1.4 Zehnerpotenzen und Quadratwurzeln

Zoom-Skala: jede Stufe ein Faktor 10

1. 0:00Der Regler schiebt dich vom Atomkern bis zu den Nachbargalaxien. Was bedeutet eine einzige Stufe auf dieser Skala?
2. 0:09Vom Menschen bei zehn hoch null Meter geht es eine Stufe hinauf zum Haus bei zehn hoch eins. Die Länge wird zehnmal grösser, der Dezimalpunkt rückt eine Stelle nach rechts.
3. 0:20Eine Stufe unter dem Menschen liegt der Apfel bei zehn hoch minus eins Meter. Das ist ein Zehntel Meter, also null Komma eins Meter. Der negative Exponent setzt die Skala einfach nach unten fort.
4. 0:33Weiter aussen überspringt der Regler Exponenten ohne Objekt. Vom Erde-Mond-Abstand bei zehn hoch acht zur Erdbahn bei zehn hoch elf sind es drei Stufen. Die Faktoren multiplizieren sich: zehn hoch drei, also tausend.
5. 0:46Merke: Jede Stufe der Skala ist ein Faktor zehn, der Exponent zählt, um wie viele Stellen der Dezimalpunkt rückt. Springt er um mehr als eins, multiplizieren sich die Faktoren. Und zehn hoch minus n ist eins durch zehn hoch n.

Faktor-Kacheln: der Exponent zählt Faktoren

1. 0:00In der Animation ist jeder Faktor eine eigene Kachel. Warum addiert man beim Multiplizieren die Exponenten?
2. 0:09Zwei hoch drei sind drei Kacheln, zwei hoch vier sind vier Kacheln. Zusammengeschoben liegen sieben Faktoren zwei in einer Reihe: zwei hoch sieben, also hundertachtundzwanzig.
3. 0:21Beim Dividieren steht oben zwei hoch zwei, unten zwei hoch fünf. Jedes Paar aus einer Zwei oben und einer Zwei unten kürzt sich weg. Unten bleiben drei Faktoren: zwei hoch minus drei, also ein Achtel.
4. 0:34Bei verschiedenen Basen verschmelzen eine Zwei und eine Fünf nicht zu einer Kachel. Nur ein Paar zwei mal fünf ergibt zehn. Drei Paare und eine übrige Fünf ergeben fünftausend, nicht zehn hoch sieben.
5. 0:46Merke: Der Exponent zählt Faktoren derselben Basis. Beim Multiplizieren reihen sie sich aneinander, die Exponenten werden addiert. Beim Dividieren kürzen sie sich paarweise, die Exponenten werden subtrahiert. Bei verschiedenen Basen gibt es nichts zu zählen.

Wurzel einschachteln: jeder Schritt halbiert das Intervall

1. 0:00Die Wurzel aus dreissig liegt zwischen fünf und sechs, denn fünf hoch zwei ist fünfundzwanzig und sechs hoch zwei sechsunddreissig. Wie findet man ohne Rechner die Nachkommastellen?
2. 0:11Getestet wird die Mitte fünf Komma fünf. Ihr Quadrat ist dreissig Komma zwei fünf, mehr als dreissig. Also liegt die Wurzel links davon, und die obere Schranke rückt auf fünf Komma fünf.
3. 0:21Jeder Schritt halbiert die Breite. Nach vier Schritten liegt die Wurzel zwischen fünf Komma vier drei sieben fünf und fünf Komma fünf, die Breite ist ein Sechzehntel. Damit steht die erste Nachkommastelle fest: fünf Komma vier.
4. 0:34Ist n selbst eine Quadratzahl, etwa sechsunddreissig, dann ist die Wurzel genau sechs. Einschachteln erübrigt sich.
5. 0:43Merke: Teste die Mitte. Ist ihr Quadrat grösser als n, liegt die Wurzel links davon, sonst rechts. Jeder Schritt halbiert die Breite, nach zehn Schritten ist sie kleiner als ein Tausendstel.

