1.3 Grundoperationen mit algebraischen Termen
Algebraische Terme sind die Sprache der Mathematik. Wer sie sicher umformt — Klammern auflösen, gleichartige Glieder zusammenfassen, ausklammern — kann jede Gleichung knacken und jede Formel umstellen. In diesem Kapitel erwirbst du die Werkzeuge, mit denen Terme nicht ihren Wert, aber ihre Form ändern.
- algebraische Terme unter Einhaltung der Regeln für die Grundoperationen umformen, ohne Polynomdivision auch ohne Hilfsmittel
- einfache algebraische Terme faktorisieren auch ohne Hilfsmittel
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann erklären, wann zwei Terme äquivalent sind, und Termumformen als Formänderung bei gleichem Wert verstehen.
- Ich kann gleichartige Glieder erkennen und zusammenfassen.
- Ich kann Klammern nach den vier Regeln auflösen — insbesondere Minusklammern mit kippenden Vorzeichen.
- Ich kann die drei binomischen Formeln anwenden und geometrisch begründen.
- Ich kann Terme faktorisieren: gemeinsamen Faktor ausklammern, binomische Formeln rückwärts, Zweiklammersatz.
Einstieg — Drei Wege zur gleichen Zahl
Eine Werkstatt verkauft pro Monat \(x\) Werkstücke der Sorte A und \(y\) Werkstücke der Sorte B. Für jedes Werkstück A nimmt sie 80 Fr. ein, für jedes Werkstück B 50 Fr., wobei sich der Erlös von B intern in 30 Fr. Material und 20 Fr. Lohn aufteilt. Drei Mitarbeitende rechnen den Monatsumsatz auf je eigene Weise:
| Person | Rechnung | Form |
|---|---|---|
| Anna | \(80 \cdot x + 50 \cdot y\) | Summe — direkt nach Preisen |
| Bruno | \(10 \cdot (8x + 5y)\) | 10 Fr.-Einheiten ausgeklammert |
| Cinzia | \(80x + 30y + 20y\) | B aufgeteilt in Material + Lohn |
Alle drei Ausdrücke liefern für jedes Wertepaar \((x, y)\) denselben Zahlenwert. Sie sind algebraisch äquivalent. Der Trick beim Termumformen: die Form auswählen, die für das gerade anstehende Problem am bequemsten ist — kompakt zum Hinschreiben, faktorisiert zum Ausklammern, ausmultipliziert zum Sortieren.
Termumformen heisst: die Form verändern, ohne den Wert zu verändern. Genau dafür gibt es Klammergesetze, binomische Formeln und Faktorisier-Techniken.
In der Animation kannst du die Verkaufszahlen \(x\) (Sorte A) und \(y\) (Sorte B) ändern und siehst, dass die drei Terme von Anna, Bruno und Cinzia immer denselben Wert liefern — sie sind algebraisch äquivalent. Dario versucht, das auch zu zeigen. Sein Term sieht aus, als sei er bloss „anders ausgeklammert" — doch er liefert nicht denselben Wert. Eine plausibel aussehende Umformung ist nicht automatisch eine richtige.
Definitionen — Termarten
Schon in Kapitel 1.1 hast du den Begriff Term kennengelernt. Hier vertiefen wir die Klassifizierung — denn nicht jeder Term lässt sich gleich umformen.
| Termart | Definition | Beispiel |
|---|---|---|
| Monom | Produkt aus Zahl(en) und Potenzen von Variablen mit natürlichen Exponenten | \(7 x^2 y\) |
| Polynom | Summe von endlich vielen Monomen | \(3x^3 - 2x + 5\) |
| rationaler Term | Quotient zweier Polynome (Nenner \(\neq 0\)) | \(\dfrac{x + 1}{x^2 - 4}\) |
| Wurzelterm | Term, der Wurzeln enthält (siehe Kapitel 1.4) | \(\sqrt{x + 3}\) |
Ein Polynom mit nur einer Variablen heisst Polynom in einer Variablen. Polynome vom Grad 1 heissen linear, vom Grad 2 quadratisch, vom Grad 3 kubisch — diese Begriffe begegnen dir in den Kapiteln 2 und 3 wieder.
