Hinweis: Die Aufgaben decken sechs verschiedene Grössenordnungs-Bereiche ab — von astronomischen Entfernungen (\(10^8\,\text{m}\)) bis zu Mikroelektronik-Zeitskalen (\(10^{-9}\,\text{s}\)). Die Spalte „Grössenordnung" zeigt jeweils die zentrale Skala der Aufgabe.
| Nr. | Bereich | Titel | Grössenordnung | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Astronomie | Erde — Sonne — Mars | \(10^{8}\,\text{m}\) | ●●○ |
| 2 | Mikroelektronik | Taktzyklus eines Mikrocontrollers | \(10^{-9}\,\text{s}\) | ●●○ |
| 3 | Bauwesen | Quadratische Grundfläche | \(10^{0}\,\text{m}\) | ●●○ |
| 4 | Elektrotechnik | Effektivwert einer Wechselspannung | \(10^{2}\,\text{V}\) | ●●● |
| 5 | Akustik | Schalldruck-Verhältnisse | \(10^{-5}\,\text{Pa}\) | ●●● |
| 6 | Optik | Datendichte einer DVD | \(10^{-7}\,\text{m}\) | ●●● |
Die mittlere Entfernung Erde — Sonne beträgt rund \(1{.}5 \cdot 10^{8}\,\text{km}\), die mittlere Entfernung Mars — Sonne rund \(2{.}28 \cdot 10^{8}\,\text{km}\).
(a) Wie viele Mal grösser ist die Marsbahn (im Verhältnis)? Schreibe das Ergebnis in wissenschaftlicher Notation.
(b) Licht legt \(3 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}\) zurück. Wie viele Sekunden braucht es von der Sonne zur Erde?
(c) Drücke das Ergebnis in Minuten aus.
Ein Mikrocontroller läuft mit \(250\,\text{MHz}\) Taktfrequenz.
(a) Wie lange dauert ein einzelner Taktzyklus (in Sekunden, in wissenschaftlicher Notation und mit SI-Vorsatz)?
(b) Wie viele Zyklen führt der Mikrocontroller in einer Stunde aus?
(c) Eine Operation dauert \(8\) Zyklen. Wie viele Operationen pro Sekunde sind möglich?
Ein Zimmer hat einen quadratischen Grundriss mit der Fläche \(A = 27\,\text{m}^2\).
(a) Bestimme die Seitenlänge exakt — als Wurzelterm und teilweise gezogen.
(b) Wie lange ist die Diagonale (Anwendung des Satzes von Pythagoras: \(d = a\sqrt{2}\))?
(c) Vergleiche dein exaktes Ergebnis mit dem Dezimalwert auf zwei Stellen.
Bei einer sinusförmigen Wechselspannung gilt \(U_\text{eff} = \dfrac{U_\text{max}}{\sqrt{2}}\). Die Netzspannung in der Schweiz hat \(U_\text{eff} = 230\,\text{V}\).
(a) Stelle die Formel nach \(U_\text{max}\) um und mache den Nenner rational.
(b) Berechne \(U_\text{max}\) exakt (mit Wurzel) und als Dezimalwert.
(c) Welche Leistung wird an einem Widerstand \(R = 100\,\Omega\) umgesetzt? (Formel: \(P = \dfrac{U_\text{eff}^2}{R}\))
Die Hörschwelle des menschlichen Ohrs liegt bei \(p_0 = 2 \cdot 10^{-5}\,\text{Pa}\). Die Schmerzgrenze liegt bei \(p_1 = 20\,\text{Pa}\).
(a) Wie viele Mal grösser ist der Schalldruck an der Schmerzgrenze gegenüber der Hörschwelle? Schreibe das Verhältnis in wissenschaftlicher Notation.
(b) Drücke beide Werte mit SI-Vorsätzen aus (\(p_0\) in µPa, \(p_1\) in Pa).
(c) Eine Lärmquelle hat \(p = 0{.}2\,\text{Pa}\) — wie viele Grössenordnungen über der Hörschwelle?
Eine DVD speichert ca. \(4{.}7\,\text{GB}\) Daten auf einer beschreibbaren Fläche von rund \(86\,\text{cm}^2\). 1 Byte = \(8\) Bit.
(a) Wie viele Bits passen pro Quadratzentimeter? Schreibe das Ergebnis in wissenschaftlicher Notation.
(b) Eine angenommene Bitstelle ist quadratisch. Welche Seitenlänge \(s\) hat sie (in µm)? Tipp: \(s = \sqrt{\text{Fläche pro Bit}}\).
(c) Vergleiche mit der Wellenlänge eines Lasers (\(\lambda = 650\,\text{nm}\)).
1. (a) \(\dfrac{2{.}28 \cdot 10^{8}}{1{.}5 \cdot 10^{8}} = 1{.}52 = 1{.}52 \cdot 10^{0}\) — Marsbahn ist 1.52-mal grösser (das Verhältnis ist dimensionslos; die Zehnerpotenzen kürzen sich weg, in wissenschaftlicher Notation bleibt der Exponent \(0\)). (b) \(t = \dfrac{1{.}5 \cdot 10^{8}}{3 \cdot 10^{5}} = 0{.}5 \cdot 10^{3} = 500\,\text{s}\). (c) \(500 : 60 \approx 8{.}33\,\text{min}\) (also rund 8 Minuten 20 Sekunden). Lichtlaufzeit: Diese 500 s sind kein abstraktes Rechenergebnis — Funksignale zum Mars brauchen je nach Konstellation 3-22 Minuten in eine Richtung. Astronauten würden auf der ISS in jenen 8 Minuten etwa zweimal die Erde umrunden.
2. (a) \(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{250 \cdot 10^{6}} = 4 \cdot 10^{-9}\,\text{s} = 4\,\text{ns}\). (b) \(1\,\text{h} = 3600\,\text{s}\); Zyklen pro Stunde \(=250 \cdot 10^{6} \cdot 3600 = 9 \cdot 10^{11}\). (c) \(\dfrac{250 \cdot 10^{6}}{8} = 3{.}125 \cdot 10^{7}\) Operationen/s. Greifbar gemacht: 250 MHz heisst 250 Millionen Taktzyklen pro Sekunde — pro Stunde also 900 Milliarden. In einer Sekunde gehen mehr Zyklen vorbei als die Schweiz Einwohner hat (×30).
3. (a) \(a = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\,\text{m}\). (b) \(d = a\sqrt{2} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{6}\,\text{m}\). (c) \(3\sqrt{3} \approx 5{.}20\,\text{m}\); \(3\sqrt{6} \approx 7{.}35\,\text{m}\). Flächen-Umrechnung beachten: Ist die Fläche in cm² gegeben (etwa \(27\,\text{cm}^2\)), darf man nicht einfach \(\sqrt{27}\) als „cm" lesen — \(1\,\text{cm}^2 = 10^{-4}\,\text{m}^2\), bei Längen ist es \(1\,\text{cm} = 10^{-2}\,\text{m}\). Beim Wechsel von Fläche zu Länge wird der Exponent halbiert.
4. (a) \(U_\text{max} = U_\text{eff} \cdot \sqrt{2}\) — kein Nenner zu rationalisieren mehr nötig. (Aus \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) wäre \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) geworden.) (b) \(U_\text{max} = 230\sqrt{2}\,\text{V} \approx 325{.}3\,\text{V}\). (c) \(P = \dfrac{230^2}{100} = \dfrac{52\,900}{100} = 529\,\text{W}\). Greifbar gemacht: Die Spitzenspannung einer Schweizer Steckdose ist also nicht 230 V, sondern \(\approx 325\,\text{V}\) — sie wechselt 50-mal pro Sekunde sinusförmig zwischen \(+325\) und \(-325\,\text{V}\). 230 V ist der Effektivwert, also der äquivalente Gleichspannungswert für gleiche Leistung.
5. (a) \(\dfrac{20}{2 \cdot 10^{-5}} = 10 \cdot 10^{5} = 10^{6}\) — also eine Million Mal grösser. (b) \(p_0 = 20\,\text{µPa}\); \(p_1 = 20\,\text{Pa}\). (c) \(\dfrac{0{.}2}{2 \cdot 10^{-5}} = 0{.}1 \cdot 10^{5} = 10^{4}\) — vier Grössenordnungen. Dezibel-Brücke: Schalldruck-Verhältnisse werden in der Praxis als dB angegeben — \(L = 20 \cdot \log_{10}(p/p_0)\). Faktor \(10^6\) entspricht \(20 \cdot 6 = 120\,\text{dB}\) (Düsenjet); Faktor \(10^4\) entspricht \(80\,\text{dB}\) (Strassenverkehr). Logarithmen formal in 3.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen.
6. (a) Bits gesamt: \(4{.}7 \cdot 10^{9} \cdot 8 = 3{.}76 \cdot 10^{10}\) Bit. Pro cm²: \(\dfrac{3{.}76 \cdot 10^{10}}{86} \approx 4{.}37 \cdot 10^{8}\) Bit/cm². (b) Fläche pro Bit: \(\dfrac{1}{4{.}37 \cdot 10^{8}}\,\text{cm}^2 \approx 2{.}29 \cdot 10^{-9}\,\text{cm}^2 = 2{.}29 \cdot 10^{-13}\,\text{m}^2\). \(s = \sqrt{2{.}29 \cdot 10^{-13}} \approx 4{.}79 \cdot 10^{-7}\,\text{m} \approx 0{.}48\,\text{µm}\). (c) \(\lambda = 650\,\text{nm} = 0{.}65\,\text{µm}\) — die Bit-Grösse liegt in derselben Grössenordnung wie die Wellenlänge des Lasers. Physikalische Grenze: Eine Linse kann keine Strukturen auflösen, die deutlich kleiner sind als die verwendete Wellenlänge. Blu-Ray nutzt deshalb einen blauen Laser (\(\lambda \approx 405\,\text{nm}\)) und schafft mehr Bits pro mm² — physikalisch nicht zufällig kürzer.