12 Aufgaben — alle auch ohne Hilfsmittel lösbar.
Ordne die Zahlen den Mengen zu (mehrere möglich): \(7\), \(-3\), \(\tfrac{1}{2}\), \(\sqrt{2}\), \(0\), \(\pi\), \(-\tfrac{4}{5}\).
Wahr oder falsch?
(a) Jede ganze Zahl ist rational.
(b) \(\sqrt{9} \in \mathbb{N}\).
(c) \(\pi \in \mathbb{Q}\).
Wandle in Dezimalzahl um: \(\tfrac{3}{8}\), \(\tfrac{5}{4}\), \(\tfrac{2}{3}\).
Schreibe als gekürzten Bruch: \(0{.}6\), \(0{.}125\), \(0{.}\overline{3}\).
Wandle um: \(35\,\%\) als Bruch und Dezimal; \(\tfrac{7}{20}\) als Prozent.
Schreibe als Intervall:
(a) alle \(x\) mit \(-2 \le x < 5\)
(b) alle \(x > 3\)
Welche Zahlen liegen im Intervall \(]-3;\,2]\)? Markiere: \(-3\), \(-1\), \(0\), \(2\), \(2{.}5\).
Berechne:
(a) \((-4) \cdot (-3) + (-2)\)
(b) \(15 - (-7) - 4\)
(c) \((-2)^3\)
Berechne:
(a) \(8 - 3 \cdot 2 + 1\)
(b) \((8 - 3) \cdot 2 + 1\)
(c) \(-3^2 + (-3)^2\)
Berechne: \(|{-5}|\), \(|3-7|\), \(|{-2}|+|{-3}|\), \(|{-2}\cdot 4|\).
Ordne der Grösse nach: \(-\tfrac{3}{4}\), \(-0{.}8\), \(-\tfrac{2}{3}\), \(0\), \(\tfrac{1}{2}\).
Eine Werkstatt verzeichnet folgende Lagerveränderungen: \(+12\), \(-7\), \(-3\), \(+5\). Wie gross ist die Gesamtveränderung? Wie gross ist die Summe der Beträge?
1. \(7\): \(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\) — \(-3\): \(\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\) — \(\tfrac{1}{2}\): \(\mathbb{Q},\mathbb{R}\) — \(\sqrt{2}\): \(\mathbb{R}\) — \(0\): \(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\) — \(\pi\): \(\mathbb{R}\) — \(-\tfrac{4}{5}\): \(\mathbb{Q},\mathbb{R}\). Konvention: Im Lehrmittel ist \(0 \in \mathbb{N}\) (Schweizer Schul-Konvention, ISO 80000-2). Manche Lehrbücher verwenden \(\mathbb{N}\) ohne 0 und schreiben \(\mathbb{N}_0\), wenn die 0 dazugehört — diese Konvention ist hier nicht in Gebrauch.
2. (a) wahr — (b) wahr (\(\sqrt{9}=3\)) — (c) falsch (\(\pi\) ist irrational)
3. \(\tfrac{3}{8}=0{.}375\); \(\tfrac{5}{4}=1{.}25\); \(\tfrac{2}{3}=0{.}\overline{6}\)
4. \(0{.}6=\tfrac{6}{10}=\tfrac{3}{5}\); \(0{.}125=\tfrac{125}{1000}=\tfrac{1}{8}\); \(0{.}\overline{3}=\tfrac{1}{3}\)
5. \(35\,\%=\tfrac{35}{100}=\tfrac{7}{20}=0{.}35\); \(\tfrac{7}{20}=\tfrac{35}{100}=35\,\%\)
6. (a) \([-2;\,5[\) — (b) \(]3;\,\infty[\)
7. \(-1\), \(0\), \(2\) liegen im Intervall \(]-3;\,2]\). \(-3\) ist ausgeschlossen — die linke Klammer \(]\) ist nach aussen geöffnet, die Grenze gehört nicht dazu. \(2\) ist eingeschlossen — die rechte Klammer \(]\) ist geschlossen (zum Intervall hin), die Grenze gehört dazu. \(2{.}5 > 2\) liegt rechts der oberen Grenze und gehört nicht dazu.
8. (a) \(12-2=10\) — (b) \(15+7-4=18\) — (c) \((-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8\)
9. (a) \(8-6+1=3\) — (b) \(5\cdot 2+1=11\) — (c) Vorzeichen-Falle: \(-3^2 = -(3^2) = -9\) (Potenz bindet stärker als das vorgestellte Minus), aber \((-3)^2 = (-3)\cdot(-3) = +9\) (Klammer ändert die Reihenfolge). Summe: \(-9 + 9 = 0\).
10. \(|{-5}|=5\); \(|3-7|=|{-4}|=4\); \(|{-2}|+|{-3}|=2+3=5\); \(|{-2}\cdot 4|=|{-8}|=8\)
11. Schritt 1 — alle Brüche in Dezimal: \(-\tfrac{3}{4} = -0{.}75\), \(-\tfrac{2}{3} \approx -0{.}\overline{6} \approx -0{.}667\), \(\tfrac{1}{2} = 0{.}5\). Schritt 2 — auf der Zahlengeraden ordnen, links nach rechts: \(-0{.}8\), \(-0{.}75\), \(-0{.}667\), \(0\), \(0{.}5\). Ergebnis: \(-0{.}8 < -\tfrac{3}{4} < -\tfrac{2}{3} < 0 < \tfrac{1}{2}\). Vorzeichen-Falle: bei negativen Zahlen ist die betragsgrössere Zahl die kleinere — \(-0{.}8\) ist kleiner als \(-0{.}75\), obwohl \(0{.}8 > 0{.}75\).
12. Gesamtveränderung: \(12-7-3+5=+7\). Summe der Beträge: \(12+7+3+5=27\) (Anzahl bewegter Teile insgesamt). Logistik-Bezug: Die Gesamtveränderung sagt, wie viel netto dazugekommen oder weggegangen ist (Bestandsänderung). Die Betragssumme sagt, wie viel insgesamt bewegt wurde (Arbeitsaufwand für Personal, Stapler-Kilometer, Verpackungen) — sie ist meistens grösser und für die Logistik-Kostenrechnung wichtiger als die Nettoveränderung.