Die folgenden Begriffe sind das Vokabular, mit dem du jedes Polynom beschreiben kannst. Wähle ein Polynom, klick einen Begriff an, und sieh sofort, welche Teile des Terms gemeint sind:
✏️ Mini-Check — Äquivalenz
Zwei Terme sind äquivalent, wenn …
- sie gleich aussehen
- sie für jede Belegung der Variablen denselben Wert liefern
- sie gleich viele Glieder haben
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Termumformen heisst: die Form verändern, ohne den zu verändern.
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Sind \(4x + 3x\) und \(7x\) äquivalent? Mit welchem Gesetz?
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Eine Zahlenprobe mit \(x = 2\) stimmt. Beweist das die Äquivalenz zweier Terme?
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Gleichartige Glieder zusammenfassen
Zwei Glieder heissen gleichartig, wenn sie sich nur im Koeffizienten unterscheiden — derselbe Variablen-Anteil, dieselben Exponenten:
\[ 3x^2 \text{ und } -7x^2 \text{ sind gleichartig.} \qquad 3x^2 \text{ und } 3x \text{ nicht.} \]Gleichartige Glieder werden zusammengefasst, indem ihre Koeffizienten addiert werden — der Variablen-Anteil bleibt unverändert (Distributivgesetz, rückwärts gelesen):
\[ a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c \]Die Animation zeigt das in vier Schritten: aus einem unsortierten Polynom werden gleichartige Glieder gleich eingefärbt, sortiert und verrechnet. Probier es an verschiedenen Polynomen aus:
Klassische Beispiele in Tabellenform:
| Term | nach Sortieren | nach Zusammenfassen |
|---|---|---|
| \(5x + 3 - 2x + 7\) | \(5x - 2x + 3 + 7\) | \(3x + 10\) |
| \(4x^2 + 3x - x^2 + 2x - 5\) | \(4x^2 - x^2 + 3x + 2x - 5\) | \(3x^2 + 5x - 5\) |
| \(2ab - 5a^2b + 7ab + 2a^2b\) | \(2ab + 7ab - 5a^2b + 2a^2b\) | \(9ab - 3a^2b\) |
\(3x + 2x^2\) lässt sich nicht zu \(5x^3\) oder \(5x^2\) zusammenfassen. Die Variable hat unterschiedliche Exponenten — die Glieder bleiben separat stehen.
✏️ Mini-Check — Gleichartige Glieder
\(3x + 2x^2 = \;?\)
- \(5x^3\)
- \(5x^2\)
- lässt sich nicht zusammenfassen
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Gleichartige Glieder unterscheiden sich höchstens im .
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Fasse zusammen: \(5a + 3b - 2a + b\).
Lösung anzeigen
Sind \(2xy\) und \(3yx\) gleichartig?
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Klammern auflösen ↩ 1.2
Vier Regeln decken alle Klammer-Operationen ab. Mit dem Knopf „Vorzeichen zeigen" siehst du die unsichtbaren Plus-Zeichen vor dem ersten Summanden — so wird klar, welches Vorzeichen beim Auflösen kippt und welches nicht:
Die letzte Regel — jeder mit jedem — folgt aus dem Distributivgesetz, zweimal angewendet:
\[ (a - b)(-c + d) \;=\; a(-c + d) - b(-c + d) \;=\; -ac + ad + bc - bd \]\(5 - (3x - 2) = 5 - 3x + 2 = 7 - 3x\). Beide Vorzeichen in der Klammer kippen — der Term \(-2\) wird zu \(+2\). Wer das Minus nur auf das erste Glied anwendet, erhält fälschlich \(5 - 3x - 2\). Wenn ein Minus vor der Klammer steht, denk an \((-1) \cdot (\ldots)\).
✏️ Mini-Check — Klammern auflösen
\(-(a - b) = \;?\)
- \(-a - b\)
- \(-a + b\)
- \(a - b\)
Lösung anzeigen
Beim Auflösen einer Minusklammer kippen alle in der Klammer.
Lösung anzeigen
Vereinfache: \(5 - (2x - 3)\).
Lösung anzeigen
Vereinfache: \(2 \cdot (3x - 4) - 3 \cdot (x - 2)\).