Einheiten: Länge, Fläche, Volumen

1. 0:00Beim Umrechnen ist der Faktor nicht immer zehn. Er hängt davon ab, worum es geht.
2. 0:09Ein Quadratmeter ist zehn Dezimeter mal zehn Dezimeter. Also hundert Quadratdezimeter.
3. 0:21Eine Stufe auf der Leiter: bei Längen mal zehn, bei Flächen mal hundert, bei Volumen mal tausend.
4. 0:30Ein Rechteck von einem Komma zwei Metern mal achtzig Zentimetern. Von Quadratmeter zu Quadratzentimeter sind es zwei Stufen.
5. 0:41Beim Aquarium dasselbe Spiel, nur mit tausend. Und dann die Brücke zum Hohlmass.
6. 0:53Drei Zeilen, die man auswendig können muss. Ohne sie geht keine Volumenaufgabe.
7. 1:04Are und Hektare sind auch nur Flächenmasse. Auch hier ist der Faktor hundert.
8. 1:13Länge zehn, Fläche hundert, Volumen tausend. Und ein Kubikdezimeter ist ein Liter.

Potenzen: die Quadratwurzel macht hoch 2 rückgängig

1. 0:00Quadrieren und Wurzelziehen heben einander auf. Fast — und das Wort «fast» ist hier der ganze Inhalt.
2. 0:09Eine Zahl quadrieren, dann die Wurzel ziehen: Man ist wieder am Anfang. Drei wird neun, neun wird drei. Fünf wird fünfundzwanzig, fünfundzwanzig wird fünf.
3. 0:21Nur: Es führen zwei Wege zur Neun. Drei zum Quadrat ist neun — und minus drei zum Quadrat ist auch neun. Das Quadrieren wirft das Vorzeichen weg.
4. 0:32Die Definition entscheidet sich: Die Wurzel gibt immer die nichtnegative Zahl zurück. Damit ist sie eindeutig — und damit überhaupt erst eine Funktion.
5. 0:41Daraus folgt ein Unterschied, den man nicht verwischen darf. Die Gleichung x zum Quadrat gleich neun hat zwei Lösungen: plus drei und minus drei. Der Wert der Wurzel aus neun ist dagegen nur plus drei.
6. 0:53Und darum ist die Wurzel aus a zum Quadrat nicht a, sondern der Betrag von a. Setzt man minus drei ein, kommt plus drei heraus.
7. 1:03Zum Mitnehmen: Hoch zwei und Wurzel sind Umkehrungen — aber nur auf der nichtnegativen Seite sauber. Wer eine Gleichung löst, denkt an beide Vorzeichen. Wer eine Wurzel auswertet, an eines.

Potenzen: die fünf Gesetze, je an einem Beispiel

1. 0:00Fünf Potenzgesetze — und kein einziges muss man auswendig lernen. Sie folgen alle daraus, dass ein Exponent nichts anderes tut als Faktoren zählen.
2. 0:10Erstes Gesetz: gleiche Basis multiplizieren. Drei Faktoren mal vier Faktoren sind zusammen sieben Faktoren. Also werden die Exponenten addiert.
3. 0:19Zweites Gesetz: gleiche Basis dividieren. Von sieben Faktoren fallen drei weg, es bleiben vier. Also werden die Exponenten subtrahiert.
4. 0:29Drittes Gesetz: eine Potenz potenzieren. Zwei Mal drei Faktoren sind sechs Faktoren. Also werden die Exponenten multipliziert.
5. 0:38Viertes und fünftes Gesetz gehören zusammen: Steht ein Produkt oder ein Quotient in der Klammer, verteilt sich der Exponent auf beide Teile. Beim Produkt, weil man die Faktoren umsortieren darf.
6. 0:50Eine Warnung gehört dazu. Die ersten beiden Gesetze verlangen dieselbe Basis. Zwei hoch drei mal fünf hoch vier ist nicht zehn hoch sieben, sondern fünftausend — da lässt sich nichts zusammenfassen.
7. 1:01Die fünf auf einen Blick: Mal heisst plus, geteilt heisst minus, Klammer heisst mal — und ein Produkt oder Quotient in der Klammer bekommt den Exponenten auf beide Teile.

