1.2 Zahlen und zugehörige Grundoperationen

Werkstatt-Werte: warum 5 überall liegt und √2 nur in ℝ

1. 0:00Die Animation ordnet fünf Werkstatt-Werte in die vier Zahlenmengen ein. Welche Zahl bekommt vier Häkchen, welche nur eines?
2. 0:09Die Fünf ist eine natürliche Zahl. Damit ist sie automatisch auch ganz, rational und reell: vier Häkchen.
3. 0:17Minus drei Komma fünf ist negativ und nicht ganz. Aber es ist der Bruch minus sieben Halbe, also rational und reell: zwei Häkchen.
4. 0:27Wurzel zwei lässt sich nicht als Bruch ganzer Zahlen schreiben. Sie ist irrational und liegt nur in den reellen Zahlen: ein einziges Häkchen.
5. 0:36Merke: Die Mengen stecken ineinander. Was natürlich ist, ist auch ganz, rational und reell. Irrationale Zahlen wie Wurzel zwei sind reell, aber kein Bruch ganzer Zahlen.

Abbrechend oder periodisch? Der gekürzte Nenner entscheidet

1. 0:00Der Konverter zeigt einen Bruch als Dezimalzahl und in Prozent. Manche Dezimalzahlen brechen ab, andere werden periodisch. Woran sieht man das dem Bruch an?
2. 0:10Sieben Zehntel ist null Komma sieben, also siebzig Prozent. Der Nenner zehn ist zwei mal fünf, er enthält nur die Primfaktoren zwei und fünf. Die Dezimalzahl bricht ab.
3. 0:21Ein Sechstel ist null Komma eins sechs sechs sechs, ohne Ende. Der Nenner sechs ist zwei mal drei. Der Primfaktor drei macht die Dezimalzahl periodisch.
4. 0:30Neun Zwölftel: Im Nenner zwölf steckt eine Drei. Trotzdem bricht die Zahl ab, denn gekürzt ist es drei Viertel. Entscheidend ist der gekürzte Nenner vier, und der ist zwei mal zwei.
5. 0:42Merke: Jeder Bruch ergibt eine abbrechende oder eine periodische Dezimalzahl. Enthält der gekürzte Nenner nur die Primfaktoren zwei und fünf, bricht sie ab, sonst wird sie periodisch.

Vorzeichen als Pfeile: Plus behält die Richtung, Minus kehrt sie um

1. 0:00In der Animation ist jede Zahl ein Pfeil auf der Zahlengeraden. Was machen Plus und Minus mit seiner Richtung?
2. 0:09Start bei a gleich drei. Die Zahl minus fünf zeigt nach links, und das Plus behält diese Richtung bei. Du landest bei minus zwei.
3. 0:18Jetzt drei minus fünf. Die Zahl fünf zeigt nach rechts, aber das Minus kehrt die Richtung um. Wieder landest du bei minus zwei.
4. 0:27Und drei minus minus fünf: Die Zahl minus fünf zeigt nach links, das Minus davor dreht sie nach rechts. Du landest bei acht, genau wie bei drei plus fünf.
5. 0:37Merke: Das Plus übernimmt die Richtung der Zahl, das Minus kehrt sie um. Darum ist a minus minus b gleich a plus b, und a plus minus b gleich a minus b.

Eine Länge hat keine Richtung: |a| und |a − b|

1. 0:00Die Animation zeigt zwei Beträge als Balken: grün den Betrag von a, violett den Betrag von a minus b. Was misst der Betrag eigentlich?
2. 0:09Der grüne Balken zeigt den Betrag von a: den Abstand von a zur Null. Für a gleich vier ist er vier.
3. 0:17Jetzt liegt a bei minus vier, links der Null. Der grüne Balken ist gleich lang wie vorher: Der Betrag ist wieder vier, denn ein Abstand ist nie negativ.
4. 0:27Der violette Balken misst den Abstand von a zu b. Vertausche a und b: Aus minus vier und zwei wird zwei und minus vier. Der Abstand bleibt sechs.
5. 0:37Merke: Der Betrag misst eine Länge, keine Richtung. Darum ist er nie negativ, und der Abstand von a zu b ist derselbe wie von b zu a.

Intervalle: dieselbe Klammer in der Schreibweise und am Zahlenstrahl

1. 0:00Ein Intervall lässt sich mit Klammern, als Menge und am Zahlenstrahl schreiben. Woran sieht man, ob ein Rand dazugehört?
2. 0:09Beim Intervall von zwei bis fünf sind die Klammern nach innen geöffnet, in der Schreibweise und am Zahlenstrahl. In der Menge steht kleiner gleich: Beide Ränder gehören dazu.
3. 0:20Beim offenen Intervall von minus eins bis drei sind die Klammern nach aussen geöffnet, und in der Menge steht echt kleiner. Die Ränder gehören nicht dazu.
4. 0:29Nach links geht das Intervall ohne Ende weiter. Bei minus unendlich ist die Klammer immer nach aussen geöffnet, denn unendlich ist keine Zahl. Rechts gehört die Zwei dazu.
5. 0:39Merke: Am Zahlenstrahl steht dieselbe Klammer wie in der Schreibweise. Nach innen geöffnet heisst kleiner gleich, der Rand gehört dazu. Nach aussen geöffnet heisst echt kleiner, er gehört nicht dazu. Bei unendlich ist die Klammer immer offen.

Mengen: aufzählen wenn möglich, sonst beschreiben

1. 0:00Für eine Menge gibt es mehrere Schreibweisen. Sie bezeichnen dieselbe Menge, sind aber nicht gleich zweckmässig — es gibt eine Rangfolge, und die hat einen Grund.
2. 0:09Aufzählend heisst: Jedes Element steht da. Das ist die konkreteste Form — man muss nichts erschliessen, man sieht die Zahlen selbst. Wenn es geht, nimmt man sie.
3. 0:19Nur: Bei vierhundert Elementen wird die Liste zur Zumutung. Man hilft sich mit Pünktchen — aber die muss der Leser raten. Und bei unendlich vielen Elementen ist Aufzählen überhaupt nicht mehr möglich.
4. 0:31Beschreibend: Statt der Elemente steht die Regel da, nach der sie ausgewählt sind. Links vom Strich, woher die Zahlen kommen, rechts die Bedingung.
5. 0:41Ein Sonderfall sind zusammenhängende Bereiche reeller Zahlen. Die kann man grundsätzlich nicht aufzählen: Zwischen zwei reellen Zahlen liegen immer weitere. Dafür gibt es die Intervallschreibweise.
6. 0:51Die Rangfolge zum Mitnehmen: Zuerst prüfen, ob sich aufzählen lässt — dann aufzählen, denn das ist konkret. Geht es nicht, weil es zu viele oder unendlich viele sind, beschreiben. Und bei einem zusammenhängenden Bereich reeller Zahlen: Intervall.

Mengen: Schnitt, Vereinigung, Differenz

1. 0:00Zwei Mengen, drei Verknüpfungen.
2. 0:09Der Schnitt: was in beiden Mengen steht.
3. 0:17Die Vereinigung: alles zusammen, aber jedes Element nur einmal.
4. 0:23Die Differenz: was in A steht und nicht in B. Hier zählt die Reihenfolge.
5. 0:31Schnitt heisst beides, Vereinigung heisst alles, Differenz heisst nur das eine.

Prozent: mit dem Faktor statt dem Dreisatz

1. 0:00Prozentrechnen ohne Dreisatz. Eine Multiplikation genügt.
2. 0:09Das Ganze sind hundert Prozent, also eins. Acht Prozent mehr heisst Faktor eins Komma null acht.
3. 0:19Einmal multiplizieren, fertig.
4. 0:25Zurück wird geteilt, nicht mit dem Gegenfaktor multipliziert. Das ist die häufigste Falle.
5. 0:33Hin mal Faktor, zurück durch Faktor.