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Binomische Formeln ↗ 1.4
Die binomischen Formeln sind Spezialfälle der Regel Klammer mal Klammer. Sie tauchen so oft auf, dass man sie auswendig kennen sollte:
| Name | Formel | Merksatz |
|---|---|---|
| 1. binomische Formel | \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) | Quadrat plus doppeltes Produkt plus Quadrat |
| 2. binomische Formel | \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) | wie oben, mittlerer Term mit Minus |
| 3. binomische Formel | \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) | Differenz der Quadrate |
- \((x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\).
- \((2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25\).
- \((3a + 4)(3a - 4) = (3a)^2 - 4^2 = 9a^2 - 16\).
- Im Kopf: \(99^2 = (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801\).
Der mittlere Term \(2ab\) wird oft vergessen. Probe mit Zahlen: \((3 + 4)^2 = 49\), aber \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) — das ist nicht dasselbe! Der gesuchte mittlere Term ist \(2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\), und \(9 + 24 + 16 = 49\) ✓.
Mit der Animation kannst du die binomischen Formeln geometrisch sehen: jede Formel beschreibt die Fläche eines Quadrats, das aus Teilflächen zusammengesetzt ist. Wähle die Formel, stell a und b ein, und sieh, wie die Teilflächen ihre Werte bekommen:
Die binomischen Formeln gelten ebenso rückwärts — und genau das brauchen wir gleich beim Faktorisieren.
✏️ Mini-Check — Binomische Formeln
\((a + b)^2 = \;?\)
- \(a^2 + b^2\)
- \(a^2 + 2ab + b^2\)
- \(a^2 + ab + b^2\)
Lösung anzeigen
\((a + b)(a - b) = a^2 -\) .
Lösung anzeigen
Multipliziere aus: \((x + 3)^2\).
Lösung anzeigen
Berechne \(21^2\) im Kopf — mit einer binomischen Formel.
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Faktorisieren — den Term in Produkte zerlegen
Faktorisieren ist die Umkehrung von Ausmultiplizieren: aus einer Summe wird ein Produkt. Drei Standard-Techniken decken den Lehrplan ab (ohne Polynomdivision).
6.1 Gemeinsamer Faktor ausklammern ↩ 1.1
Suche den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) der Zahlen-Koeffizienten — über die Primfaktorzerlegung: jeden gemeinsamen Primfaktor mit dem kleinsten vorkommenden Exponenten — und bei Variablen den niedrigsten gemeinsamen Exponenten:
| Term | Gemeinsamer Faktor | Ergebnis |
|---|---|---|
| \(6x + 9\) | \(3\) | \(3(2x + 3)\) |
| \(4x^3 - 2x^2 + 6x\) | \(2x\) | \(2x(2x^2 - x + 3)\) |
| \(15a^2 b - 10 a b^2\) | \(5ab\) | \(5ab(3a - 2b)\) |
6.2 Binomische Formeln rückwärts
Erkennt man im Term das Muster Quadrat ± doppeltes Produkt ± Quadrat oder Differenz zweier Quadrate, lässt sich der Term direkt als Produkt schreiben:
| Erkanntes Muster | Faktorisierte Form |
|---|---|
| \(x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2\) | \((x + 5)^2\) |
| \(4y^2 - 12y + 9 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 3 + 3^2\) | \((2y - 3)^2\) |
| \(x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2\) | \((x + 3)^2\) |
| \(x^2 - 49 = x^2 - 7^2\) | \((x + 7)(x - 7)\) |
| \(9a^2 - 16b^2 = (3a)^2 - (4b)^2\) | \((3a + 4b)(3a - 4b)\) |
6.3 Zweiklammersatz (Satz von Vieta rückwärts)
Ein Polynom der Form \(x^2 + px + q\) — drei Glieder, das mittlere kein doppeltes Produkt — lässt sich oft als Produkt zweier einfacher Klammern schreiben:
\[ x^2 + p\,x + q \;=\; (x + r)(x + s), \quad \text{wobei } r + s = p \;\text{ und }\; r \cdot s = q. \]Du suchst also zwei Zahlen \(r\) und \(s\), die zusammen den mittleren Koeffizienten und multipliziert das konstante Glied ergeben. Das funktioniert besonders schnell, wenn \(q\) nur wenige Teilerpaare hat.
- \(x^2 + 5x + 6\): Welche zwei Zahlen multipliziert geben 6 und addiert 5? \(\;2\) und \(3\). Also \(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\).
