1.3 Grundoperationen mit algebraischen Termen
Algebraische Terme sind die Sprache der Mathematik. Wer sie sicher umformt — Klammern auflösen, gleichartige Glieder zusammenfassen, ausklammern, Bruchterme kürzen — kann jede Gleichung knacken und jede Formel umstellen. In diesem Kapitel erwirbst du die Werkzeuge, mit denen Terme nicht ihren Wert, aber ihre Form ändern.
- algebraische Terme unter Einhaltung der Regeln für die Grundoperationen umformen, ohne Polynomdivision auch ohne Hilfsmittel
- einfache algebraische Terme faktorisieren auch ohne Hilfsmittel
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann erklären, wann zwei Terme äquivalent sind, und Termumformen als Formänderung bei gleichem Wert verstehen.
- Ich kann gleichartige Glieder erkennen und zusammenfassen.
- Ich kann Klammern nach den vier Regeln auflösen — insbesondere Minusklammern mit kippenden Vorzeichen.
- Ich kann die drei binomischen Formeln anwenden und geometrisch begründen.
- Ich kann Terme faktorisieren: gemeinsamen Faktor ausklammern, binomische Formeln rückwärts, Zweiklammersatz.
- Ich kann Bruchterme kürzen, multiplizieren, dividieren, addieren und subtrahieren — und ihre Definitionsmenge bestimmen.
Einstieg — Drei Wege zur gleichen Zahl
Eine Werkstatt verkauft pro Monat \(x\) Werkstücke der Sorte A und \(y\) Werkstücke der Sorte B. Für jedes Werkstück A nimmt sie 80 Fr. ein, für jedes Werkstück B 50 Fr., wobei sich der Erlös von B intern in 30 Fr. Material und 20 Fr. Lohn aufteilt. Drei Mitarbeitende rechnen den Monatsumsatz auf je eigene Weise:
| Person | Rechnung | Form |
|---|---|---|
| Anna | \(80 \cdot x + 50 \cdot y\) | Summe — direkt nach Preisen |
| Bruno | \(10 \cdot (8x + 5y)\) | 10 Fr.-Einheiten ausgeklammert |
| Cinzia | \(80x + 30y + 20y\) | B aufgeteilt in Material + Lohn |
Alle drei Ausdrücke liefern für jedes Wertepaar \((x, y)\) denselben Zahlenwert. Sie sind algebraisch äquivalent. Der Trick beim Termumformen: die Form auswählen, die für das gerade anstehende Problem am bequemsten ist — kompakt zum Hinschreiben, faktorisiert zum Ausklammern, ausmultipliziert zum Sortieren.
Termumformen heisst: die Form verändern, ohne den Wert zu verändern. Genau dafür gibt es Klammergesetze, binomische Formeln und Faktorisier-Techniken.
In der Animation kannst du die Verkaufszahlen \(x\) (Sorte A) und \(y\) (Sorte B) ändern und siehst, dass die drei Terme von Anna, Bruno und Cinzia immer denselben Wert liefern — sie sind algebraisch äquivalent. Dario versucht, das auch zu zeigen. Sein Term sieht aus, als sei er bloss „anders ausgeklammert" — doch er liefert nicht denselben Wert. Eine plausibel aussehende Umformung ist nicht automatisch eine richtige.
Definitionen — Termarten
Schon in Kapitel 1.1 hast du den Begriff Term kennengelernt. Hier vertiefen wir die Klassifizierung — denn nicht jeder Term lässt sich gleich umformen.
| Termart | Definition | Beispiel |
|---|---|---|
| Monom | Produkt aus Zahl(en) und Potenzen von Variablen mit natürlichen Exponenten | \(7 x^2 y\) |
| Polynom | Summe von endlich vielen Monomen | \(3x^3 - 2x + 5\) |
| rationaler Term | Quotient zweier Polynome (Nenner \(\neq 0\)) | \(\dfrac{x + 1}{x^2 - 4}\) |
| Wurzelterm | Term, der Wurzeln enthält (siehe Kapitel 1.4) | \(\sqrt{x + 3}\) |
Ein Polynom mit nur einer Variablen heisst Polynom in einer Variablen. Polynome vom Grad 1 heissen linear, vom Grad 2 quadratisch, vom Grad 3 kubisch — diese Begriffe begegnen dir in den Kapiteln 2 und 3 wieder.
Die folgenden Begriffe sind das Vokabular, mit dem du jedes Polynom beschreiben kannst. Wähle ein Polynom, klick einen Begriff an, und sieh sofort, welche Teile des Terms gemeint sind:
✏️ Mini-Check — Äquivalenz
Zwei Terme sind äquivalent, wenn …
- sie gleich aussehen
- sie für jede Belegung der Variablen denselben Wert liefern
- sie gleich viele Glieder haben
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Termumformen heisst: die Form verändern, ohne den zu verändern.
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Sind \(4x + 3x\) und \(7x\) äquivalent? Mit welchem Gesetz?
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Eine Zahlenprobe mit \(x = 2\) stimmt. Beweist das die Äquivalenz zweier Terme?
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Gleichartige Glieder zusammenfassen
Zwei Glieder heissen gleichartig, wenn sie sich nur im Koeffizienten unterscheiden — derselbe Variablen-Anteil, dieselben Exponenten:
\[ 3x^2 \text{ und } -7x^2 \text{ sind gleichartig.} \qquad 3x^2 \text{ und } 3x \text{ nicht.} \]Gleichartige Glieder werden zusammengefasst, indem ihre Koeffizienten addiert werden — der Variablen-Anteil bleibt unverändert (Distributivgesetz, rückwärts gelesen):
\[ a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c \]Die Animation zeigt das in vier Schritten: aus einem unsortierten Polynom werden gleichartige Glieder gleich eingefärbt, sortiert und verrechnet. Probier es an verschiedenen Polynomen aus:
Klassische Beispiele in Tabellenform:
| Term | nach Sortieren | nach Zusammenfassen |
|---|---|---|
| \(5x + 3 - 2x + 7\) | \(5x - 2x + 3 + 7\) | \(3x + 10\) |
| \(4x^2 + 3x - x^2 + 2x - 5\) | \(4x^2 - x^2 + 3x + 2x - 5\) | \(3x^2 + 5x - 5\) |
| \(2ab - 5a^2b + 7ab + 2a^2b\) | \(2ab + 7ab - 5a^2b + 2a^2b\) | \(9ab - 3a^2b\) |
\(3x + 2x^2\) lässt sich nicht zu \(5x^3\) oder \(5x^2\) zusammenfassen. Die Variable hat unterschiedliche Exponenten — die Glieder bleiben separat stehen.