Potenzen: woher die negativen Exponenten kommen

1. 0:00Was soll zwei hoch minus zwei bedeuten? Minus zwei Faktoren kann man nicht hinschreiben. Trotzdem ist die Antwort nicht frei wählbar.
2. 0:09Nehmen wir zwei hoch drei geteilt durch zwei hoch fünf. Nach dem zweiten Gesetz werden die Exponenten subtrahiert: drei minus fünf ist minus zwei.
3. 0:19Dieselbe Rechnung geht auch von Hand: drei Faktoren oben, fünf unten. Drei kürzen sich weg, unten bleiben zwei. Das Ergebnis ist ein Viertel. Beide Wege müssen dasselbe geben.
4. 0:30Damit ist die Bedeutung erzwungen: Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert. Und wenn die Exponenten gleich sind, steht oben und unten dasselbe — das Ergebnis ist eins. Darum ist a hoch null gleich eins.
5. 0:43Der häufigste Fehler: Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ. Zwei hoch minus drei ist ein Achtel, nicht minus acht. Das Minus wandert in den Nenner, nicht vor die Zahl.
6. 0:55Und damit reichen die Zehnerpotenzen endlich in beide Richtungen: zehn hoch drei ist tausend, zehn hoch minus drei ist ein Tausendstel. Der Exponent zählt die Verschiebungen des Punkts — nach rechts oder nach links.

Potenzen: gebrochene Exponenten sind Wurzeln

1. 0:00Ein halber Faktor ergibt keinen Sinn. Trotzdem hat a hoch ein Halb eine eindeutige Bedeutung — dieselbe Überlegung wie beim Minus liefert sie.
2. 0:09Quadrieren wir a hoch ein Halb. Nach dem dritten Gesetz werden die Exponenten multipliziert: ein Halb mal zwei ist eins. Es kommt also a heraus.
3. 0:19Die Probe an einer Zahl: neun hoch ein Halb ist die Wurzel aus neun, also drei. Und drei zum Quadrat ist wieder neun. Es geht auf.
4. 0:28Dasselbe mit einem Drittel: hoch drei genommen kommt a heraus, also ist a hoch ein Drittel die dritte Wurzel. Der Nenner des Exponenten wird zum Wurzelgrad.
5. 0:38Und wenn oben nicht eins steht? Zwei Drittel heisst: erst die dritte Wurzel, dann quadrieren — oder umgekehrt. Acht hoch zwei Drittel ist vier, auf beiden Wegen. Der Nenner ist der Wurzelgrad, der Zähler die Potenz.
6. 0:51Damit ist die Sache rund: Der Nenner wird zum Wurzelgrad, der Zähler bleibt die Potenz. Und der eigentliche Gewinn: Wurzeln sind keine Sonderrechnung mehr — es sind Potenzen, und alle fünf Potenzgesetze gelten für sie weiter. Eine Bedingung gehört aber dazu: Die Basis darf nicht negativ sein.

Potenzen: Wurzelgesetze mit Potenzgesetzen verstehen

1. 0:00Im Lehrmittel stehen zehn Wurzelgesetze. Die Behauptung dieses Clips: Kein einziges davon ist neu. Man braucht sie nicht zu lernen — man braucht einen einzigen Satz.
2. 0:10Das Verfahren ist immer dasselbe. Wurzel in Potenzschreibweise, dann greift ein Potenzgesetz, dann bei Bedarf zurück. Wurzel aus zwei mal Wurzel aus acht: beide sind hoch ein Halb, das vierte Gesetz zieht sie zusammen — Wurzel aus sechzehn, also vier.
3. 0:25Dasselbe beim Quotienten. Wurzel aus fünfzig durch Wurzel aus zwei: hoch ein Halb bei beiden, das fünfte Gesetz zieht sie zusammen. Wurzel aus fünfundzwanzig, also fünf.
4. 0:36Bei der Wurzel aus einer Wurzel ist die Potenzschreibweise nicht nur gleichwertig, sondern einfacher. Ein Halb mal ein Halb ist ein Viertel — man sieht sofort, dass die vierte Wurzel herauskommt. Als Wurzelregel muss man das auswendig wissen.
5. 0:50Und die Wurzel im Nenner ist kein Sonderfall mehr, sondern einfach ein negativer Exponent — dieselbe Regel wie bei ganzen Zahlen.
6. 1:00Der grösste Gewinn ist aber ein anderer. Der häufigste Wurzelfehler ist, die Wurzel in eine Summe hineinzuziehen. Wurzel aus neun plus sechzehn wäre dann drei plus vier, also sieben — tatsächlich ist es Wurzel aus fünfundzwanzig, also fünf. Wer in Potenzen denkt, macht diesen Fehler gar nicht: Für Summen gibt es auch dort kein Gesetz.
7. 1:19Zum Mitnehmen: eine Zeile statt einer Tabelle. Eines wandert allerdings nicht mit — die Voraussetzung. Dass a nicht negativ sein darf, steht in den Wurzelgesetzen dabei; in der Potenzschreibweise muss man selbst daran denken.