- \(x^2 - 7x + 12\): zwei Zahlen mit Produkt \(+12\) und Summe \(-7\). Beide negativ: \(-3\) und \(-4\). Also \((x - 3)(x - 4)\).
- \(x^2 + 2x - 15\): Produkt \(-15\), Summe \(+2\). Eine positiv, eine negativ: \(+5\) und \(-3\). Also \((x + 5)(x - 3)\).
- \(q > 0\): \(r\) und \(s\) haben das gleiche Vorzeichen (beide positiv oder beide negativ), das ergibt sich aus dem Vorzeichen von \(p\).
- \(q < 0\): \(r\) und \(s\) haben verschiedene Vorzeichen, die grössere absolute Zahl trägt das Vorzeichen von \(p\).
6.4 Gruppieren — Summe von vier Gliedern als Produkt
Bei einem Polynom mit vier Gliedern, das keinen gemeinsamen Faktor über alles hat, gruppiert man je zwei Glieder, klammert dort getrennt aus und hofft, dass eine gemeinsame Klammer entsteht — die dann nochmals ausgeklammert wird:
\[ \underbrace{ax + ay}_{a(x+y)} + \underbrace{bx + by}_{b(x+y)} \;=\; a(x+y) + b(x+y) \;=\; (x+y)(a+b). \]Trick: Sucht man einen Faktor pro Paar, der so gewählt ist, dass in beiden Restklammern dieselbe Klammer steht. Wenn die zweite Klammer beim ersten Versuch nicht passt, hilft oft eine andere Paarung der vier Glieder.
6.5 Kombinieren — erst ausklammern, dann binomisch
Bei vielen Termen muss man mehrere Techniken nacheinander anwenden — und zwar in einer festen Reihenfolge: zuerst immer der gemeinsame Faktor, danach erst Binom oder Zweiklammersatz.
Erst den gemeinsamen Faktor \(2x\) ausklammern, dann die dritte binomische Formel rückwärts anwenden.
Übung — schnell und richtig faktorisieren
Schreib die Antwort so, wie du sie auch von Hand notieren würdest — Leerzeichen und
Reihenfolge der Faktoren sind egal. Beispiele für gültige Eingaben: 4x(3x - 2),
(x+9)(x-9), (x+3)^2.
- Gibt es einen gemeinsamen Faktor? Erst ausklammern (Abschnitt 6.1).
- Hat der Rest zwei Glieder? Auf Differenz von Quadraten prüfen (Abschnitt 6.2).
- Hat der Rest drei Glieder? Erst auf binomische Formel prüfen (\(a^2 \pm 2ab + b^2\), Abschnitt 6.2), wenn das nicht passt: Zweiklammersatz (Abschnitt 6.3).
- Hat der Rest vier Glieder? Paarweise gruppieren und ggT je Paar ausklammern (Abschnitt 6.4) — gemeinsame Klammer suchen.
- Sonst: stehen lassen oder weiter im Kapitel Quadratische Gleichungen mit der \(p,q\)-Formel angehen.
✏️ Mini-Check — Faktorisieren
\(x^2 - 9\) faktorisiert?
- \((x - 3)^2\)
- \((x + 3)(x - 3)\)
- nicht faktorisierbar
Lösung anzeigen
Faktorisieren ist die Umkehrung von .
Lösung anzeigen
Klammere aus: \(6x^2 + 9x\).
Lösung anzeigen
Faktorisiere \(x^2 + 7x + 12\) mit dem Zweiklammersatz.
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Vereinfache:
- \(\;7x - 3 + 2x + 8\)
- \(\;5a^2 - 3a + 2 - a^2 + 7a - 5\)
- \(\;4xy - 2x^2 y + 3xy + x^2 y\)
- \(7x + 2x - 3 + 8 = 9x + 5\).
- \(5a^2 - a^2 - 3a + 7a + 2 - 5 = 4a^2 + 4a - 3\).
- \(4xy + 3xy - 2x^2 y + x^2 y = 7xy - x^2 y\).
- \(\;3(2x - 5) + 4(x + 2)\)
- \(\;-(3a - 2b) - 2(a - b)\)
- \(\;5 - 2[3 - (x - 4)]\)
- \(6x - 15 + 4x + 8 = 10x - 7\).
