| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Bauwesen | Quadratische Bodenplatten | ●●○ |
| 2 | Mobilität | Bremsweg-Faustformel | ●●○ |
| 3 | Elektrotechnik | Leistungsformel umformen | ●●● |
| 4 | Logistik | Verpackung mit gleichem Rand | ●●● |
| 5 | Architektur | Differenz zweier Quadrate | ●●● |
| 6 | Life Sciences | Bakterienkultur — Modell vereinfachen | ●●● |
Eine quadratische Bodenplatte hat die Seitenlänge \(a\). Auf jeder Seite wird ein Streifen der Breite \(b\) abgeschnitten.
(a) Stelle die Restfläche als Term in \(a\) und \(b\) auf.
(b) Vereinfache mit der binomischen Formel.
(c) Wie gross ist die Restfläche für \(a = 80\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\)?
Eine vereinfachte Bremsweg-Formel ist \(s = \dfrac{v^2}{100} + \dfrac{v}{10}\) (mit \(v\) in km/h, \(s\) in m).
Dies ist eine vereinfachte Modellformel zur Übung der Ausklammerns — nicht die offizielle Schweizer Verkehrs-Faustformel. Die Schweizer Fahrschul-Konvention lautet: Bremsweg \(= (v/10)^2\) m und Reaktionsweg \(= (v/10) \cdot 3\) m bei einer Sekunde Reaktionszeit. Beispiel \(v = 50\) km/h: Bremsweg \(25\) m, Reaktionsweg \(15\) m, Anhalteweg \(40\) m. Im echten Strassenverkehr daher die offizielle Formel verwenden.
(a) Klammere den Faktor \(\dfrac{v}{10}\) aus.
(b) Berechne mit der vereinfachten Form den Bremsweg für \(v = 50\,\text{km/h}\).
(c) Warum ist die ausgeklammerte Form für die Berechnung praktischer?
Die Gesamtleistung zweier paralleler Verbraucher kann durch \(P_\text{ges} = U \cdot I_1 + U \cdot I_2\) ausgedrückt werden.
Für Lernende ohne ET-Vorwissen: \(U\) ist die Spannung (Volt, V), \(I\) der Strom (Ampere, A), \(P = U \cdot I\) die Leistung (Watt, W). Bei Parallelschaltung ist die Spannung an allen Verbrauchern gleich, die Ströme addieren sich (1. Kirchhoffsches Gesetz, „Knotenregel").
(a) Klammere \(U\) aus und interpretiere das Ergebnis (Kirchhoff).
(b) Berechne \(P_\text{ges}\) für \(U = 230\,\text{V}\), \(I_1 = 2\,\text{A}\), \(I_2 = 3\,\text{A}\).
(c) Ein dritter Verbraucher \(I_3\) wird parallel ergänzt: schreibe die Formel mit ausgeklammertem \(U\).
Ein quadratisches Etikett der Seitenlänge \(x\) wird mit einem Rand der Breite \(r\) auf eine Schachtel geklebt. Die Schachtelfläche ist also \((x + 2r)^2\).
(a) Multipliziere \((x+2r)^2\) aus.
(b) Wie gross ist der Anteil nur des Randes (ohne Etikett)? Stelle einen Term auf und vereinfache.
(c) Berechne für \(x = 12\,\text{cm}\), \(r = 1{.}5\,\text{cm}\) den Randflächenanteil.
Aus einer quadratischen Stahlplatte der Seitenlänge \(a\) wird in der Mitte ein quadratisches Stück der Seitenlänge \(b\) ausgeschnitten (\(b < a\)).
(a) Stelle die verbleibende Fläche als Differenz und faktorisiert auf.
(b) Welche binomische Formel hilft hier?
(c) Berechne für \(a = 50\,\text{cm}\), \(b = 30\,\text{cm}\) — einmal als Differenz, einmal faktorisiert. Vergleiche den Aufwand.
Die Anzahl Bakterien in zwei Schalen wird modelliert durch \(A(t) = 100 + 5t^2\) und \(B(t) = 60 + 3t^2\) (mit \(t\) in Stunden).
Reales Bakterienwachstum ist exponentiell (\(N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}\) mit Verdopplungszeit \(T\)), nicht polynomial. Hier verwenden wir bewusst eine vereinfachte Polynom-Form, um das Vereinfachen und Ausklammern von Termen zu üben — das realistischere Exponentialmodell folgt in 3.4 Exponentialfunktionen.
(a) Stelle den Term für die Differenz \(A(t) - B(t)\) auf und fasse zusammen.
(b) Stelle den Term für die Summe auf und klammere den grössten gemeinsamen Faktor aus.
(c) Berechne Differenz und Summe für \(t = 4\,\text{h}\).
1. (a) Restseite \(=a-2b\), Restfläche \(=(a-2b)^2\). (b) \((a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2\). (c) \(80^2 - 4\cdot 80 \cdot 5 + 4 \cdot 25 = 6400 - 1600 + 100 = 4900\,\text{cm}^2\) (kontrolliere: \((80-10)^2 = 70^2 = 4900\) ✓).
2. (a) \(s = \dfrac{v}{10}\left(\dfrac{v}{10} + 1\right)\). (b) \(s = \dfrac{50}{10}(\dfrac{50}{10}+1) = 5 \cdot 6 = 30\,\text{m}\). (c) Faktorisierte Form ist eine einfache Multiplikation zweier kleiner Werte; ohne Klammer wären zwei Brüche zu addieren.
3. (a) \(P_\text{ges} = U(I_1 + I_2)\) — die Gesamtspannung wirkt auf den Gesamtstrom (Summe paralleler Ströme). (b) \(P_\text{ges} = 230 \cdot (2+3) = 230 \cdot 5 = 1150\,\text{W}\). (c) \(P_\text{ges} = U(I_1 + I_2 + I_3)\).
4. (a) \((x+2r)^2 = x^2 + 4rx + 4r^2\). (b) Randfläche \(= (x+2r)^2 - x^2 = 4rx + 4r^2 = 4r(x + r)\) — der letzte Schritt ist das Distributivgesetz rückwärts: aus \(4rx + 4r^2\) wird \(4r\) ausgeklammert. (c) \(4 \cdot 1{.}5 \cdot (12 + 1{.}5) = 6 \cdot 13{.}5 = 81\,\text{cm}^2\).
5. (a) Differenz: \(a^2 - b^2\); faktorisiert: \((a+b)(a-b)\). (b) Die 3. binomische Formel. (c) Differenz: \(2500 - 900 = 1600\,\text{cm}^2\); faktorisiert: \((50+30)(50-30) = 80 \cdot 20 = 1600\,\text{cm}^2\). Die faktorisierte Form ist im Kopf rechenbar.
6. (a) \(A(t)-B(t) = (100+5t^2)-(60+3t^2) = 40 + 2t^2\). (b) \(A(t)+B(t) = 160 + 8t^2 = 8(20 + t^2)\). (c) Für \(t=4\): Differenz \(=40 + 2\cdot 16 = 72\); Summe \(=8(20+16) = 8 \cdot 36 = 288\).