✏️ Mini-Check — Gleichartige Glieder
\(3x + 2x^2 = \;?\)
- \(5x^3\)
- \(5x^2\)
- lässt sich nicht zusammenfassen
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Gleichartige Glieder unterscheiden sich höchstens im .
Lösung anzeigen
Fasse zusammen: \(5a + 3b - 2a + b\).
Lösung anzeigen
Sind \(2xy\) und \(3yx\) gleichartig?
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Klammern auflösen ↩ 1.2
Vier Regeln decken alle Klammer-Operationen ab. Mit dem Knopf „Vorzeichen zeigen" siehst du die unsichtbaren Plus-Zeichen vor dem ersten Summanden — so wird klar, welches Vorzeichen beim Auflösen kippt und welches nicht:
Die letzte Regel — jeder mit jedem — folgt aus dem Distributivgesetz, zweimal angewendet:
\[ (a - b)(-c + d) \;=\; a(-c + d) - b(-c + d) \;=\; -ac + ad + bc - bd \]\(5 - (3x - 2) = 5 - 3x + 2 = 7 - 3x\). Beide Vorzeichen in der Klammer kippen — der Term \(-2\) wird zu \(+2\). Wer das Minus nur auf das erste Glied anwendet, erhält fälschlich \(5 - 3x - 2\). Wenn ein Minus vor der Klammer steht, denk an \((-1) \cdot (\ldots)\).
✏️ Mini-Check — Klammern auflösen
\(-(a - b) = \;?\)
- \(-a - b\)
- \(-a + b\)
- \(a - b\)
Lösung anzeigen
Beim Auflösen einer Minusklammer kippen alle in der Klammer.
Lösung anzeigen
Vereinfache: \(5 - (2x - 3)\).
Lösung anzeigen
Vereinfache: \(2 \cdot (3x - 4) - 3 \cdot (x - 2)\).
Lösungsweg anzeigen
Binomische Formeln ↗ 1.4
Die binomischen Formeln sind Spezialfälle der Regel Klammer mal Klammer. Sie tauchen so oft auf, dass man sie auswendig kennen sollte:
| Name | Formel | Merksatz |
|---|---|---|
| 1. binomische Formel | \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) | Quadrat plus doppeltes Produkt plus Quadrat |
| 2. binomische Formel | \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) | wie oben, mittlerer Term mit Minus |
| 3. binomische Formel | \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) | Differenz der Quadrate |
- \((x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\).
- \((2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25\).
- \((3a + 4)(3a - 4) = (3a)^2 - 4^2 = 9a^2 - 16\).
- Im Kopf: \(99^2 = (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801\).
Der mittlere Term \(2ab\) wird oft vergessen. Probe mit Zahlen: \((3 + 4)^2 = 49\), aber \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) — das ist nicht dasselbe! Der gesuchte mittlere Term ist \(2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\), und \(9 + 24 + 16 = 49\) ✓.
Mit der Animation kannst du die binomischen Formeln geometrisch sehen: jede Formel beschreibt die Fläche eines Quadrats, das aus Teilflächen zusammengesetzt ist. Wähle die Formel, stell a und b ein, und sieh, wie die Teilflächen ihre Werte bekommen:
Die binomischen Formeln gelten ebenso rückwärts — und genau das brauchen wir gleich beim Faktorisieren.
✏️ Mini-Check — Binomische Formeln
\((a + b)^2 = \;?\)
- \(a^2 + b^2\)
- \(a^2 + 2ab + b^2\)
- \(a^2 + ab + b^2\)
Lösung anzeigen
\((a + b)(a - b) = a^2 -\) .
Lösung anzeigen
Multipliziere aus: \((x + 3)^2\).
Lösung anzeigen
Berechne \(21^2\) im Kopf — mit einer binomischen Formel.
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Faktorisieren — den Term in Produkte zerlegen
Faktorisieren ist die Umkehrung von Ausmultiplizieren: aus einer Summe wird ein Produkt. Drei Standard-Techniken decken den Lehrplan ab (ohne Polynomdivision).
6.1 Gemeinsamer Faktor ausklammern ↩ 1.1
Suche den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) der Zahlen-Koeffizienten — über die Primfaktorzerlegung: jeden gemeinsamen Primfaktor mit dem kleinsten vorkommenden Exponenten — und bei Variablen den niedrigsten gemeinsamen Exponenten:
| Term | Gemeinsamer Faktor | Ergebnis |
|---|---|---|
| \(6x + 9\) | \(3\) | \(3(2x + 3)\) |
| \(4x^3 - 2x^2 + 6x\) | \(2x\) | \(2x(2x^2 - x + 3)\) |
| \(15a^2 b - 10 a b^2\) | \(5ab\) | \(5ab(3a - 2b)\) |
6.2 Binomische Formeln rückwärts
Erkennt man im Term das Muster Quadrat ± doppeltes Produkt ± Quadrat oder Differenz zweier Quadrate, lässt sich der Term direkt als Produkt schreiben:
| Erkanntes Muster | Faktorisierte Form |
|---|---|
| \(x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2\) | \((x + 5)^2\) |
| \(4y^2 - 12y + 9 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 3 + 3^2\) | \((2y - 3)^2\) |
| \(x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2\) | \((x + 3)^2\) |
| \(x^2 - 49 = x^2 - 7^2\) | \((x + 7)(x - 7)\) |
| \(9a^2 - 16b^2 = (3a)^2 - (4b)^2\) | \((3a + 4b)(3a - 4b)\) |
6.3 Zweiklammersatz (Satz von Vieta rückwärts)
Ein Polynom der Form \(x^2 + px + q\) — drei Glieder, das mittlere kein doppeltes Produkt — lässt sich oft als Produkt zweier einfacher Klammern schreiben:
\[ x^2 + p\,x + q \;=\; (x + r)(x + s), \quad \text{wobei } r + s = p \;\text{ und }\; r \cdot s = q. \]Du suchst also zwei Zahlen \(r\) und \(s\), die zusammen den mittleren Koeffizienten und multipliziert das konstante Glied ergeben. Das funktioniert besonders schnell, wenn \(q\) nur wenige Teilerpaare hat.
- \(x^2 + 5x + 6\): Welche zwei Zahlen multipliziert geben 6 und addiert 5? \(\;2\) und \(3\). Also \(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\).
- \(x^2 - 7x + 12\): zwei Zahlen mit Produkt \(+12\) und Summe \(-7\). Beide negativ: \(-3\) und \(-4\). Also \((x - 3)(x - 4)\).
- \(x^2 + 2x - 15\): Produkt \(-15\), Summe \(+2\). Eine positiv, eine negativ: \(+5\) und \(-3\). Also \((x + 5)(x - 3)\).
- \(q > 0\): \(r\) und \(s\) haben das gleiche Vorzeichen (beide positiv oder beide negativ), das ergibt sich aus dem Vorzeichen von \(p\).
- \(q < 0\): \(r\) und \(s\) haben verschiedene Vorzeichen, die grössere absolute Zahl trägt das Vorzeichen von \(p\).
6.4 Gruppieren — Summe von vier Gliedern als Produkt
Bei einem Polynom mit vier Gliedern, das keinen gemeinsamen Faktor über alles hat, gruppiert man je zwei Glieder, klammert dort getrennt aus und hofft, dass eine gemeinsame Klammer entsteht — die dann nochmals ausgeklammert wird:
\[ \underbrace{ax + ay}_{a(x+y)} + \underbrace{bx + by}_{b(x+y)} \;=\; a(x+y) + b(x+y) \;=\; (x+y)(a+b). \]Trick: Sucht man einen Faktor pro Paar, der so gewählt ist, dass in beiden Restklammern dieselbe Klammer steht. Wenn die zweite Klammer beim ersten Versuch nicht passt, hilft oft eine andere Paarung der vier Glieder.
6.5 Kombinieren — erst ausklammern, dann binomisch
Bei vielen Termen muss man mehrere Techniken nacheinander anwenden — und zwar in einer festen Reihenfolge: zuerst immer der gemeinsame Faktor, danach erst Binom oder Zweiklammersatz.
Erst den gemeinsamen Faktor \(2x\) ausklammern, dann die dritte binomische Formel rückwärts anwenden.
Übung — schnell und richtig faktorisieren
ggT der Koeffizienten ist \(4\), beide Glieder enthalten \(x\): \(12x^2 - 8x = 4x(3x - 2)\).
Differenz zweier Quadrate, denn \(81 = 9^2\) — dritte binomische Formel rückwärts: \(x^2 - 81 = (x + 9)(x - 9)\).
\(x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2\) — erste binomische Formel rückwärts: \((x + 3)^2\).
Gesucht: \(r + s = 7\) und \(r \cdot s = 12\) → \(r = 3\), \(s = 4\). Also \(x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)\).
Gesucht: \(r + s = -1\) und \(r \cdot s = -6\) → \(r = 2\), \(s = -3\). Also \(x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)\).
Paarweise gruppieren und je Paar ausklammern: \(ax + ay + 2x + 2y = a(x + y) + 2(x + y) = (a + 2)(x + y)\).
Erst \(3\) ausklammern, dann dritte binomische Formel rückwärts: \(3a^2 - 27 = 3(a^2 - 9) = 3(a + 3)(a - 3)\).
Schreib die Antwort so, wie du sie auch von Hand notieren würdest — Leerzeichen und die
Reihenfolge der Faktoren und der Summanden in einer Klammer sind egal. Beispiele für gültige Eingaben: 4x(3x - 2),
(x+9)(x-9), (x+3)^2.
- Gibt es einen gemeinsamen Faktor? Erst ausklammern (Abschnitt 6.1).
- Hat der Rest zwei Glieder? Auf Differenz von Quadraten prüfen (Abschnitt 6.2).
- Hat der Rest drei Glieder? Erst auf binomische Formel prüfen (\(a^2 \pm 2ab + b^2\), Abschnitt 6.2), wenn das nicht passt: Zweiklammersatz (Abschnitt 6.3).
- Hat der Rest vier Glieder? Paarweise gruppieren und ggT je Paar ausklammern (Abschnitt 6.4) — gemeinsame Klammer suchen.
- Sonst: stehen lassen oder weiter im Kapitel Quadratische Gleichungen mit der \(p,q\)-Formel angehen.
✏️ Mini-Check — Faktorisieren
\(x^2 - 9\) faktorisiert?
- \((x - 3)^2\)
- \((x + 3)(x - 3)\)
- nicht faktorisierbar
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Faktorisieren ist die Umkehrung von .
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Klammere aus: \(6x^2 + 9x\).
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Faktorisiere \(x^2 + 7x + 12\) mit dem Zweiklammersatz.
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Bruchterme — Terme mit Variablen im Nenner ↩ 1.2
Steht ein Term im Nenner eines Bruchs, heisst das Ganze Bruchterm. Gerechnet wird genau wie mit Zahlenbrüchen — kürzen, erweitern, gleichnamig machen, Kehrwert. Neu ist nur: Zähler und Nenner sind Terme, und deshalb geht jeder Rechnung ein Schritt voraus, den es beim Zahlenbruch nicht braucht — das Faktorisieren aus Abschnitt 6.
Ein Bruchterm ist ein Quotient zweier Terme: \(\dfrac{Z(x)}{N(x)}\), wobei im Nenner \(N(x)\) mindestens eine Variable vorkommt.
Weil die Division durch \(0\) nicht definiert ist, muss der Nenner ausgeschlossen werden, wo er \(0\) wird. Die Menge der erlaubten Werte heisst Definitionsmenge \(D\):
\[ N(x) \neq 0. \]Beispiel: \(\dfrac{x + 2}{x - 3}\) ist für \(x = 3\) nicht definiert, also \(D = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).
7.1 Definitionsmenge bestimmen — Nenner faktorisieren
Der Nenner wird faktorisiert; dann liest man die verbotenen Werte direkt ab, denn ein Produkt ist genau dann \(0\), wenn einer seiner Faktoren \(0\) ist.
| Bruchterm | Nenner faktorisiert | Definitionsmenge |
|---|---|---|
| \(\dfrac{5}{2x}\) | \(2 \cdot x\) | \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) |
| \(\dfrac{x + 2}{x^2 - 9}\) | \((x + 3)(x - 3)\) | \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3;\, 3\}\) |
| \(\dfrac{4}{x^2 + 4x + 4}\) | \((x + 2)^2\) | \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\) |
| \(\dfrac{1}{x^2 - x}\) | \(x(x - 1)\) | \(D = \mathbb{R} \setminus \{0;\, 1\}\) |
Die Definitionsmenge wird immer am ursprünglichen Term abgelesen, bevor gekürzt wird. \(\dfrac{x(x-1)}{x} = x - 1\) sieht nach dem Kürzen harmlos aus — der Ausgangsterm ist für \(x = 0\) aber nicht definiert. Also bleibt \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).
7.2 Kürzen — die Grundoperation
Kürzen heisst: Zähler und Nenner durch denselben Faktor dividieren. Genau deshalb muss vorher faktorisiert werden — gekürzt werden dürfen nur Faktoren, niemals Summanden.
- Zähler und Nenner faktorisieren (Abschnitt 6).
- Definitionsmenge aus dem faktorisierten Nenner ablesen.
- Gemeinsame Faktoren streichen.
Falsch: \(\dfrac{x^2 + 2x}{x} = x^2 + 2\). Hier wurde ein \(x\) aus einem Summanden gestrichen — das ändert den Wert des Terms.
Richtig: erst faktorisieren, dann kürzen: \(\;\dfrac{x^2 + 2x}{x} = \dfrac{x(x + 2)}{x} = x + 2\), \(\;D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).
Merksatz: „Aus Summen kürzen nur die Dummen." Erst wenn Zähler und Nenner reine Produkte sind, darf gestrichen werden.
7.3 Punktoperationen — multiplizieren und dividieren
Die Punktoperationen sind die einfacheren: kein Hauptnenner nötig.
| Operation | Regel |
|---|---|
| Multiplizieren | Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: \(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}\) |
| Dividieren | mit dem Kehrwert multiplizieren: \(\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}\) |
- Bei \(:\) zuerst in eine Multiplikation mit dem Kehrwert umschreiben.
- Alle Zähler und Nenner faktorisieren.
- Punktoperation ausführen — alle Faktoren nebeneinanderschreiben, nicht ausmultiplizieren.
- Kürzen.
Schritt 3 vor Schritt 4: das Ausmultiplizieren würde die Faktoren gerade wieder zerstören, die man zum Kürzen braucht.
\(D = \mathbb{R} \setminus \{-2;\, 0\}\) — abgelesen an den ursprünglichen Nennern \(3x\) und \(x + 2\).
\(D = \mathbb{R} \setminus \{-1;\, 0;\, 3\}\): ausgeschlossen sind die Nullstellen beider Nenner und die des Zählers \(x - 3\), durch den dividiert wird.
Ein Doppelbruch ist nichts anderes als eine Division: der Hauptbruchstrich trennt Dividend und Divisor, also \(\;\dfrac{\;\tfrac{a}{b}\;}{\tfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}\).
7.4 Strichoperationen — addieren und subtrahieren
Addieren und subtrahieren lassen sich nur gleichnamige Brüche, also solche mit demselben Nenner. Ungleichnamige Brüche werden vorher durch Erweitern gleichnamig gemacht — Zähler und Nenner mit demselben Term multiplizieren ändert den Wert nicht.
Der gemeinsame Nenner (Hauptnenner) ist das kgV der faktorisierten Nenner: jeder vorkommende Faktor, jeweils mit dem höchsten Exponenten. Beispiel: zu \(x(x-1)\) und \((x-1)^2\) gehört der Hauptnenner \(x(x-1)^2\).
- Alle Nenner faktorisieren, Definitionsmenge notieren.
- Hauptnenner bestimmen und jeden Bruch durch Erweitern gleichnamig machen.
- Zähler addieren bzw. subtrahieren, Nenner bleibt stehen; Zähler zusammenfassen.
- Zähler faktorisieren.
- Kürzen.
Bei einer Subtraktion wird der ganze Zähler des zweiten Bruchs abgezogen — also in Klammern setzen und die Minusklammer nach der Regel aus Abschnitt 4 auflösen.
\(5x + 2\) hat mit \((x-2)\) und \((x+2)\) keinen Faktor gemeinsam — es lässt sich nichts kürzen, der Term ist fertig. \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2;\, 2\}\).
\(D = \mathbb{R} \setminus \{-2;\, 2\}\) — auch \(x = -2\) bleibt ausgeschlossen, obwohl das Endergebnis \(\tfrac{1}{x-2}\) dort einen Wert hätte.
Vor jeder Rechnung: faktorisieren — und die Definitionsmenge am ursprünglichen Term ablesen.
- Punkt (\(\cdot\), \(:\)): Kehrwert bei der Division → faktorisieren → Punktoperation → kürzen.
- Strich (\(+\), \(-\)): faktorisieren → durch Erweitern gleichnamig machen → Zähler addieren/subtrahieren → faktorisieren → kürzen.
Beide Ketten enden beim Kürzen — und keine von beiden multipliziert die Nenner je aus. Das Ergebnis bleibt in Faktoren stehen.
Übung — Bruchterme vereinfachen
Brüche als (Zähler)/(Nenner) eintippen, so weit gekürzt wie möglich — Leerzeichen
und Reihenfolge der Faktoren sind egal. Beispiele für gültige Eingaben:
(x-4)/(x+4), 2/(x-3), 3(x-1).
✏️ Mini-Check — Bruchterme
Welche Definitionsmenge hat \(\dfrac{x + 1}{x^2 - 4}\)?
- \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\)
- \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
- \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2;\, 2\}\)
Lösung anzeigen
Gekürzt werden dürfen nur , niemals Summanden.
Lösung anzeigen
Vereinfache \(\dfrac{x^2 - 25}{x + 5}\) und gib \(D\) an.
Lösung anzeigen
Warum wird beim Addieren zweier Bruchterme erst erweitert und erst am Schluss gekürzt?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Vereinfache:
- \(\;7x - 3 + 2x + 8\)
- \(\;5a^2 - 3a + 2 - a^2 + 7a - 5\)
- \(\;4xy - 2x^2 y + 3xy + x^2 y\)
- \(7x + 2x - 3 + 8 = 9x + 5\).
- \(5a^2 - a^2 - 3a + 7a + 2 - 5 = 4a^2 + 4a - 3\).
- \(4xy + 3xy - 2x^2 y + x^2 y = 7xy - x^2 y\).
- \(\;3(2x - 5) + 4(x + 2)\)
- \(\;-(3a - 2b) - 2(a - b)\)
- \(\;5 - 2[3 - (x - 4)]\)
- \(6x - 15 + 4x + 8 = 10x - 7\).
- \(-3a + 2b - 2a + 2b = -5a + 4b\).
- Innere Klammer zuerst: \(3 - (x - 4) = 3 - x + 4 = 7 - x\). Dann \(5 - 2(7 - x) = 5 - 14 + 2x = -9 + 2x\).
- \(\;(x + 3)(x - 5)\)
- \(\;(2a - 1)(a + 4)\)
- \(\;(x + y)(x - y) - (x - y)^2\)
- \(x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15\).
- \(2a^2 + 8a - a - 4 = 2a^2 + 7a - 4\).
- Erst beide Teile: \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) und \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\). Differenz: \((x^2 - y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = -2y^2 + 2xy = 2y(x - y)\).
Alternativ — schneller über den gemeinsamen Faktor \((x-y)\): \((x+y)(x-y) - (x-y)^2 = (x-y)\cdot\bigl((x+y) - (x-y)\bigr) = (x-y) \cdot 2y = 2y(x-y)\).
Ohne ausführliches Ausmultiplizieren — direkt mit der binomischen Formel:
- \(\;(x - 6)^2\)
- \(\;(3a + 2b)^2\)
- \(\;(5x + 7)(5x - 7)\)
- \(\;102^2\) im Kopf
- \(x^2 - 12x + 36\).
- \(9a^2 + 12ab + 4b^2\).
- \(25x^2 - 49\).
- \(102^2 = (100 + 2)^2 = 10\,000 + 400 + 4 = 10\,404\).
- \(\;6x^2 - 9x\)
- \(\;x^2 - 25\)
- \(\;x^2 - 14x + 49\)
- \(\;5x^3 - 20x\)
- \(\;a^4 - 16\) (zweimal anwenden!)
- \(\;x^2 + 8x + 15\) (Zweiklammersatz)
- \(\;x^2 - 2x - 24\) (Zweiklammersatz)
- \(\;2x^2 - 10x + 12\) (erst ausklammern, dann Zweiklammersatz)
- \(\;3ax + 3ay + 4bx + 4by\) (gruppieren)
- \(\;x^3 - x^2 + 3x - 3\) (gruppieren)
- \(3x(2x - 3)\).
- Differenz von Quadraten: \((x + 5)(x - 5)\).
- Zweite binomische Formel: \((x - 7)^2\).
- Erst \(5x\) ausklammern: \(5x(x^2 - 4) = 5x(x + 2)(x - 2)\).
- \(a^4 - 16 = (a^2)^2 - 4^2 = (a^2 + 4)(a^2 - 4) = (a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)\). Hinweis: \(a^2 + 4\) lässt sich in \(\mathbb{R}\) nicht weiter zerlegen.
- Produkt \(+15\), Summe \(+8\) → \(+3\) und \(+5\). Also \((x + 3)(x + 5)\).
- Produkt \(-24\), Summe \(-2\) → verschiedene Vorzeichen, das grössere mit Minus: \(-6\) und \(+4\). Also \((x - 6)(x + 4)\).
- Erst \(2\) ausklammern: \(2(x^2 - 5x + 6)\). Dann Zweiklammersatz: \(-2\) und \(-3\). Ergebnis: \(2(x - 2)(x - 3)\).
- Paarweise gruppieren: \(3a(x + y) + 4b(x + y) = (x + y)(3a + 4b)\).
- Paarweise gruppieren: \(x^2(x - 1) + 3(x - 1) = (x - 1)(x^2 + 3)\).
Aus einem grossen Holzbrett wird in einer Schreinerei ein rechteckiges Werkstück mit Länge \((x + 4)\) m und Breite \((x - 1)\) m zugeschnitten, ausserdem ein quadratisches Verschnittstück mit Seitenlänge \(x\) m für ein anderes Projekt.
- Drücke die Restfläche (Werkstück minus Verschnitt) als Term in \(x\) aus und vereinfache so weit wie möglich. Lässt sich das Resultat faktorisieren?
- Wie gross ist die Restfläche für \(x = 5\) m?
- Werkstückfläche: \((x + 4)(x - 1) = x^2 + 3x - 4\). Verschnittfläche: \(x^2\). Restfläche: \(x^2 + 3x - 4 - x^2 = 3x - 4\). Faktorisieren? Nein — der lineare Term \(3x - 4\) hat keinen gemeinsamen Faktor und ist nicht weiter zerlegbar; einfacher geht es nicht.
- \(3 \cdot 5 - 4 = 11\) m².
Vereinfache so weit wie möglich und gib jeweils die Definitionsmenge an.
- \(\;\dfrac{5x^2 - 20}{x^2 - 4x + 4}\)
- \(\;\dfrac{x^2 + 2x}{x^2 - 9} \cdot \dfrac{x - 3}{x}\)
- \(\;\dfrac{x^2 - 25}{4x} : \dfrac{x + 5}{2x^2}\)
- \(\;\dfrac{3}{x + 1} - \dfrac{3}{x - 1}\)
- \(\;\dfrac{2x}{x^2 - 4} - \dfrac{1}{x - 2}\)
- \(\dfrac{5(x + 2)(x - 2)}{(x - 2)^2} = \dfrac{5(x + 2)}{x - 2}\), \(\;D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
- \(\dfrac{x(x + 2)}{(x + 3)(x - 3)} \cdot \dfrac{x - 3}{x} = \dfrac{x + 2}{x + 3}\), \(\;D = \mathbb{R} \setminus \{-3;\, 0;\, 3\}\).
- Kehrwert: \(\dfrac{(x + 5)(x - 5)}{4x} \cdot \dfrac{2x^2}{x + 5} = \dfrac{x(x - 5)}{2}\), \(\;D = \mathbb{R} \setminus \{-5;\, 0\}\).
- Hauptnenner \((x + 1)(x - 1)\): \(\dfrac{3(x - 1) - 3(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \dfrac{3x - 3 - 3x - 3}{x^2 - 1} = \dfrac{-6}{x^2 - 1}\), \(\;D = \mathbb{R} \setminus \{-1;\, 1\}\). Der Zähler \(-6\) hat keinen Faktor mit dem Nenner gemeinsam — nichts zu kürzen.
- Hauptnenner \((x + 2)(x - 2)\): \(\dfrac{2x - (x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \dfrac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)} = \dfrac{1}{x + 2}\), \(\;D = \mathbb{R} \setminus \{-2;\, 2\}\).
Auf einer Verpackung steht: „Mit unserer neuen Formel \((a + b)^2 = a^2 + b^2\) sparst du Zeit beim Rechnen!" Ein anderer Slogan bei einer Konkurrenzmarke: „Wir wissen: \(2 \cdot (x + y) = 2x + 2y\) — das ist Mathematik, der man trauen kann." Auf einer Bauwerkstattbroschüre wirbt jemand: „Diagonale aus zwei Schenkeln? Wir nehmen einfach \(\sqrt{a^2 + b^2} = a + b\) und sparen den Wurzeltaster!" Und in einem Mathematik-Comic prahlt eine Figur: „Quadrieren? Kubieren? Beides geht gleich: \((a + b)^3 = a^3 + b^3\)!"
- Welche der vier Slogans sind algebraisch korrekt, welche falsch?
- Gib bei jedem falschen Slogan eine Wertekombination an, mit der man ihn widerlegen kann.
- Wie könnten die falschen Slogans algebraisch korrekt formuliert werden, ohne ihre „Einfachheit" zu verlieren?
- Nur der zweite Slogan ist korrekt (Distributivgesetz). Die anderen drei sind falsch — alle gehören zur gleichen Fehlerfamilie: man darf eine Operation (Potenz, Wurzel) nicht einfach auf jedes Glied einer Summe einzeln anwenden.
- Gegenbeispiele jeweils mit \(a = 1, b = 2\) (bzw. \(x = 1, y = 2\)):
- Slogan 1: \((1 + 2)^2 = 9\), aber \(1^2 + 2^2 = 5\) — also \(9 \neq 5\).
- Slogan 3: \(\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2.24\), aber \(1 + 2 = 3\) — also \(\sqrt{5} \neq 3\).
- Slogan 4: \((1 + 2)^3 = 27\), aber \(1^3 + 2^3 = 9\) — also \(27 \neq 9\).
- Korrekte Formen:
- Slogan 1: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) (1. binomische Formel).
- Slogan 3: Die Wurzel aus einer Summe lässt sich nicht weiter vereinfachen — man muss erst die Summe ausrechnen, dann die Wurzel ziehen.
- Slogan 4: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3\) (Erweiterung der binomischen Formeln auf die dritte Potenz).
Der „Spar-Effekt" der falschen Slogans liegt im Weglassen der gemischten Glieder — und damit verschwindet die Korrektheit.
Zusammenfassung
- Gleichartige Glieder haben denselben Variablen-Anteil — nur sie können zusammengefasst werden.
- Klammern auflösen: \(+\) lässt unverändert, \(-\) kippt alle Vorzeichen, Faktor multipliziert jedes Glied, Klammer mal Klammer macht jeder mit jedem.
- Drei binomische Formeln: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) — auswendig.
- Faktorisieren in zwei Schritten: erst gemeinsamen Faktor ausklammern, dann auf binomische Formeln prüfen.
- Bruchterme: immer zuerst faktorisieren — dann bei Punktoperationen (\(\cdot\), \(:\)) Kehrwert, Punktoperation, kürzen; bei Strichoperationen (\(+\), \(-\)) gleichnamig erweitern, Zähler zusammenfassen, faktorisieren, kürzen. Gekürzt werden nur Faktoren, und die Definitionsmenge liest man am ursprünglichen Nenner ab.
| Operation | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Zusammenfassen | nur gleichartige Glieder addieren | \(3x + 5x = 8x\) |
| \(+\)-Klammer auflösen | Vorzeichen unverändert | \(a + (b - c) = a + b - c\) |
| \(-\)-Klammer auflösen | alle Vorzeichen kippen | \(a - (b - c) = a - b + c\) |
| Distributivgesetz | Faktor mal jedes Glied | \(3(x + 2) = 3x + 6\) |
| Klammer mal Klammer | jeder mit jedem | \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) |
| 1. binomische Formel | \((a+b)^2\) | \(a^2 + 2ab + b^2\) |
| 2. binomische Formel | \((a-b)^2\) | \(a^2 - 2ab + b^2\) |
| 3. binomische Formel | \((a+b)(a-b)\) | \(a^2 - b^2\) |
| Ausklammern | gemeinsamen Faktor heraus | \(6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)\) |
| Bruchterm kürzen | nur gemeinsame Faktoren | \(\dfrac{x(x+2)}{x} = x + 2\) |
| Bruchterme mal / geteilt | Kehrwert bei \(:\), dann Zähler mal Zähler | \(\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\,d}{b\,c}\) |
| Bruchterme plus / minus | gleichnamig erweitern, Zähler addieren | \(\dfrac{4}{x^2-4} + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{1}{x-2}\) |
| Definitionsmenge | Nenner \(\neq 0\), am Ausgangsterm | zu \(\dfrac{1}{x^2-9}\) gehört \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3;\, 3\}\) |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Äquivalente Terme: ein Gegenbeispiel genügt
- 0:00Anna, Bruno und Cinzia rechnen den Umsatz auf drei Arten, Dario auf eine vierte. Wann sind zwei Terme wirklich äquivalent?
- 0:09Für x gleich fünf und y gleich drei liefern Anna, Bruno und Cinzia je fünfhundertfünfzig. Darios Term ergibt tausendvierzig.
- 0:19Mit x gleich zwölf und y gleich sieben sind die drei wieder gleich: tausenddreihundertzehn. Bruno hat nur ausgeklammert, Cinzia nur aufgeteilt.
- 0:28Darios Klammer erzeugt die gemischten Glieder achtzig y und fünfzig x zu viel. Nur bei x gleich y gleich null sind sie null, dann stimmt Dario zufällig.
- 0:40Merke: Äquivalente Terme haben für jede Belegung denselben Wert. Dass ein Term einmal zufällig passt, genügt nicht. Ein einziges abweichendes Paar widerlegt die Äquivalenz.
Polynom-Begriffe: Grad eines Glieds, Grad des Polynoms
- 0:00Die Animation hebt Begriffe am Polynom hervor. Zwei davon klingen fast gleich: der Grad eines Glieds und der Grad des Polynoms.
- 0:09Grad eines Glieds hebt bei jedem Glied den Exponenten hervor: drei, eins und null. Jedes Glied hat seinen eigenen Grad.
- 0:17Grad des Polynoms hebt nur einen Exponenten hervor, den grössten. Das Polynom hat den Grad drei.
- 0:27Das konstante Glied ist die Fünf. Sie sieht variablenfrei aus, ist aber fünf mal x hoch null, denn x hoch null ist eins. Darum hat sie den Grad null.
- 0:37Merke: Der Grad eines Glieds gehört zu einem einzelnen Glied. Der Grad des Polynoms ist der grösste dieser Grade. Das konstante Glied hat den Grad null.
Zusammenfassen: nur gleiche Farben
- 0:00Die Animation fasst ein Polynom in drei Schritten zusammen. Die Frage ist: Welche Glieder gehören zusammen?
- 0:09Zuerst bekommen gleichartige Glieder dieselbe Farbe. x Quadrat ist blau, x ist orange, die Konstante grün.
- 0:19Dann werden die gleichfarbigen Glieder nebeneinander sortiert. Jedes Glied nimmt sein Vorzeichen mit.
- 0:28Zum Schluss werden in jeder Farbe die Koeffizienten verrechnet: vier minus eins gibt drei x Quadrat, drei plus zwei gibt fünf x.
- 0:38Merke: Gleichartig sind Glieder mit genau demselben Variablenteil. x und x Quadrat gehören nicht zusammen. Zusammengefasst werden nur die Koeffizienten.
Binome im Quadrat: warum 2ab dazugehört
- 0:00Die Animation zeigt die erste binomische Formel als Fläche eines Quadrats. Wo steckt darin das doppelte Produkt?
- 0:09Das Quadrat mit der Seite a plus b zerfällt in vier Teile: a Quadrat, b Quadrat und zwei Rechtecke a mal b. Fünfundzwanzig plus zehn plus zehn plus vier gibt neunundvierzig.
- 0:21Mit b gleich drei wachsen beide Rechtecke gleich mit: je fünfzehn. Es sind immer zwei gleiche Rechtecke, zusammen zwei a b.
- 0:31Mit a gleich vier und b gleich drei ist das Quadrat neunundvierzig. a Quadrat plus b Quadrat gibt nur fünfundzwanzig. Es fehlen die zwei Rechtecke, zusammen vierundzwanzig.
- 0:42Merke: Das Quadrat über a plus b besteht aus a Quadrat, b Quadrat und zwei Rechtecken a mal b. Darum gehört der Mittelterm zwei a b immer dazu.
Teilerpaare: eine endliche Suche
- 0:00Beim Zweiklammersatz sucht man zwei Zahlen r und s: Ihr Produkt ist q, ihre Summe ist p. Die Animation listet alle Kandidaten auf.
- 0:09Für q gleich sechs gibt es nur vier Teilerpaare, und in jedem haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen. Zwei und drei haben die Summe fünf.
- 0:19Ist q negativ, hier minus fünfzehn, haben die beiden Zahlen verschiedene Vorzeichen. Minus drei und fünf haben die Summe zwei.
- 0:28Mit p gleich sechs passt keines der vier Paare. Die Diskriminante p Quadrat minus vier q ist zwölf, und zwölf ist keine Quadratzahl.
- 0:38Merke: Es gibt nur so viele Kandidaten, wie q Teilerpaare hat. Passt keine Summe zu p, ist der Term über den ganzen Zahlen nicht zerlegbar. Die Kontrolle: p Quadrat minus vier q muss eine Quadratzahl sein.
Binome: geschickt ausmultiplizieren — und zurück
- 0:00Drei Formeln, die man in beide Richtungen lesen kann.
- 0:09Plus im Quadrat, minus im Quadrat, und plus mal minus.
- 0:19Hin: a ist zwei x, b ist drei. Einsetzen statt ausmultiplizieren.
- 0:27Zurück gelesen ist dieselbe Formel ein Faktorisierwerkzeug.
- 0:35Ein Quadrat minus ein Quadrat lässt sich immer zerlegen. Eine Summe von Quadraten nicht.
Bruchterme: kürzen heisst Faktoren streichen
- 0:00Kürzen. Der häufigste Fehler der ganzen Algebra steckt hier drin.
- 0:09Der falsche Griff: die Zwei unten gegen die Zwei im ersten Summanden.
- 0:21Schritt eins: oben ausklammern, bis dort ein Produkt steht.
- 0:30Schritt zwei: der Faktor zwei steht oben und unten. Weg damit.
- 0:38Schritt drei: eine Zahl einsetzen. Das kostet zehn Sekunden.
- 0:46Dasselbe mit Variablen: erst faktorisieren, dann kürzen, und die Bedingung dazuschreiben.
- 0:55Gekürzt wird nur, was als Faktor dasteht. Ein Summand wird nie gestrichen.
Bruchterme: Strich- und Punktrechnung
- 0:00Dieselben zwei Bruchterme, einmal mal und einmal plus.
- 0:09Mal: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner — und dann kürzt sich das x weg.
- 0:17Plus: erst auf den Hauptnenner zwei x bringen. Vorher lässt sich nichts kürzen.
- 0:25Kürzen geht nur über Faktoren. Darum ist mal einfach und plus nicht.
Faktorisieren: die Reihenfolge
- 0:00Faktorisieren ist kein Raten. Es gibt eine Reihenfolge.
- 0:09Zuerst immer der grösste gemeinsame Teiler. Er macht alles Weitere kleiner.
- 0:17Dann prüfen: sind es zwei Quadrate mit Minus dazwischen?
- 0:25Bei drei Gliedern mit x Quadrat vorn: der Zweiklammersatz.
- 0:33Bei vier Summanden: paarweise ausklammern, bis in beiden Paaren dieselbe Klammer steht.
- 0:42In dieser Reihenfolge durchgehen. Der ggT immer zuerst.
Faktorisieren: der Zweiklammersatz
- 0:00Drei Glieder, und vor dem x Quadrat steht eine Eins. Nur dann geht es so einfach. Gesucht sind zwei Zahlen.
- 0:09Multipliziert man die Klammern aus, sieht man es: die Summe steht in der Mitte, das Produkt hinten.
- 0:17Die Teiler von sechs durchgehen: eins mal sechs, zwei mal drei. Welches Paar gibt fünf?
- 0:25Ist das Produkt negativ, haben die beiden Zahlen verschiedene Vorzeichen.
- 0:35Das Vorzeichen des Produkts sagt, ob die Zahlen gleich oder verschieden gerichtet sind.
Klammern: verschachtelt, mit Minus davor
- 0:00Zwei Klammern ineinander, und vor beiden ein Minus.
- 0:09Schritt eins: die innerste Klammer. Das Minus davor kehrt jedes Vorzeichen darin um.
- 0:19Schritt zwei: in der eckigen Klammer zusammenfassen.
- 0:27Schritt drei: die äussere Klammer, wieder mit Vorzeichenwechsel.
- 0:35Eine Zahl einsetzen, in beide Formen. Zehn Sekunden gegen einen Vorzeichenfehler.
- 0:42Von innen nach aussen, und ein Minus vor der Klammer trifft jedes Glied darin.
Zahlenbrüche: ggT, kgV und die Primfaktoren auf Tastendruck
- 0:00Der Rechner kürzt einen Zahlenbruch von selbst — vierundachtzig Hundertsechsundzwanzigstel gibt er als zwei Drittel aus. Trotzdem lohnt sich ein Blick ins MATH-Menü: Dort stehen die Zahlen, die beim Kürzen unter dem Strich verschwinden.
- 0:13Die math-Taste öffnet vier Menüs; im ersten steht gcd, der grösste gemeinsame Teiler. Gcd von vierundachtzig und hundertsechsundzwanzig ist zweiundvierzig — das ist die Zahl, um die gekürzt wird. Vierundachtzig durch zweiundvierzig ist zwei, hundertsechsundzwanzig durch zweiundvierzig ist drei.
- 0:31Daneben steht lcm, das kleinste gemeinsame Vielfache — der Hauptnenner. Für ein Zwölftel plus ein Achtzehntel ist er sechsunddreissig. Also drei Sechsunddreissigstel plus zwei Sechsunddreissigstel, zusammen fünf Sechsunddreissigstel.
- 0:46Und wer wissen will, warum ggT und kgV gerade so herauskommen: Pfactor zerlegt eine Zahl in ihre Primfaktoren. Hundertfünfundsechzig ist drei mal fünf mal elf. Aus den Primfaktoren liest man beides ab — der ggT nimmt die gemeinsamen, das kgV alle.
- 1:02Ein Menü weiter rechts liegt NUM. Dort stehen der Betrag und der Rest der Division: abs von minus fünf ist fünf, mod von siebzehn und zwölf ist fünf. Dazu round, iPart und fPart — Runden, Ganzzahlanteil und Bruchanteil.
- 1:18Wozu das Ganze, wenn der Rechner Brüche ohnehin kürzt? Weil er es nur mit Zahlen kann. Sobald im Bruch ein Buchstabe steht, hilft keine Taste mehr — dann brauchst du den ggT der Zahlen und die gemeinsamen Faktoren der Terme, und das im Kopf.
- 1:31gcd kürzt, lcm bringt auf den Hauptnenner, Pfactor erklärt beides.
Potenzen: warum Malnehmen leicht ist und Addieren nicht
- 0:00Zwei Terme, die fast gleich aussehen. Der eine lässt sich zu einem einzigen Symbol zusammenziehen, der andere überhaupt nicht. Der Unterschied ist ein einziges Zeichen.
- 0:10Erste Stufe, reine Punktrechnung. Drei Faktoren mal fünf Faktoren sind acht. Und fünf Mal je drei Faktoren sind fünfzehn. Zwei Gesetze, zwei fertige Ergebnisse.
- 0:21Zweite Stufe, mehr Faktoren und eine Klammer. Zwei x hoch drei y, das Ganze zum Quadrat: Der Exponent verteilt sich auf jeden Faktor, auch auf die Zwei. Vier x hoch sechs y Quadrat, mal drei x — zwölf x hoch sieben y Quadrat.
- 0:37Dritte Stufe, jetzt noch ein Bruch dazu. Oben vier x hoch sechs mal x hoch vier, das gibt vier x hoch zehn. Geteilt durch vier x hoch fünf bleibt x hoch fünf. Egal wie lang der Term ist — solange nur Punktoperationen darin vorkommen, bleibt am Schluss ein einziger Term stehen.
- 0:55Und jetzt dasselbe mit einem Plus. x hoch drei plus x hoch fünf — hier hört es auf. Es gibt kein Gesetz für Summen. Wer trotzdem x hoch acht schreibt, kann es an Zahlen prüfen: Für x gleich zwei sind es acht plus zweiunddreissig, also vierzig. Zwei hoch acht ist zweihundertsechsundfünfzig.
- 1:12Eines geht bei Strich doch: gleichartige Glieder zusammenfassen. x hoch drei plus x hoch drei ist zwei x hoch drei — die Exponenten bleiben stehen, gezählt werden die Glieder. Wer hier x hoch sechs schreibt, verwechselt Addieren mit Malnehmen.
- 1:26Im gemischten Term macht man beides der Reihe nach: zuerst die Punktoperationen, denn nur die vereinfachen wirklich. Zwei x hoch drei mal x hoch zwei wird zwei x hoch fünf. Erst danach sieht man, dass zwei gleichartige Glieder dastehen — zusammen sieben x hoch fünf.
- 1:42Zum Mitnehmen: Punktoperationen ziehen jeden Potenzterm auf ein einziges Glied zusammen, egal wie lang er ist. Strichoperationen können gar nichts — ausser gleichartige Glieder zählen. Dasselbe Muster wie bei den Bruchtermen: Punkt macht Faktoren, Strich macht eine Summe.
Zusatzmaterial
Zu diesem Thema gehören fünf Standardmaterialien — Theorie zum Mitnehmen, Karteikarten zum Auswendiglernen, Aufgabenserien zum Üben: