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Algebraische Terme — Handout

1. Termarten

Ein algebraischer Term enthält Zahlen, Variablen und Operationen. Wir unterscheiden:

Termart	Beispiel	Merkmal
Monom	\(3x^2y\)	ein Glied, nur Produkt
Polynom	\(5x^3 - 2x^2 + 7x - 4\)	Summe von Monomen
rationaler Term	\(\dfrac{x+1}{x-2}\)	Variable im Nenner
Wurzelterm	\(\sqrt{x+3}\)	Variable unter Wurzel

2. Begriffe rund um Polynome

Im Polynom \(5x^3 - 2x^2 + 7x - 4\):

• Glieder: \(5x^3\), \(-2x^2\), \(7x\), \(-4\) (vier Glieder)
• Koeffizienten: \(5\), \(-2\), \(7\), \(-4\)
• Grad: höchster Exponent der Variablen \(\Rightarrow\) Grad \(3\)
• Konstantes Glied: \(-4\) (ohne Variable)

3. Gleichartige Glieder zusammenfassen

Zwei Glieder sind gleichartig, wenn sie denselben Variablenanteil (gleiche Buchstaben mit gleichen Exponenten) haben. Nur diese darf man addieren oder subtrahieren:

\[3x^2 + 5x - 2x^2 + x = (3-2)x^2 + (5+1)x = x^2 + 6x\]

Nicht gleichartig: \(x^2\) und \(x\), oder \(x\) und \(xy\).

4. Klammern auflösen — die vier Regeln

Regel	Beispiel
\(+(a+b) = a+b\)	\(7 + (x-3) = 7 + x - 3\)
\(-(a+b) = -a-b\) (alle Vorzeichen drehen!)	\(7 - (x-3) = 7 - x + 3\)
\(c \cdot (a+b) = ca + cb\) (Distributivgesetz)	\(3(x+4) = 3x + 12\)
\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\)	\((x+2)(x+3) = x^2+5x+6\)

5. Die drei binomischen Formeln

Spezialfälle der vierten Regel — auswendig kennen!

Herleitung: Die binomischen Formeln folgen direkt aus Klammerregel 4 (Produkt zweier Summen). Beispiel zur 1. Formel: \((a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2ab + b^2\) — kein neues Gesetz, sondern eine Abkürzung für ein häufig auftretendes Muster.

Nr.	Formel
1.	\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
2.	\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
3.	\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)

6. Faktorisieren (ohne Polynomdivision)

Faktorisieren ist das Umgekehrte von Klammern auflösen: aus einer Summe ein Produkt machen. Drei Werkzeuge:

1. Ausklammern: gemeinsamer Faktor → \(6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)\)
2. Binomische Formel rückwärts: Muster erkennen → \(x^2 - 16 = (x+4)(x-4)\)
3. Kombiniert: erst ausklammern, dann binomisch → \(2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) = 2(x+3)(x-3)\)

Strategie-Reihenfolge: (1) Immer zuerst nach einem gemeinsamen Faktor suchen (Zahl, Variable, oder beides). (2) Dann auf eine binomische Formel prüfen (drei Glieder mit \(\pm 2ab\)-Mittelterm? Differenz zweier Quadrate?). (3) Wenn nichts davon passt: einsetzen und Vereinfachen ist meist ohne Faktorisierung lösbar.

7. Häufige Fallen

• \(-(a-b) = -a+b\), nicht \(-a-b\). Beispiel zur Selbstkontrolle mit \(a=5, b=3\): \(-(5-3) = -(2) = -2\). Falsche Auflösung \(-5-3 = -8\) ergibt ein deutlich anderes Resultat; richtig ist \(-5+3 = -2\) ✓.
• \((a+b)^2 \ne a^2 + b^2\) — der Mittelterm \(2ab\) fehlt sonst!
• \(\sqrt{a^2+b^2} \ne a+b\) — Wurzel und Quadrat gleichen sich nur als Gesamtoperation aus

8. Zusammenfassung

Algebraische Terme werden umgeformt durch Zusammenfassen gleichartiger Glieder, Klammern auflösen (vier Regeln), Anwenden der binomischen Formeln und Faktorisieren — alles auch ohne Hilfsmittel. Ohne Polynomdivision.