Zahlen werden je nach Eigenschaft in verschachtelte Mengen eingeteilt:
| Symbol | Name | Beispiele | typisch |
|---|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | natürliche Zahlen | \(0, 1, 2, 3, \dots\) | Anzahl |
| \(\mathbb{Z}\) | ganze Zahlen | \(\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\) | Schulden, Temperatur |
| \(\mathbb{Q}\) | rationale Zahlen | \(\tfrac{1}{2},\ -\tfrac{3}{4},\ 0{.}25\) | Brüche, Anteile |
| \(\mathbb{R}\) | reelle Zahlen | \(\sqrt{2},\ \pi,\ e\) | Längen, Messwerte |
Es gilt die Inklusion \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\): jede natürliche Zahl ist auch ganz, jede ganze Zahl auch rational, jede rationale Zahl auch reell.
Dieselbe Zahl lässt sich als Bruch, als Dezimalzahl oder als Prozent schreiben:
| Bruch | Dezimal | Prozent |
|---|---|---|
| \(\tfrac{1}{2}\) | \(0{.}5\) | \(50\,\%\) |
| \(\tfrac{1}{4}\) | \(0{.}25\) | \(25\,\%\) |
| \(\tfrac{3}{4}\) | \(0{.}75\) | \(75\,\%\) |
| \(\tfrac{1}{8}\) | \(0{.}125\) | \(12{.}5\,\%\) |
| \(\tfrac{2}{5}\) | \(0{.}4\) | \(40\,\%\) |
| \(\tfrac{1}{3}\) | \(0{.}\overline{3}\) | \(33{.}\overline{3}\,\%\) |
| \(-\tfrac{3}{4}\) | \(-0{.}75\) | \(-75\,\%\) |
Umrechnung: Bruch → Dezimal durch Division (Zähler : Nenner). Dezimal → Prozent durch Multiplikation mit \(100\). Prozent → Bruch über \(\tfrac{p}{100}\) und kürzen.
Ein Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen zwischen zwei Grenzen:
| Notation | Bedeutung | Grenze |
|---|---|---|
| \([a; b]\) | \(a \le x \le b\) | beide eingeschlossen |
| \(]a; b[\) | \(a < x < b\) | beide ausgeschlossen |
| \([a; b[\) | \(a \le x < b\) | links ein, rechts aus |
| \(]-\infty; b]\) | \(x \le b\) | \(\infty\) immer offen |
Wichtig: \(\infty\) ist keine Zahl, sondern ein Symbol — die Klammer steht hier immer offen.
Bei Multiplikation und Division gilt:
Bei der Division gilt die gleiche Regel: \(\dfrac{-12}{-4} = +3\) (gleiches Vorzeichen → positiv), \(\dfrac{-12}{+4} = -3\) (verschiedenes Vorzeichen → negativ).
Bei Addition und Subtraktion: \(a - (-b) = a + b\) und \(a + (-b) = a - b\).
Beispiel: \(-3^2 = -9\) (zuerst Potenz, dann Vorzeichen), aber \((-3)^2 = +9\).
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null auf dem Zahlenstrahl, immer \(\ge 0\):
\(|{-7}| = 7\), \(|3{.}5| = 3{.}5\), \(|0| = 0\).
Reelle Zahlen lassen sich auf dem Zahlenstrahl anordnen. Bei Brüchen: gleichen Nenner machen oder dezimal ausrechnen. Bei negativen Zahlen ist die betragsmässig grössere die kleinere: \(-7 < -3\).
Zahlen lassen sich klassieren (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)) und auf drei Arten darstellen (Bruch, Dezimal, Prozent). Intervalle beschreiben Bereiche kompakt. Die Hierarchie der Operationen und die Vorzeichenregeln gelten auch ohne Hilfsmittel.