Zahlenbrüche: Strich- und Punktoperation

1. 0:00Zwei Brüche, zwei Operationen — und zwei ganz verschiedene Wege.
2. 0:09Mal: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Mehr ist es nicht.
3. 0:17Plus geht nicht geradeaus. Drittel und Fünftel sind verschiedene Sorten.
4. 0:27Mal und geteilt gehen geradeaus, plus und minus brauchen den Hauptnenner.

Zahlenbrüche: Vorrang, Vorzeichen und Bruchtaste am Rechner

1. 0:00Der TI-30X Pro MathPrint zeigt vier Zeilen zu je sechzehn Zeichen. Oben steht, was du eingibst, unten rechtsbündig das Ergebnis. Dieser Clip zeigt die vier Grundrechenarten und die drei Stellen, an denen man sich vertippt.
2. 0:14Erste Falle: Der Rechner hält sich an Punkt vor Strich. Zwei plus drei mal vier gibt vierzehn, nicht zwanzig. Wer zwanzig will, muss die Klammer selbst setzen.
3. 0:24Zweite Falle, die wichtigste: Es gibt zwei Minus-Tasten. Das lange Minus rechnet, das eingeklammerte Minus macht eine Zahl negativ. Acht minus drei gibt fünf. Minus acht plus drei gibt minus fünf — und dafür braucht es die Vorzeichentaste.
4. 0:39Dritte Stelle: die Bruchtaste n durch d. MathPrint heisst, dass der Bruch in der Anzeige wirklich zweistöckig steht, wie im Heft. Drei Viertel plus ein Sechstel gibt elf Zwölftel — der Rechner kürzt selbst.
5. 0:52Und zum Aufräumen: del nimmt das letzte Zeichen zurück, clear löscht die ganze Eingabe. Wer sich vertippt hat, braucht meistens nur del.
6. 1:00Zum Mitnehmen: Der Rechner hält den Vorrang ein, die Klammern setzt du. Das rechnende Minus und das Vorzeichen sind zwei Tasten. Und ein Bruch bleibt ein Bruch, wenn du ihn mit n durch d eingibst.

Zahlenbrüche: die Tastenfolge, Taste für Taste

1. 0:00Diesmal sehen wir beim Tippen zu. Jede Taste erscheint unten, und darüber wächst die Eingabezeile mit — so, wie es auf dem Gerät aussieht.
2. 0:09Zwei, plus, drei, mal, vier, gleich. Die Eingabezeile wächst mit jedem Anschlag. Am Schluss steht rechts das Ergebnis: vierzehn. Der Rechner hat die Multiplikation zuerst gerechnet, ohne dass wir etwas dazu tun mussten.
3. 0:24Will man zuerst addieren, muss man es sagen. Klammer auf, zwei, plus, drei, Klammer zu, mal, vier, gleich. Jetzt sind es acht Anschläge — und das Ergebnis ist zwanzig.
4. 0:42Und die Stelle, an der es am häufigsten schiefgeht: minus acht plus drei. Das erste Zeichen ist kein Rechenzeichen, sondern ein Vorzeichen — dafür die Taste in Klammern. Danach ganz normal weiter.
5. 0:55Zum Mitnehmen: Der Rechner arbeitet die Eingabe von links nach rechts ab und hält dabei den Vorrang ein. Was du in Klammern willst, musst du in Klammern setzen. Und das Vorzeichen ist eine eigene Taste.

Zahlenbrüche: gemischte Zahlen und die Dezimalfalle

1. 0:00Die Bruchtaste kann mehr als drei Viertel plus ein Sechstel. Dieser Clip zeigt die gemischte Zahl, das Umschalten zwischen Bruch und Dezimalzahl — und die Stelle, an der der Bruch verloren geht.
2. 0:11Eine gemischte Zahl braucht eine eigene Taste: zweite Ebene, dann Un durch d. Der Rechner legt drei Felder an — ganzer Teil, Zähler, Nenner — und mit den Pfeiltasten springst du zwischen ihnen hin und her.
3. 0:23Das Ergebnis kommt als unechter Bruch: siebenundvierzig Zwölftel. So ist es eingestellt, und dabei bleibt es. Wer die gemischte Zahl sehen will, hängt die Umrechnung aus dem math-Menü an — erster Eintrag.
4. 0:36Und zwischen Bruch und Dezimalzahl schaltet die Umwandlungstaste hin und her. Elf Zwölftel sind null Komma neun eins, Periode sechs — dieselbe Zahl, nur anders angezogen. Die Anzeige bricht irgendwo ab, die Zahl nicht: gerechnet wird intern mit voller Genauigkeit.
5. 0:52Jetzt die Falle. Drei Viertel plus ein Halb gibt fünf Viertel — ein Bruch. Tippst du dasselbe mit null Komma fünf, kommt eins Komma zwei fünf heraus. Eine einzige Kommazahl im Ausdruck, und das Ergebnis ist dezimal.
6. 1:05Zum Mitnehmen: die gemischte Zahl hat eine eigene Taste. Ergebnisse kommen unecht und lassen sich umrechnen. Und wer eine Kommazahl eingibt, bekommt eine Kommazahl zurück.

Zahlenbrüche: mit dem letzten Ergebnis weiterrechnen

1. 0:00Ein Zwischenergebnis abschreiben und wieder eintippen ist die häufigste Fehlerquelle beim Rechnen mit dem Gerät. Nötig ist es nie: Das letzte Ergebnis steht im Rechner, und die vorherigen auch.
2. 0:11Der schnellste Weg: Drücke am Anfang der neuen Eingabe einfach ein Rechenzeichen. Der Rechner setzt von selbst ans davor — das letzte Ergebnis. Elf Zwölftel mal vierundzwanzig gibt zweiundzwanzig.
3. 0:23Und ans ist nicht das, was in der Anzeige steht. Es ist der volle Wert mit dreizehn Stellen. Zwei Drittel mal drei gibt darum genau zwei. Wer die angezeigten zehn Stellen abschreibt und malnimmt, landet daneben.
4. 0:36Auch ältere Rechnungen sind nicht weg. Die Pfeiltaste nach oben führt aus der Eingabezeile ins Protokoll; dort blätterst du zur gesuchten Zeile und drückst enter. Die Eingabe steht wieder da und lässt sich ändern — aus zwei Dritteln wird fünf Drittel, ohne alles neu zu tippen.
5. 0:52Und wer einen Wert mehrfach braucht, gibt ihm einen Namen. Sto-Pfeil, dann die Variablentaste: acht Plätze stehen bereit, x, y, z, t, a, b, c und d. Danach rechnet der Rechner mit dem gespeicherten Wert, wo immer der Name auftaucht.
6. 1:09Zum Mitnehmen: Ein Rechenzeichen am Anfang holt das letzte Ergebnis. Die Pfeiltaste nach oben holt jede frühere Zeile. Und was du oft brauchst, bekommt einen Namen. Abgeschrieben wird nichts.

Zahlenbrüche: ggT, kgV und die Primfaktoren auf Tastendruck

1. 0:00Der Rechner kürzt einen Zahlenbruch von selbst — vierundachtzig Hundertsechsundzwanzigstel gibt er als zwei Drittel aus. Trotzdem lohnt sich ein Blick ins MATH-Menü: Dort stehen die Zahlen, die beim Kürzen unter dem Strich verschwinden.
2. 0:13Die math-Taste öffnet vier Menüs; im ersten steht gcd, der grösste gemeinsame Teiler. Gcd von vierundachtzig und hundertsechsundzwanzig ist zweiundvierzig — das ist die Zahl, um die gekürzt wird. Vierundachtzig durch zweiundvierzig ist zwei, hundertsechsundzwanzig durch zweiundvierzig ist drei.
3. 0:31Daneben steht lcm, das kleinste gemeinsame Vielfache — der Hauptnenner. Für ein Zwölftel plus ein Achtzehntel ist er sechsunddreissig. Also drei Sechsunddreissigstel plus zwei Sechsunddreissigstel, zusammen fünf Sechsunddreissigstel.
4. 0:46Und wer wissen will, warum ggT und kgV gerade so herauskommen: Pfactor zerlegt eine Zahl in ihre Primfaktoren. Hundertfünfundsechzig ist drei mal fünf mal elf. Aus den Primfaktoren liest man beides ab — der ggT nimmt die gemeinsamen, das kgV alle.
5. 1:02Ein Menü weiter rechts liegt NUM. Dort stehen der Betrag und der Rest der Division: abs von minus fünf ist fünf, mod von siebzehn und zwölf ist fünf. Dazu round, iPart und fPart — Runden, Ganzzahlanteil und Bruchanteil.
6. 1:18Wozu das Ganze, wenn der Rechner Brüche ohnehin kürzt? Weil er es nur mit Zahlen kann. Sobald im Bruch ein Buchstabe steht, hilft keine Taste mehr — dann brauchst du den ggT der Zahlen und die gemeinsamen Faktoren der Terme, und das im Kopf.
7. 1:31gcd kürzt, lcm bringt auf den Hauptnenner, Pfactor erklärt beides.

Zahlenmengen: ℕ, ℤ, ℚ und ℝ

1. 0:00Vier Zahlenmengen, und keine davon ist willkürlich. Jede entstand, weil eine Rechnung in der vorherigen nicht aufging.
2. 0:08Am Anfang stehen die natürlichen Zahlen — die Zählzahlen. In ihnen lässt sich drei minus fünf nicht rechnen. Also kamen die negativen dazu: die ganzen Zahlen.
3. 0:18In den ganzen Zahlen geht das Teilen nicht auf: eins durch drei ist keine ganze Zahl. Also die rationalen Zahlen — alles, was sich als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lässt.
4. 0:28Aber auch die Brüche reichen nicht: Die Wurzel aus zwei lässt sich nicht als Bruch schreiben. Solche Zahlen heissen irrational — zusammen mit den rationalen bilden sie die reellen Zahlen.
5. 0:39Zum Mitnehmen: Jede Menge entstand aus einer Rechnung, die vorher nicht ging — Subtraktion, Division, Wurzelziehen. Und jede enthält alle vorherigen.

Zahlenmengen: die kleinste Menge finden

1. 0:00Eine typische Prüfungsfrage: Zu welcher Zahlenmenge gehört diese Zahl? Gemeint ist immer die kleinste — und der erste Schritt ist nicht das Einordnen.
2. 0:09Die Falle ist immer dieselbe: Man ordnet die Schreibweise ein statt die Zahl. Ein Wurzelzeichen heisst noch nicht irrational.
3. 0:17Die dritte Wurzel aus siebenundzwanzig ist drei, mit dem Minus eine ganze Zahl. Null Komma Periode sechs ist zwei Drittel, also rational. Und Wurzel zwei mal Wurzel drei ist Wurzel sechs — sechs ist keine Quadratzahl, die Zahl bleibt irrational.
4. 0:33Drei Fragen führen zur Antwort: Lässt sie sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben? Ist der Bruch eine ganze Zahl? Und ist die ganze Zahl nichtnegativ?
5. 0:42Zum Mitnehmen: vereinfachen, dann von innen nach aussen prüfen. Gefragt ist die kleinste Menge — dass fünf auch in R liegt, ist keine Antwort.

Zahlenmengen: Zahlen ordnen und vergleichen

1. 0:00Kleiner, grösser, gleich — die Ordnungsrelationen. Auf der Zahlengeraden heisst kleiner schlicht: weiter links.
2. 0:08Vergleichen kann man nur Gleichartiges. Brüche, Dezimalzahlen und Wurzeln bringt man darum zuerst in eine gemeinsame Form — meistens in Dezimalzahlen.
3. 0:17Und jetzt die Stelle, an der es kippt: Bei negativen Zahlen ist die Zahl mit dem grössten Betrag die kleinste. Minus null Komma neun liegt weiter links als minus null Komma acht.
4. 0:28Vier negative Zahlen, gemischt geschrieben. In Dezimalform: minus null Komma acht sieben fünf, minus null Komma neun, minus null Komma acht, minus null Komma acht drei. Der Grösse nach geordnet steht der Betrag von minus null Komma neun zuvorderst.
5. 0:44Zum Mitnehmen: gemeinsame Form herstellen, dann auf der Zahlengeraden nach links und rechts denken. Im Negativen dreht sich die Rolle des Betrags um.

Zahlenmengen: der Betrag als Abstand

1. 0:00Der Betrag hat eine einzige Bedeutung, und alles Weitere folgt daraus: Er ist der Abstand zur Null.
2. 0:08Daraus folgt sofort: Ein Betrag ist nie negativ. Ein Abstand kann nicht kleiner als null sein — er ist genau dann null, wenn die Zahl selbst null ist.
3. 0:17Und der eigentliche Nutzen: Betrag von a minus b ist der Abstand zwischen a und b. Betrag von x minus drei heisst also: wie weit x von drei entfernt ist.
4. 0:27In einer Gleichung führt das auf zwei Fälle: Betrag von x gleich fünf heisst, x ist fünf Schritte von der Null entfernt — nach rechts oder nach links.
5. 0:36Zum Schluss die Verbindung zur Wurzel: Die Wurzel aus a zum Quadrat ist nicht a, sondern der Betrag von a. Denn das Quadrieren löscht das Vorzeichen, und die Wurzel kann es nicht zurückholen.
6. 0:47Zum Mitnehmen: Betrag heisst Abstand. Nie negativ, keine Richtung — und in Gleichungen immer zwei Fälle.

Zahlformen: Bruch, Dezimalzahl, Prozent, Promille

1. 0:00Ein und dieselbe Zahl, vier Schreibweisen.
2. 0:09Der Bruchstrich ist ein Geteiltzeichen. Also teilen.
3. 0:17Prozent heisst Hundertstel. Also mal hundert.
4. 0:23Promille heisst Tausendstel — also noch einmal mal zehn.
5. 0:31Nicht jeder Bruch wird eine endliche Dezimalzahl. Ein Drittel ist null Komma Periode drei — und mit dem Strich geschrieben ist auch das exakt, nichts fehlt. Gerundet ist erst, was der Rechner anzeigt: Er bricht die Periode irgendwo ab.
6. 0:45Zum Mitnehmen: Vier Schreibweisen, eine Zahl. Im Bruch rechnet man am sichersten — die anderen Formen sind Umrechnungen davon.

Zahlformen: periodische Dezimalzahl als Bruch

1. 0:00Null Komma Periode sechsunddreissig. Der Strich sagt: diese beiden Ziffern wiederholen sich ohne Ende. Trotzdem steckt ein ganz gewöhnlicher Bruch dahinter. Wir holen ihn heraus.
2. 0:10Wir nennen die Zahl x. Die Periode hat zwei Stellen, also nehmen wir mal hundert. Das schiebt das Komma um zwei Stellen nach rechts — und hinter dem Komma steht danach genau dasselbe wie vorher.
3. 0:21Jetzt die beiden Zeilen voneinander abziehen. Hinter dem Komma steht links wie rechts dasselbe — das hebt sich restlos auf. Übrig bleibt eine gewöhnliche Gleichung.
4. 0:31Durch neunundneunzig teilen, dann kürzen: Zähler und Nenner sind beide durch neun teilbar. Es bleibt vier Elftel. Die Probe: vier geteilt durch elf gibt wieder null Komma Periode sechsunddreissig.
5. 0:43Und wenn vor der Periode noch eine Ziffer steht? Dann braucht es zwei Zehnerpotenzen. Mal zehn schiebt die Eins vor das Komma, mal hundert schiebt zusätzlich eine ganze Periode hinüber. Die Differenz ist wieder glatt: neunzig x gleich fünfzehn, gekürzt ein Sechstel.
6. 0:58Daraus wird eine Regel. In den Nenner kommen so viele Neunen, wie die Periode Stellen hat, und so viele Nullen, wie Ziffern davor stehen. In den Zähler kommen die Ziffern ohne Komma, minus die Ziffern vor der Periode.
7. 1:11Und zum Schluss die Probe aufs Exempel: null Komma Periode neun. Dasselbe Verfahren, ohne Ausnahme — und heraus kommt eins. Kein Rundungsfehler, keine Näherung: zwei Schreibweisen für dieselbe Zahl.