahlenmengen symbolisch und grafisch beschreiben, insbesondere Intervalle auf der Zahlengeraden
- Grundoperationen in verschiedenen Zahlenmengen unter Einhaltung der Regeln (Vorzeichenregeln, Hierarchie der Operationen) durchführen auch ohne Hilfsmittel
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Zahlen nach \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) klassieren und die Inklusionskette \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) begründen.
- Ich kann Zahlen zwischen Bruch-, Dezimal- und Prozentdarstellung umwandeln und rationale von irrationalen Zahlen unterscheiden.
- Ich kann die Vorzeichenregeln bei den Grundoperationen sicher anwenden.
- Ich kann Betrag, Rundung und Ordnungsrelationen erklären und verwenden.
- Ich kann Zahlenmengen und Intervalle symbolisch und auf der Zahlengeraden darstellen.
Einstieg — Werkstatt-Bestandsliste
In einer Werkstatt werden über eine Woche hinweg Bestände gezählt, Temperaturen gemessen und Anteile berechnet. Dabei tauchen ganz verschiedene Zahlentypen auf:
| Messung | Wert | Zahlentyp |
|---|---|---|
| Anzahl Werkstücke im Lager | \(5\) | natürliche Zahl \((\mathbb{N})\) |
| Lager-Veränderung über Nacht | \(-2\) | ganze Zahl \((\mathbb{Z})\) |
| Anteil Ausschuss | \(\tfrac{3}{40} = 7.5\%\) | rationale Zahl \((\mathbb{Q})\) |
| Aussentemperatur am Montagmorgen | \(-3.5\,°C\) | rationale Zahl \((\mathbb{Q})\) |
| Diagonale eines 1×1-Quadrats (Werkbank) | \(\sqrt{2} \approx 1.414\) | irrationale Zahl, in \(\mathbb{R}\) |
Damit Rechnungen in unterschiedlichen Situationen funktionieren, hat die Mathematik die Zahlen in Zahlenmengen geordnet. Jede Erweiterung — von \(\mathbb{N}\) zu \(\mathbb{Z}\), zu \(\mathbb{Q}\), zu \(\mathbb{R}\) — löst genau ein Problem, das in der kleineren Menge nicht lösbar war.
Klick auf eine Messung in der Animation und schau, in welche Zahlenmengen der Wert gehört — und in welche nicht.
Dieselbe Zahl, ein zweiter Blick: das Venn-artige Diagramm zeigt die Inklusionen \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) als verschachtelte Boxen. Die in der Animation oben gewählte Zahl erscheint direkt in der kleinsten Menge, in die sie passt.
Die Lücke zwischen \(\mathbb{Q}\) und \(\mathbb{R}\) (also \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)) heisst Menge der irrationalen Zahlen. Beispiele: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\), \(e\). Sie sind reelle Zahlen, aber kein Bruch ganzer Zahlen.
✏️ Mini-Check — Zahlentypen erkennen
Zu welcher Beschreibung passt \(\sqrt{2}\)?
- rational
- reell, aber nicht rational
- ganz
Lösung anzeigen
Die Inklusionskette lautet \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset\) .
Lösung anzeigen
Zu welcher kleinsten Standard-Zahlenmenge gehört \(-3.5\)?
Lösung anzeigen
\(-2\) ist eine ganze Zahl. Ist \(-2\) auch rational und reell? Und natürlich?
Lösungsweg anzeigen
Definitionen — die vier Standard-Zahlenmengen
| Symbol | Name | Beschreibung | Beispiele |
|---|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | natürliche Zahlen | \(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\) | \(0,\;5,\;42\) |
| \(\mathbb{Z}\) | ganze Zahlen | \(\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\) | \(-2,\;0,\;7\) |
| \(\mathbb{Q}\) | rationale Zahlen | \(\left\{\dfrac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z},\, q \in \mathbb{N},\, q \neq 0 \right\}\) | \(\tfrac{3}{4},\; -2.5,\;7\) |
| \(\mathbb{R}\) | reelle Zahlen | alle Punkte der Zahlengeraden | \(\sqrt{2},\;\pi,\;-1.5\) |
Inklusionskette:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze, jede ganze auch eine rationale, jede rationale auch eine reelle Zahl. Die Erweiterungen sind echt — z.B. ist \(-1 \in \mathbb{Z}\), aber \(-1 \notin \mathbb{N}\); und \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\), aber \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).
✏️ Mini-Check — Zahlenmengen
Welche Zahl ist nicht rational?
- \(0.75\)
- \(0.\overline{3}\)
- \(\pi\)
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\(\mathbb{Q}\) ist die Menge aller Brüche \(\tfrac{p}{q}\) mit \(p \in \mathbb{Z}\), \(q \in \mathbb{N}\), \(q \neq\) .
Lösung anzeigen
Ist \(7 \in \mathbb{Q}\)? Begründe kurz.
Lösung anzeigen
Die Erweiterungen der Inklusionskette sind «echt». Was heisst das — belege es mit je einem Beispiel für \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{R}\).
Lösungsweg anzeigen
Drei Darstellungen rationaler Zahlen
Eine rationale Zahl lässt sich in drei äquivalenten Formen schreiben — als Bruch, als Dezimalzahl und als Prozentangabe. Welche Form passt, hängt vom Kontext ab.
| Bruch | Dezimal | Prozent | Bemerkung |
|---|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{2}\) | \(0.5\) | \(50\%\) | abbrechende Dezimaldarstellung |
| \(\dfrac{3}{4}\) | \(0.75\) | \(75\%\) | abbrechend |
| \(\dfrac{1}{3}\) | \(0.\overline{3}\) | \(33.\overline{3}\%\) | periodisch (Periode 3) |
| \(\dfrac{2}{7}\) | \(0.\overline{285714}\) | \(\approx 28.57\%\) | periodisch (Periode 6) |
| \(-\dfrac{7}{4}\) | \(-1.75\) | \(-175\%\) | negativ; Vorzeichen vor dem Bruch |
Eine reelle Zahl ist rational genau dann, wenn ihre Dezimaldarstellung abbricht oder periodisch wird. Eine reelle Zahl ist irrational, wenn ihre Dezimaldarstellung weder abbricht noch periodisch ist (z.B. \(\sqrt{2} = 1.41421356\ldots\), \(\pi = 3.14159265\ldots\)).
✏️ Mini-Check — Bruch, Dezimal, Prozent
\(\tfrac{3}{4}\) in Prozent?
- \(34\%\)
- \(75\%\)
- \(43\%\)
Lösung anzeigen
Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn ihre Dezimaldarstellung abbricht oder wird.
Lösung anzeigen
Wandle \(\tfrac{5}{8}\) in Dezimal- und Prozentdarstellung um.
Lösung anzeigen
Schreibe \(0.\overline{4} = 0.444\ldots\) als Bruch.
Lösungsweg anzeigen
Weitere Theorie — Vorzeichen, Betrag, Rundung, Intervalle
Vorzeichenregeln ↗ 1.3
Bei Multiplikation und Division gilt: „gleiches Vorzeichen → plus, ungleiches Vorzeichen → minus". Konkret in vier Fällen:
| Vorzeichen | Multiplikation | Division |
|---|---|---|
| + · + respektive + : + | \((+6) \cdot (+2) = +12\) | \((+12) : (+4) \;=\; \dfrac{+12}{+4} \;=\; +3\) |
| + · − respektive + : − | \((+6) \cdot (-2) = -12\) | \((+12) : (-4) \;=\; \dfrac{+12}{-4} \;=\; -3\) |
| − · + respektive − : + | \((-6) \cdot (+2) = -12\) | \((-12) : (+4) \;=\; \dfrac{-12}{+4} \;=\; -3\) |
| − · − respektive − : − | \((-6) \cdot (-2) = +12\) | \((-12) : (-4) \;=\; \dfrac{-12}{-4} \;=\; +3\) |
Bei Addition und Subtraktion gibt es keine solche Tabelle — dort entscheidet die Stellung auf der Zahlengeraden.
\((-3) \cdot (-4) = +12\) — minus mal minus = plus.
\((-3) + (-4) = -7\) — beide negativ, Beträge addieren, Vorzeichen behalten.
\(7 - (-2) = 7 + 2 = 9\) — minus von minus = plus.
\(\dfrac{-15}{3} = -5\) und \(\dfrac{-15}{-3} = +5\).
Doppelminus-Regel
Zwei aufeinanderfolgende Minuszeichen heben sich gegenseitig auf. Diese Regel hat zwei Erscheinungsformen, die im Folgenden ständig verwendet werden — auch in ↗ 1.3 beim Auflösen von Klammern:
| Form | Regel | Sprechweise |
|---|---|---|
| Subtraktion einer negativen Zahl | \(a - (-b) = a + b\) | „minus minus = plus" |
| Negative Zahl multipliziert | \((-a) \cdot (-b) = +ab\) | „minus mal minus = plus" |
(a) \(5 - (-3) = 5 + 3 = 8\) (Subtraktion einer negativen Zahl).
(b) \((-6) \cdot (-2) = +12\) (Produkt zweier negativer Zahlen).
(c) \(-(-(-4)) = -(4) = -4\) (drei Minuszeichen: das erste Paar hebt sich auf, das einzelne bleibt).
Bei einer Kette aus Minuszeichen kannst du sie einfach zählen: eine gerade Anzahl ergibt am Schluss ein Plus, eine ungerade Anzahl ein Minus. Beispiel: \(-(-(-(-5))) = +5\) (vier Minuszeichen → gerade → plus).
Betrag (Absolutwert)
Der Betrag einer Zahl \(a \in \mathbb{R}\) ist ihre Distanz zur Null auf der Zahlengeraden:
\[ |a| \;=\; \begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases} \]Der Betrag ist nie negativ. Beispiele: \(|7| = 7\), \(|-3| = 3\), \(|0| = 0\).
Ordnungsrelationen
Auf der Zahlengeraden liegen kleinere Zahlen weiter links. Die Ordnungsrelationen \(<,\; \leq,\; >,\; \geq\) erlauben Vergleiche:
| \(-5 < 3\) | −5 liegt links von 3 |
| \(\tfrac{2}{3} < \tfrac{3}{4}\) | weil \(\tfrac{2}{3} \approx 0.667 < 0.750\) |
| \(-7 < -2\) | bei negativen Zahlen: kleinerer Betrag nach Vorzeichen-Wechsel = grösser |
Für den Vergleich zweier Brüche \(\tfrac{a}{b}\) und \(\tfrac{c}{d}\) gibt es zwei zuverlässige Wege:
- Dezimal-Vergleich: beide Brüche in Dezimaldarstellung umrechnen (\(\tfrac{2}{3} \approx 0.667\), \(\tfrac{3}{4} = 0.750\)) — danach ist der Vergleich offensichtlich.
- Hauptnenner: beide auf den gemeinsamen Nenner \(b \cdot d\) bringen, dann nur die Zähler vergleichen (\(\tfrac{2}{3} = \tfrac{8}{12},\; \tfrac{3}{4} = \tfrac{9}{12} \Rightarrow \tfrac{8}{12} < \tfrac{9}{12}\)).
Die Dezimal-Variante ist auf dem Taschenrechner schneller, die Hauptnenner-Variante zeigt das Ergebnis exakt — beide Wege müssen dasselbe Ergebnis liefern.
| Operation | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Addieren / Subtrahieren | auf den gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) bringen, dann die Zähler addieren bzw. subtrahieren | \(\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{8}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{11}{12}\) |
| Multiplizieren | Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner | \(\tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{10}{9} = \tfrac{30}{45} = \tfrac{2}{3}\) |
| Dividieren | mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren | \(\tfrac{4}{7} : \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{7} \cdot \tfrac{3}{2} = \tfrac{6}{7}\) |
Kürzen: Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler dividieren — der Wert des Bruchs bleibt gleich (\(\tfrac{30}{45} = \tfrac{2}{3}\), gekürzt durch \(15\)). Endergebnisse immer so weit wie möglich kürzen.
Runden
Beim Runden auf n Nachkommastellen gilt die Regel: „5 oder grösser → aufrunden". Die letzte Spalte zeigt das Runden auf 3 signifikante Stellen in wissenschaftlicher Notation (Mantisse mit 3 Stellen mal 10er-Potenz).
| Zahl | auf 0 Stellen | auf 1 Stelle | auf 2 Stellen | auf 3 signifikante Stellen |
|---|---|---|---|---|
| \(3.14159\) | 3 | 3.1 | 3.14 | \(3.14 \cdot 10^0\) |
| \(7.85\) | 8 | 7.9 | 7.85 | \(7.85 \cdot 10^0\) |
| \(-2.475\) | −2 | −2.5 | −2.48 | \(-2.48 \cdot 10^0\) |
| \(0.000\,041\,28\) | 0 | 0.0 | 0.00 | \(4.13 \cdot 10^{-5}\) |
| \(284\,500\) | 284500 | 284500.0 | 284500.00 | \(2.85 \cdot 10^{5}\) |
Signifikante Stellen sind alle Ziffern ab der ersten von Null verschiedenen Ziffer — bei \(0.000\,041\,28\) also \(4,\,1,\,2,\,8\), bei \(284\,500\) je nach Quelle 4 bis 6 (Endnullen sind mehrdeutig; in wissenschaftlicher Notation eindeutig). Vorteil: die Genauigkeit ist klar erkennbar, unabhängig von der Grössenordnung der Zahl.
Wer Zwischenresultate rundet, sammelt Fehler. Faustregel: rechne mit voller Genauigkeit, runde erst das Endergebnis. Wenn Zwischenrundung doch nötig ist, mindestens 2 Stellen mehr behalten als das gewünschte Endergebnis.
Intervalle — Teilmengen von \(\mathbb{R}\)
Ein Intervall ist eine zusammenhängende Teilmenge der reellen Zahlen. Die Klammer-Richtung sagt, ob die Grenze dazugehört (Klammer zeigt zum Intervall hin: ja; Klammer zeigt weg: nein). Klick auf eine Zeile und sieh dir das konkrete Beispiel daneben an — in formaler Schreibweise und auf der Zahlengeraden.
Unendlich ist keine Zahl, sondern ein Symbol für „beliebig gross". Es kann nie als Intervall-Endpunkt „dabei" sein. Daher gilt stets …; \(\infty\)[ bzw. ]\(-\infty\); … — niemals …; \(\infty\)].
✏️ Mini-Check — Vorzeichen, Betrag, Intervalle
\((-6) \cdot (-2) = \;?\)
- \(-12\)
- \(+12\)
- \(-8\)
Lösung anzeigen
\(|-3| =\) .
Lösung anzeigen
Bestimme \(-(-(-5))\).
Lösung anzeigen
Gehören \(2\) und \(7\) zum Intervall \(]2;\, 7]\)?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Ordne jede Zahl der kleinsten Standardmenge zu, in der sie liegt.
- \(7\)
- \(-12\)
- \(\dfrac{5}{8}\)
- \(0.\overline{6}\)
- \(\sqrt{9}\)
- \(\sqrt{5}\)
- \(\pi\)
- \(7 \in \mathbb{N}\)
- \(-12 \in \mathbb{Z}\)
- \(\tfrac{5}{8} = 0.625 \in \mathbb{Q}\)
- \(0.\overline{6} = \tfrac{2}{3} \in \mathbb{Q}\)
- \(\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}\)
- \(\sqrt{5} \approx 2.236\ldots\) — irrational, also \(\in \mathbb{R}\)
- \(\pi\) — irrational, also \(\in \mathbb{R}\)
Schreibe jede Zahl in den anderen beiden Darstellungen (Bruch · Dezimal · Prozent). Brüche möglichst gekürzt.
- \(\dfrac{3}{8}\)
- \(0.45\)
- \(120\%\)
- \(\dfrac{7}{20}\)
- \(\tfrac{3}{8} = 0.375 = 37.5\%\).
- \(0.45 = \tfrac{45}{100} = \tfrac{9}{20} = 45\%\).
- \(120\% = 1.20 = \tfrac{6}{5}\).
- \(\tfrac{7}{20} = 0.35 = 35\%\).
Berechne ohne Taschenrechner. Beachte Vorzeichen- und Hierarchieregeln.
- \((-7) + 12 - (-3)\)
- \((-4) \cdot (-3) + (-5) \cdot 2\)
- \(20 - 3 \cdot (4 - 7)\)
- \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6}\)
- \(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{9}\)
- \(\dfrac{4}{7} : \dfrac{2}{3}\)
- \(-7 + 12 + 3 = 8\).
- \((-4)(-3) + (-5)(2) = 12 - 10 = 2\).
- Klammer zuerst: \(4 - 7 = -3\). Dann \(20 - 3 \cdot (-3) = 20 + 9 = 29\).
- Hauptnenner 12: \(\tfrac{8}{12} + \tfrac{9}{12} - \tfrac{2}{12} = \tfrac{15}{12} = \tfrac{5}{4}\).
- \(\tfrac{3 \cdot 10}{5 \cdot 9} = \tfrac{30}{45} = \tfrac{2}{3}\) (gekürzt durch 15). Endwert: \(\tfrac{2}{3}\).
- \(\tfrac{4}{7} : \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{7} \cdot \tfrac{3}{2} = \tfrac{12}{14} = \tfrac{6}{7}\) (gekürzt durch 2). Endwert: \(\tfrac{6}{7}\).
Berechne \(\;|{-3} - 7| - |2 - 5|\;\) und gib das Ergebnis ein.
Schreibe jede Beschreibung als Intervall.
- Alle reellen Zahlen, die mindestens \(-2\) und höchstens 5 sind
- Alle reellen Zahlen kleiner als 3
- Alle reellen Zahlen mit \(-1 < x \leq 4\)
- \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}\)
- \([-2;\,5]\)
- \(]-\infty;\,3[\)
- \(]-1;\,4]\)
- \([0;\,+\infty[\)
An einem Wintertag werden drei Temperaturen gemessen (morgens, mittags, abends): \(-3.5\,°C\), \(+1.2\,°C\) und \(-0.8\,°C\). Berechne den Tagesdurchschnitt aus diesen drei Messungen auf eine Nachkommastelle. Stelle das Ergebnis als Bruch und als Dezimalzahl dar. In welcher Zahlenmenge liegt der Wert?
Summe: \(-3.5 + 1.2 + (-0.8) = -3.1\). Durchschnitt: \(-3.1 / 3 = -\tfrac{31}{30} = -1.0\overline{3}\,°C\).
Auf eine Nachkommastelle gerundet: \(-1.0\,°C\). Als Bruch: \(-\tfrac{31}{30}\). Als Dezimalzahl periodisch: \(-1.0\overline{3}\). Die Zahl ist eine rationale Zahl, liegt also in \(\mathbb{Q}\) (und in \(\mathbb{R}\)).
Eine Tankstelle bietet drei Rabattvarianten auf 1 Liter Benzin zum Grundpreis 1.80 CHF:
- (A) 0.15 CHF Abzug pro Liter
- (B) 8 % Rabatt
- (C) 1/12 günstiger (Bruch-Angabe auf der Tafel)
Welche Variante ist am günstigsten? Vergleiche durch Umrechnen in die gleiche Darstellung (Dezimal).
(A) Endpreis = \(1.80 - 0.15 = 1.65\,\text{CHF}\).
(B) Rabatt \(8\,\% = 0.08\), Abzug \(= 1.80 \cdot 0.08 = 0.144\,\text{CHF}\). Endpreis \(= 1.80 - 0.144 = 1.656\,\text{CHF}\).
(C) Rabatt \(= \tfrac{1}{12} \cdot 1.80 = 0.15\,\text{CHF}\). Endpreis \(= 1.80 - 0.15 = 1.65\,\text{CHF}\).
Ranking: (A) und (C) gleich gut bei 1.65 CHF, (B) leicht teurer bei 1.656 CHF. Dass (A) und (C) gleich sind, ist kein Zufall: \(\tfrac{1}{12} \cdot 1.80 = 0.15\) — die Bruch-Angabe wurde gerade so gewählt.
Zusammenfassung
Jede neue Zahlenmenge entsteht, weil die alte ein Problem nicht lösen kann: \(\mathbb{Z}\) erlaubt Subtraktion, \(\mathbb{Q}\) erlaubt Division, \(\mathbb{R}\) erlaubt Wurzeln und Grenzwerte. \(\sqrt{2}\) ist der Beweis dafür, dass \(\mathbb{Q}\) nicht ausreicht.
| Zahlenmengen | \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) |
| Rationale Zahl | Bruch \(p/q\) mit \(p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^*\) — Dezimaldarstellung abbrechend oder periodisch |
| Irrationale Zahl | nicht-abbrechend, nicht-periodisch (z.B. \(\sqrt{2},\;\pi\)) |
| Drei Darstellungen | Bruch ↔ Dezimal ↔ Prozent |
| Vorzeichen-Tabelle | +·+ = +, +·− = −, −·− = + |
| Betrag | \(|a| \geq 0\) — Distanz zur Null |
| Intervalle | \([\ldots]\) geschlossen, \(]\ldots[\) offen, \(\infty\) immer mit Klammer nach aussen |
| Rundung | 5 oder grösser → aufrunden; erst am Ende runden |