Potenzen: warum Malnehmen leicht ist und Addieren nicht

1. 0:00Zwei Terme, die fast gleich aussehen. Der eine lässt sich zu einem einzigen Symbol zusammenziehen, der andere überhaupt nicht. Der Unterschied ist ein einziges Zeichen.
2. 0:10Erste Stufe, reine Punktrechnung. Drei Faktoren mal fünf Faktoren sind acht. Und fünf Mal je drei Faktoren sind fünfzehn. Zwei Gesetze, zwei fertige Ergebnisse.
3. 0:21Zweite Stufe, mehr Faktoren und eine Klammer. Zwei x hoch drei y, das Ganze zum Quadrat: Der Exponent verteilt sich auf jeden Faktor, auch auf die Zwei. Vier x hoch sechs y Quadrat, mal drei x — zwölf x hoch sieben y Quadrat.
4. 0:37Dritte Stufe, jetzt noch ein Bruch dazu. Oben vier x hoch sechs mal x hoch vier, das gibt vier x hoch zehn. Geteilt durch vier x hoch fünf bleibt x hoch fünf. Egal wie lang der Term ist — solange nur Punktoperationen darin vorkommen, bleibt am Schluss ein einziger Term stehen.
5. 0:55Und jetzt dasselbe mit einem Plus. x hoch drei plus x hoch fünf — hier hört es auf. Es gibt kein Gesetz für Summen. Wer trotzdem x hoch acht schreibt, kann es an Zahlen prüfen: Für x gleich zwei sind es acht plus zweiunddreissig, also vierzig. Zwei hoch acht ist zweihundertsechsundfünfzig.
6. 1:12Eines geht bei Strich doch: gleichartige Glieder zusammenfassen. x hoch drei plus x hoch drei ist zwei x hoch drei — die Exponenten bleiben stehen, gezählt werden die Glieder. Wer hier x hoch sechs schreibt, verwechselt Addieren mit Malnehmen.
7. 1:26Im gemischten Term macht man beides der Reihe nach: zuerst die Punktoperationen, denn nur die vereinfachen wirklich. Zwei x hoch drei mal x hoch zwei wird zwei x hoch fünf. Erst danach sieht man, dass zwei gleichartige Glieder dastehen — zusammen sieben x hoch fünf.
8. 1:42Zum Mitnehmen: Punktoperationen ziehen jeden Potenzterm auf ein einziges Glied zusammen, egal wie lang er ist. Strichoperationen können gar nichts — ausser gleichartige Glieder zählen. Dasselbe Muster wie bei den Bruchtermen: Punkt macht Faktoren, Strich macht eine Summe.

Potenzen: Quadrat, Potenz und Wurzel am Rechner

1. 0:00Potenzen und Wurzeln liegen auf vier Tasten. Drei davon sind schnell erklärt. Die vierte Sache ist keine Taste, sondern ein Pfeil — und genau daran scheitern die meisten Eingaben.
2. 0:10Für das Quadrat gibt es eine eigene Taste — ein Anschlag statt drei. Für jede andere Potenz nimmst du das Dach. Der Exponent erscheint erhöht, genau wie im Heft.
3. 0:20Und jetzt die Falle. Nach dem Dach steht der Cursor oben im Exponenten und bleibt dort. Tippst du weiter, rechnet der Rechner zwei hoch fünf plus drei — also zwei hoch acht, zweihundertsechsundfünfzig. Erst die Pfeiltaste nach rechts bringt dich wieder auf die Grundlinie. Dann sind es fünfunddreissig.
4. 0:37Die Quadratwurzel steht auf der zweiten Ebene über dem Quadrat — dieselbe Taste, umgekehrte Rechnung. Für jede andere Wurzel gibt es die x-te Wurzel: erst den Wurzelexponenten tippen, dann die Taste, dann den Radikanden. Die fünfte Wurzel aus zweiunddreissig ist zwei.
5. 0:54Sauber gelöst zeigt der Rechner die Wurzel exakt: aus Wurzel acht wird zwei Wurzel zwei. Die Umwandlungstaste macht daraus den Näherungswert — und wieder zurück.
6. 1:04Ein Potenzturm wird von oben nach unten gerechnet: zwei hoch drei hoch zwei heisst zwei hoch neun, also fünfhundertzwölf. Genau das macht die Dach-Taste im MathPrint-Modus. Mit der Quadrattaste dagegen geht es von links nach rechts — drei zum Quadrat, das Ganze zum Quadrat, gibt einundachtzig.
7. 1:21Zum Mitnehmen: Quadrat und Dach für die Potenzen, die zweite Ebene für die Wurzeln. Nach dem Exponenten die Pfeiltaste nach rechts. Und ein Turm wird von oben gerechnet.

Runden: drei signifikante Stellen

1. 0:00Auf drei signifikante Stellen runden. Nicht auf drei Nachkommastellen.
2. 0:09Gezählt wird ab der ersten Ziffer, die nicht null ist.
3. 0:17Die vierte Ziffer ist eine Vier, also wird abgerundet. Die restlichen Stellen werden zu Nullen.
4. 0:23Und jetzt der Punkt: dieselbe Länge in Kilometern, dieselben drei Ziffern.
5. 0:31Nachkommastellen hängen an der Einheit, signifikante Stellen nicht. Darum gibt man Genauigkeit so an.

Runden: was das mode-Menü an der Anzeige ändert — und was nicht

1. 0:00Die mode-Taste öffnet sechs Zeilen. Sie sehen alle gleich harmlos aus — sind es aber nicht. Zwei davon ändern nur, wie das Ergebnis aussieht. Die anderen vier ändern, welches Ergebnis herauskommt.
2. 0:12Von oben nach unten: Winkelmass, Notation, Nachkommastellen, komplexe Zahlen, Zahlensystem und die Darstellung. Hervorgehoben steht jeweils die Voreinstellung — blau markiert ist hier, womit der Rechner ab Werk arbeitet.
3. 0:26Die dritte Zeile stellt die Nachkommastellen. Mit FIX zwei zeigt ein Drittel null Komma drei drei. Rechnest du damit weiter, kommt trotzdem genau eins heraus — nicht null Komma neun neun. Intern steht der volle Wert, die Anzeige ist nur ein Fenster darauf.
4. 0:41Ganz anders die erste Zeile. Sinus von dreissig ist ein Halb, solange der Rechner in Grad steht. Steht er auf Bogenmass, kommt minus null Komma neun acht acht heraus — dreissig Bogenmass sind eben nicht dreissig Grad. Hier ändert der Modus nicht die Anzeige, sondern das Ergebnis.
5. 0:57Und die letzte Zeile entscheidet, wie Eingabe und Ergebnis aussehen. Im MathPrint-Modus steht der Bruch zweistöckig wie im Heft, im klassischen Modus einzeilig. Das ist mehr als Schönheit: Im klassischen Modus wird auch ein Potenzturm anders abgearbeitet.
6. 1:12Zum Mitnehmen: Notation und Nachkommastellen betreffen nur die Anzeige. Winkelmass, komplexe Zahlen, Zahlensystem und Darstellung greifen in die Rechnung ein. Wenn ein Ergebnis nicht passt, ist der erste Blick auf die Kopfzeile.

Zehnerpotenzen: wissenschaftlich, technisch, Vorsilbe

1. 0:00Ein Widerstand von siebenundvierzigtausend Ohm. Drei Arten, das zu schreiben.
2. 0:09Wissenschaftlich: genau eine Ziffer vor dem Punkt.
3. 0:17Technisch: der Exponent muss durch drei teilbar sein. Dafür stehen vorn ein bis drei Ziffern.
4. 0:23Und die Vorsilbe ist nur ein anderer Name für dieselbe Zehnerpotenz.
5. 0:31Dasselbe nach unten: zweiundzwanzig Mikrofarad.
6. 0:41Zum Mitnehmen: Dieselbe Zahl, drei Schreibweisen. Die wissenschaftliche normiert die Mantisse, die technische wählt den Exponenten aus der Dreierreihe — und nur die trägt eine Vorsilbe.

Zehnerpotenzen: mit EE eingeben, in ENG die Vorsilbe ablesen

1. 0:00In der Physik steht kaum eine Zahl ohne Zehnerpotenz. Der Rechner hat dafür eine eigene Taste — und einen Modus, der das Ergebnis gleich so anzeigt, dass die Einheitenvorsilbe dasteht.
2. 0:11Die Taste EE bedeutet „mal zehn hoch“. Zwei, EE, fünf heisst zwei mal zehn hoch fünf — und in der Anzeige steht ein E, kein Malzeichen und kein Dach. Das Ergebnis ist zweihunderttausend.
3. 0:22Ist der Exponent negativ, gilt dieselbe Regel wie vorn an der Zahl: Das Vorzeichen kommt von der Taste in Klammern, nicht von der Minustaste. Zwei EE minus drei sind null Komma null null zwei.
4. 0:34Jetzt die Anzeige. Siebenundvierzigtausend Ohm zeigt der Rechner wissenschaftlich als vier Komma sieben E vier: eine Ziffer vorn. Im Modus ENG dagegen als siebenundvierzig E drei — der Exponent ist immer durch drei teilbar.
5. 0:47Und genau darum ist ENG der Physik-Modus: Jeder Exponent aus der Dreierreihe hat einen Namen. Eine Frequenz von fünfzehn Megahertz gibt eine Periodendauer von sechs Komma sieben E minus acht Sekunden — schwer zu lesen. In ENG steht dort sechsundsechzig E minus neun, und E minus neun heisst nano: rund siebenundsechzig Nanosekunden.
6. 1:08Zum Mitnehmen: EE tippt „mal zehn hoch“. Das Vorzeichen im Exponenten kommt von der Vorzeichentaste. Und ENG stellt den Exponenten auf die Dreierreihe — dort, wo die Vorsilben stehen.

Zehnerpotenzen: Naturkonstanten aus dem Rechner holen

1. 0:00Die Avogadro-Zahl, die Lichtgeschwindigkeit, die Elementarladung — alles Zahlen, die man nachschlägt und abtippt. Genau dort passiert der Fehler: Eine Ziffer verrutscht, und dem Ergebnis sieht man es nicht an. Der Rechner kennt zwanzig dieser Konstanten selber.
2. 0:16Zweit-Taste, constants. Es gibt zwei Untermenüs mit denselben zwanzig Konstanten: NAMES zeigt neben dem Zeichen eine Kurzbezeichnung, UNITS zeigt statt dessen die Masseinheit. Mit den Pfeilen links und rechts wechselst du zwischen den beiden, mit auf und ab blätterst du durch die Liste.
3. 0:32Die Aufgabe mit dem Wassertropfen von dieser Seite: Ein Tropfen wiegt rund null Komma null fünf Gramm, ein Mol Wasser wiegt achtzehn Gramm. Also Tropfenmasse durch Molmasse mal Avogadro-Zahl — und die Zahl holst du aus dem Menü statt sie abzutippen.
4. 0:46Und jetzt dasselbe mit der abgetippten Zahl, sechs Komma null zwei zwei mal zehn hoch dreiundzwanzig. Ab der fünften Stelle laufen die beiden auseinander. Das Menü zeigt die Konstante gerundet an, rechnet aber mit dem vollen Wert — sechs Komma null zwei zwei eins vier null acht fünf sieben.
5. 1:03Und weil Konstanten praktisch immer in Zehnerpotenzen stehen, lohnt sich hier der ENG-Modus. Die Lichtgeschwindigkeit ist zweihundertneunundneunzig Millionen siebenhundertzweiundneunzigtausend vierhundertachtundfünfzig Meter pro Sekunde. In ENG steht dort zweihundertneunundneunzig Komma sieben neun zwei mal zehn hoch sechs — und zehn hoch sechs heisst Mega.
6. 1:24Drei Dinge bleiben deine Arbeit. Die Einheit steht im Untermenü UNITS, nicht im Ergebnis — ins Heft schreibst du sie selber. Die Erdbeschleunigung im Menü ist der Normwert, nicht der Wert an deinem Ort. Und welche Konstante überhaupt zur Aufgabe gehört, entscheidet nur, wer die Aufgabe verstanden hat.
7. 1:42Holen statt abtippen — und die Einheit selber mitschreiben.