- \(-3a + 2b - 2a + 2b = -5a + 4b\).
- Innere Klammer zuerst: \(3 - (x - 4) = 3 - x + 4 = 7 - x\). Dann \(5 - 2(7 - x) = 5 - 14 + 2x = -9 + 2x\).
- \(\;(x + 3)(x - 5)\)
- \(\;(2a - 1)(a + 4)\)
- \(\;(x + y)(x - y) - (x - y)^2\)
- \(x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15\).
- \(2a^2 + 8a - a - 4 = 2a^2 + 7a - 4\).
- Erst beide Teile: \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) und \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\). Differenz: \((x^2 - y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = -2y^2 + 2xy = 2y(x - y)\).
Alternativ — schneller über den gemeinsamen Faktor \((x-y)\): \((x+y)(x-y) - (x-y)^2 = (x-y)\cdot\bigl((x+y) - (x-y)\bigr) = (x-y) \cdot 2y = 2y(x-y)\).
Ohne ausführliches Ausmultiplizieren — direkt mit der binomischen Formel:
- \(\;(x - 6)^2\)
- \(\;(3a + 2b)^2\)
- \(\;(5x + 7)(5x - 7)\)
- \(\;102^2\) im Kopf
- \(x^2 - 12x + 36\).
- \(9a^2 + 12ab + 4b^2\).
- \(25x^2 - 49\).
- \(102^2 = (100 + 2)^2 = 10\,000 + 400 + 4 = 10\,404\).
- \(\;6x^2 - 9x\)
- \(\;x^2 - 25\)
- \(\;x^2 - 14x + 49\)
- \(\;5x^3 - 20x\)
- \(\;a^4 - 16\) (zweimal anwenden!)
- \(\;x^2 + 8x + 15\) (Zweiklammersatz)
- \(\;x^2 - 2x - 24\) (Zweiklammersatz)
- \(\;2x^2 - 10x + 12\) (erst ausklammern, dann Zweiklammersatz)
- \(\;3ax + 3ay + 4bx + 4by\) (gruppieren)
- \(\;x^3 - x^2 + 3x - 3\) (gruppieren)
- \(3x(2x - 3)\).
- Differenz von Quadraten: \((x + 5)(x - 5)\).
- Zweite binomische Formel: \((x - 7)^2\).
- Erst \(5x\) ausklammern: \(5x(x^2 - 4) = 5x(x + 2)(x - 2)\).
- \(a^4 - 16 = (a^2)^2 - 4^2 = (a^2 + 4)(a^2 - 4) = (a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)\). Hinweis: \(a^2 + 4\) lässt sich in \(\mathbb{R}\) nicht weiter zerlegen.
- Produkt \(+15\), Summe \(+8\) → \(+3\) und \(+5\). Also \((x + 3)(x + 5)\).
- Produkt \(-24\), Summe \(-2\) → verschiedene Vorzeichen, das grössere mit Minus: \(-6\) und \(+4\). Also \((x - 6)(x + 4)\).
- Erst \(2\) ausklammern: \(2(x^2 - 5x + 6)\). Dann Zweiklammersatz: \(-2\) und \(-3\). Ergebnis: \(2(x - 2)(x - 3)\).
- Paarweise gruppieren: \(3a(x + y) + 4b(x + y) = (x + y)(3a + 4b)\).
- Paarweise gruppieren: \(x^2(x - 1) + 3(x - 1) = (x - 1)(x^2 + 3)\).
Aus einem grossen Holzbrett wird in einer Schreinerei ein rechteckiges Werkstück mit Länge \((x + 4)\) m und Breite \((x - 1)\) m zugeschnitten, ausserdem ein quadratisches Verschnittstück mit Seitenlänge \(x\) m für ein anderes Projekt.
- Drücke die Restfläche (Werkstück minus Verschnitt) als Term in \(x\) aus und vereinfache so weit wie möglich. Lässt sich das Resultat faktorisieren?
- Wie gross ist die Restfläche für \(x = 5\) m?
- Werkstückfläche: \((x + 4)(x - 1) = x^2 + 3x - 4\). Verschnittfläche: \(x^2\). Restfläche: \(x^2 + 3x - 4 - x^2 = 3x - 4\). Faktorisieren? Nein — der lineare Term \(3x - 4\) hat keinen gemeinsamen Faktor und ist nicht weiter zerlegbar; einfacher geht es nicht.
- \(3 \cdot 5 - 4 = 11\) m².
Auf einer Verpackung steht: „Mit unserer neuen Formel \((a + b)^2 = a^2 + b^2\) sparst du Zeit beim Rechnen!" Ein anderer Slogan bei einer Konkurrenzmarke: „Wir wissen: \(2 \cdot (x + y) = 2x + 2y\) — das ist Mathematik, der man trauen kann." Auf einer Bauwerkstattbroschüre wirbt jemand: „Diagonale aus zwei Schenkeln? Wir nehmen einfach \(\sqrt{a^2 + b^2} = a + b\) und sparen den Wurzeltaster!" Und in einem Mathematik-Comic prahlt eine Figur: „Quadrieren? Kubieren? Beides geht gleich: \((a + b)^3 = a^3 + b^3\)!"
- Welche der vier Slogans sind algebraisch korrekt, welche falsch?
- Gib bei jedem falschen Slogan eine Wertekombination an, mit der man ihn widerlegen kann.
- Wie könnten die falschen Slogans algebraisch korrekt formuliert werden, ohne ihre „Einfachheit" zu verlieren?
- Nur der zweite Slogan ist korrekt (Distributivgesetz). Die anderen drei sind falsch — alle gehören zur gleichen Fehlerfamilie: man darf eine Operation (Potenz, Wurzel) nicht einfach auf jedes Glied einer Summe einzeln anwenden.
- Gegenbeispiele jeweils mit \(a = 1, b = 2\) (bzw. \(x = 1, y = 2\)):
- Slogan 1: \((1 + 2)^2 = 9\), aber \(1^2 + 2^2 = 5\) — also \(9 \neq 5\).
- Slogan 3: \(\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2.24\), aber \(1 + 2 = 3\) — also \(\sqrt{5} \neq 3\).
- Slogan 4: \((1 + 2)^3 = 27\), aber \(1^3 + 2^3 = 9\) — also \(27 \neq 9\).
- Korrekte Formen:
- Slogan 1: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) (1. binomische Formel).
- Slogan 3: Die Wurzel aus einer Summe lässt sich nicht weiter vereinfachen — man muss erst die Summe ausrechnen, dann die Wurzel ziehen.
- Slogan 4: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3\) (Erweiterung der binomischen Formeln auf die dritte Potenz).
Der „Spar-Effekt" der falschen Slogans liegt im Weglassen der gemischten Glieder — und damit verschwindet die Korrektheit.
Zusammenfassung
- Gleichartige Glieder haben denselben Variablen-Anteil — nur sie können zusammengefasst werden.
- Klammern auflösen: \(+\) lässt unverändert, \(-\) kippt alle Vorzeichen, Faktor multipliziert jedes Glied, Klammer mal Klammer macht jeder mit jedem.
- Drei binomische Formeln: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) — auswendig.
- Faktorisieren in zwei Schritten: erst gemeinsamen Faktor ausklammern, dann auf binomische Formeln prüfen.
| Operation | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Zusammenfassen | nur gleichartige Glieder addieren | \(3x + 5x = 8x\) |
| \(+\)-Klammer auflösen | Vorzeichen unverändert | \(a + (b - c) = a + b - c\) |
| \(-\)-Klammer auflösen | alle Vorzeichen kippen | \(a - (b - c) = a - b + c\) |
| Distributivgesetz | Faktor mal jedes Glied | \(3(x + 2) = 3x + 6\) |
| Klammer mal Klammer | jeder mit jedem | \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) |
| 1. binomische Formel | \((a+b)^2\) | \(a^2 + 2ab + b^2\) |
| 2. binomische Formel | \((a-b)^2\) | \(a^2 - 2ab + b^2\) |
| 3. binomische Formel | \((a+b)(a-b)\) | \(a^2 - b^2\) |
| Ausklammern | gemeinsamen Faktor heraus | \(6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)\) |
Zusatzmaterial
Zu diesem Thema gehören fünf Standardmaterialien — Theorie zum Mitnehmen, Karteikarten zum Auswendiglernen, Aufgabenserien zum Üben: