1.4 Zehnerpotenzen und Quadratwurzeln
Sehr grosse oder sehr kleine Grössen, das Quadrat der Schräge eines Dachs, der Innenwiderstand eines Bauteils — Naturwissenschaften und Technik leben mit Potenzen und Wurzeln. Dieses Kapitel zeigt die Rechenregeln und ihre praktische Anwendung in der wissenschaftlichen Notation.
- Wurzel- und Potenzgesetze verstehen und anwenden auch ohne Hilfsmittel
- Hierarchie der Operationen erkennen und anwenden
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Zehnerpotenzen mit positiven und negativen Exponenten deuten und umrechnen.
- Ich kann Zahlen in wissenschaftlicher Notation schreiben, lesen und vergleichen.
- Ich kann die Potenzgesetze anwenden — bei gleicher Basis bzw. gleichem Exponenten.
- Ich kann die Quadratwurzel definieren und die Wurzelgesetze nutzen.
- Ich kann gemischte Terme mit Potenzen, Wurzeln und Klammern in der richtigen Reihenfolge auswerten.
Einstieg — Vom Kosmos zum Atom
Die Erde wiegt etwa \(5\,972\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\) kg, ein Wassermolekül etwa \(0.00000000000000000000000003\) kg. Mit so vielen Nullen lässt sich nicht angenehm rechnen — und schon ein Schreibfehler macht die Zahl um Faktor 10 oder 100 falsch.
Die Lösung ist die wissenschaftliche Notation:
\[ 5.972 \cdot 10^{24} \text{ kg} \qquad \text{und} \qquad 3.0 \cdot 10^{-26} \text{ kg.} \]Beide Zahlen sind nun ablesbar, vergleichbar — und das Verhältnis (wie viele Wassermoleküle wiegen zusammen so viel wie die Erde?) lässt sich in einer Zeile ausrechnen. Wer Zehnerpotenzen sicher beherrscht, dem stehen Naturwissenschaften und Technik offen.
Quadrieren und Wurzelziehen sind Umkehroperationen: aus der Seite \(s\) wird die Diagonale \(d = s\sqrt{2}\), aus der Diagonale wird die Seite \(s = d / \sqrt{2}\). Wer das eine kann, muss auch das andere können.
Schieb in der Animation den Zoom-Regler von ganz klein bis ganz gross. Jede Stufe entspricht einer Zehnerpotenz — und an jeder Stelle ist ein Alltagsobjekt einsortiert. So bekommt der trockene Exponent ein Bild.
Zehnerpotenzen
Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz mit Basis 10:
\[ 10^n \;=\; \underbrace{10 \cdot 10 \cdot \ldots \cdot 10}_{n \text{ Faktoren}} \qquad (n \in \mathbb{N}) \]Negative Exponenten erweitern den Bereich nach unten:
\[ 10^{-n} \;=\; \dfrac{1}{10^n} \]Und \(10^0 = 1\) — jede Potenz mit Exponent 0 hat den Wert 1 (so dass die Potenzgesetze ohne Sonderfall durchlaufen).
Der Exponent bei \(10^n\) ist die Anzahl Stellen, um die der Dezimalpunkt verschoben wird — bei positivem \(n\) nach rechts (Zahl wird grösser), bei negativem \(n\) nach links (Zahl wird kleiner).
✏️ Mini-Check — Zehnerpotenzen
\(10^{-3} = \;?\)
- \(-1000\)
- \(0.001\)
- \(-0.001\)
Lösung anzeigen
\(10^0 =\) .
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Berechne \(10^2 \cdot 10^3\).
Lösung anzeigen
Schreibe \(4.7 \cdot 10^4\) als gewöhnliche Zahl — mit der Dezimalpunkt-Verschiebungs-Regel.
Lösungsweg anzeigen
Wissenschaftliche Notation
In der wissenschaftlichen Notation wird jede Zahl als Produkt einer Mantisse mit einer Zehnerpotenz geschrieben:
\[ a \cdot 10^n \qquad \text{mit } 1 \leq |a| < 10 \text{ und } n \in \mathbb{Z}. \]Die Mantisse \(a\) hat genau eine Ziffer vor dem Dezimalpunkt — diese eindeutige Form heisst auch normierte wissenschaftliche Notation.
| Zahl | Wissenschaftlich | Engineering | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| \(46\,000\) | \(4.6 \cdot 10^4\) | \(46 \cdot 10^3\) | 46 Tausend · 46 k |
| \(123\,456\) | \(1.23456 \cdot 10^5\) | \(123.456 \cdot 10^3\) | 123 k |
| \(2\,500\,000\) | \(2.5 \cdot 10^6\) | \(2.5 \cdot 10^6\) | 2.5 Millionen · 2.5 M |
| \(47\,000\,000\) | \(4.7 \cdot 10^7\) | \(47 \cdot 10^6\) | 47 M |
| \(7.5\) | \(7.5 \cdot 10^0\) | \(7.5 \cdot 10^0\) | unverändert |
| \(0.0023\) | \(2.3 \cdot 10^{-3}\) | \(2.3 \cdot 10^{-3}\) | 2.3 Tausendstel · 2.3 m |
| \(0.000\,047\) | \(4.7 \cdot 10^{-5}\) | \(47 \cdot 10^{-6}\) | 47 µ (Mikro) |
| \(0.000\,000\,82\) | \(8.2 \cdot 10^{-7}\) | \(820 \cdot 10^{-9}\) | 820 n (Nano) |
Die Engineering-Darstellung ist eine Variante der wissenschaftlichen Notation, bei der der Exponent immer ein Vielfaches von 3 ist:
\[ a \cdot 10^n \qquad \text{mit } 1 \leq |a| < 1000 \text{ und } n \in \{\ldots, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, \ldots\}. \]Die Mantisse darf also bis 999.999… gehen, dafür liegt der Exponent immer auf einer „Vorsatz-Stufe": \(10^3\) (Kilo), \(10^6\) (Mega), \(10^9\) (Giga) usw. — und genauso \(10^{-3}\) (Milli), \(10^{-6}\) (Mikro), \(10^{-9}\) (Nano).
Bedeutung in Physik, Technik und Ingenieurwesen: Engineering-Notation passt nahtlos zu den SI-Einheitenvorsilben. Wer \(47 \cdot 10^{-6}\,\text{F}\) liest, denkt direkt „47 Mikrofarad" und schreibt \(47\,\mu\text{F}\). Bei \(4.7 \cdot 10^{-5}\,\text{F}\) ist diese Brücke weniger direkt — man muss den Exponenten erst „auf 10⁻⁶ verschieben". Darum bevorzugen Datenblätter, Schaltpläne und technische Tabellen die Engineering-Form: sie ist die Sprache, in der man Bauteilwerte ausdrückt (z.B. \(2.2\,\text{k}\Omega\), \(820\,\text{nH}\), \(15\,\text{MHz}\)).
Probier selbst
Eine Glasfaserlänge: \(2.4 \cdot 10^3\) m wird mit Datendichte \(8 \cdot 10^9\) Bit/m bespielt. Wieviel Daten können gespeichert werden?
\[ (2.4 \cdot 10^3) \cdot (8 \cdot 10^9) \;=\; (2.4 \cdot 8) \cdot 10^{3 + 9} \;=\; 19.2 \cdot 10^{12} \;=\; 1.92 \cdot 10^{13} \text{ Bit.} \]Die Mantissen werden multipliziert, die Exponenten addiert. Am Ende normiert man, falls die Mantisse \(\geq 10\) wird — hier verschiebt sich der Exponent um eins.
✏️ Mini-Check — Wissenschaftliche Notation
\(5972 \cdot 10^{21}\) kg in wissenschaftlicher Notation?
- \(5.972 \cdot 10^{24}\)
- \(59.72 \cdot 10^{23}\)
- \(0.5972 \cdot 10^{25}\)
Lösung anzeigen
In wissenschaftlicher Notation \(m \cdot 10^n\) gilt für die Mantisse: \(1 \leq m <\) .
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Schreibe \(0.00042\) in wissenschaftlicher Notation.
Lösung anzeigen
Welche Zahl ist grösser: \(3.1 \cdot 10^5\) oder \(9.8 \cdot 10^4\)?
Lösungsweg anzeigen
Potenzgesetze ↗ 1.3
Die folgenden Regeln gelten für jede Basis \(a, b\) (mit \(a, b \neq 0\) wo Division oder negative Exponenten auftreten) und ganzzahlige Exponenten \(n, m\):
| Name | Regel | numerisches Beispiel | Algebrabeispiel |
|---|---|---|---|
| P1 — gleiche Basis multiplizieren | \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\) | \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128\) | \(x^2 \cdot x^5 = x^7\) |
| P2 — gleiche Basis dividieren | \(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\) | \(\dfrac{2^7}{2^3} = 2^4 = 16\) | \(\dfrac{x^5}{x^2} = x^3\) |
| P3 — Potenz einer Potenz | \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\) | \((10^3)^2 = 10^6\) | \((x^4)^3 = x^{12}\) |
| P4 — Produkt potenzieren | \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) | \((2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4\) | \((xy)^3 = x^3 y^3\) |
| P5 — Quotient potenzieren | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) | \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}\) | \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^4 = \dfrac{x^4}{y^4}\) |
| P6 — Exponent null | \(a^0 = 1\) (\(a \neq 0\)) | \(7^0 = 1\) | \(x^0 = 1\) |
| P7 — negative Exponenten | \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) | \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\) | \(x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}\) |
Die Regel \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\) gilt nur bei gleicher Basis!
\(2^3 \cdot 5^4 \neq 10^7\). Der Wert ist \(8 \cdot 625 = 5\,000\), nicht \(10^7 = 10\,000\,000\). Bei verschiedenen Basen lässt sich nichts vereinfachen — höchstens mit P4 zusammenfassen, wenn die Exponenten gleich sind: \(2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^4 = 10^4\).
✏️ Mini-Check — Potenzgesetze
\(2^3 \cdot 5^4 = \;?\)
- \(10^7\)
- \(10^{12}\)
- lässt sich nicht zu einer Potenz zusammenfassen
Lösung anzeigen
Bei gleicher Basis gilt \(a^n \cdot a^m = a^{\,n\; \square\; m}\) mit \(\square =\) .
Lösung anzeigen
Berechne \((10^2)^3\).
Lösung anzeigen
Vereinfache \(\dfrac{4^5}{4^3}\) und gib den Wert an.
Lösungsweg anzeigen
Quadratwurzeln
Die Quadratwurzel aus einer nichtnegativen Zahl \(a\) ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(a\) ergibt:
\[ \sqrt{a} \;=\; b \quad \Longleftrightarrow \quad b \geq 0 \text{ und } b^2 = a \qquad (a \geq 0). \]Wichtig: \(\sqrt{a}\) ist per Definition nichtnegativ. Beim Lösen einer Gleichung wie \(x^2 = 9\) ergeben sich zwei Lösungen \(x = +3\) und \(x = -3\) — der Funktionswert \(\sqrt{9}\) selbst aber ist nur \(+3\).
Diese Quadratzahlen gehören zum Standard-Repertoire — sie helfen beim Kopfrechnen und beim Erkennen binomischer Formeln rückwärts.
\(\sqrt{a^2} = |a|\), nicht einfach \(a\). Beispiel: \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\), nicht \(-3\). Die Wurzelfunktion wirft das Vorzeichen weg.
Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen ↩ 1.2
Wurzeln aus Zahlen, die keine perfekten Quadrate sind, ergeben irrationale Zahlen — sie besitzen unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode. Einige besonders häufige lohnt es sich, ungefähr im Kopf zu haben:
\[ \sqrt{2} \approx 1.4142 \qquad \sqrt{3} \approx 1.7321 \qquad \sqrt{5} \approx 2.2361 \qquad \sqrt{7} \approx 2.6458 \qquad \sqrt{10} \approx 3.1623 \]Solche Wurzeln werden in exakten Rechnungen nicht ausgewertet — man rechnet symbolisch weiter und wertet erst am Schluss numerisch aus, falls nötig.
Ohne Taschenrechner schätzt man sie durch Einschachteln: Man sucht die beiden benachbarten Quadratzahlen und halbiert das Intervall so lange, bis die Genauigkeit reicht.
Wurzelgesetze
Aus den Potenzgesetzen lassen sich die Wurzelgesetze ableiten — denn die Wurzel ist ein Spezialfall der Potenz:
\[ \sqrt{a} \;=\; a^{1/2} \qquad\text{allgemein:}\qquad \sqrt[n]{a} \;=\; a^{1/n} \]| Name | Regel (Wurzelform) | als Potenz mit Bruchexponent | Voraussetzung | numerisches Beispiel | Algebrabeispiel |
|---|---|---|---|---|---|
| W0 — Wurzel als Potenz | \(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\) | \(a^{1/n}\) | \(a \geq 0,\, n \in \mathbb{N}^*\) | \(\sqrt{9} = 9^{1/2} = 3\) | \(x \cdot \sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}\) |
| W1 — Produktwurzel (Wurzeln multiplizieren) | \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\) | \(a^{1/2} \cdot b^{1/2} = (ab)^{1/2}\) | \(a, b \geq 0\) | \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\) | \(\sqrt{18x} \cdot \sqrt{2x} = \sqrt{36x^2} = 6x\) (\(x \geq 0\)) |
| W2 — Quotientenwurzel | \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\) | \(\dfrac{a^{1/2}}{b^{1/2}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{1/2}\) | \(a \geq 0,\, b > 0\) | \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5\) | \(\dfrac{\sqrt{50x^3}}{\sqrt{2x}} = \sqrt{25x^2} = 5x\) (\(x > 0\)) |
| W3 — Wurzel einer Wurzel | \(\sqrt{\sqrt{a}} = \sqrt[4]{a}\) | \((a^{1/2})^{1/2} = a^{1/4}\) | \(a \geq 0\) | \(\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt{4} = 2\) | \(\sqrt{\sqrt{81x^4}} = \sqrt{9x^2} = 3x\) (\(x \geq 0\)) |
| W4 — Produkt unter der Wurzel | \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) | \((ab)^{1/2} = a^{1/2} \cdot b^{1/2}\) | \(a, b \geq 0\) | \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\) | \(\sqrt{72x^2 y} = 6x\sqrt{2y}\) (\(x, y \geq 0\)) |
| W5 — Quotient unter der Wurzel | \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{1/2} = \dfrac{a^{1/2}}{b^{1/2}}\) | \(a \geq 0,\, b > 0\) | \(\sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}\) | \(\sqrt{\dfrac{12x^2}{3}} = \sqrt{4x^2} = 2x\) (\(x \geq 0\)) |
| W6 — Wurzel aus 1 | \(\sqrt{1} = 1\) | \(1^{1/2} = 1\) | — | \(\sqrt{1} = 1\) | \(\sqrt{1} + (3x)^0 = 1 + 1 = 2\) (\(x \neq 0\)) |
| W7 — Wurzel im Nenner / negativer Exponent | \(\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\dfrac{1}{a}}\) | \(\dfrac{1}{a^{1/2}} = a^{-1/2}\) | \(a > 0\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2} = 4^{-1/2}\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}}{x}\) (\(x > 0\)) |
| W8 — Wurzel quadrieren | \((\sqrt{a})^2 = a\) | \((a^{1/2})^2 = a^{1}\) | \(a \geq 0\) | \((\sqrt{7})^2 = 7\) | \((\sqrt{x+3})^2 = x + 3\) (\(x \geq -3\)) |
| W9 — Quadrat unter der Wurzel | \(\sqrt{a^2} = |a|\) | \((a^2)^{1/2} = |a|\) | \(a \in \mathbb{R}\) | \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\) | \(\sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|\) |
\(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Probe: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), aber \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\) — nicht dasselbe!
Teilweises Wurzelziehen
Wurzeln werden so weit wie möglich vereinfacht, indem perfekte Quadrate aus dem Radikanden herausgezogen werden:
\[ \sqrt{72} \;=\; \sqrt{36 \cdot 2} \;=\; \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} \;=\; 6 \sqrt{2}. \]| Wurzel | Zerlegung | Vereinfacht |
|---|---|---|
| \(\sqrt{12}\) | \(\sqrt{4 \cdot 3}\) | \(2\sqrt{3}\) |
| \(\sqrt{18}\) | \(\sqrt{9 \cdot 2}\) | \(3\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{20}\) | \(\sqrt{4 \cdot 5}\) | \(2\sqrt{5}\) |
| \(\sqrt{50}\) | \(\sqrt{25 \cdot 2}\) | \(5\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{75}\) | \(\sqrt{25 \cdot 3}\) | \(5\sqrt{3}\) |
| \(\sqrt{200}\) | \(\sqrt{100 \cdot 2}\) | \(10\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{x^3}\) für \(x \geq 0\) | \(\sqrt{x^2 \cdot x}\) | \(x\sqrt{x}\) |
Nenner rational machen
Wurzeln im Nenner werden durch Erweitern entfernt:
\[ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \;=\; \dfrac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \;=\; \dfrac{\sqrt{2}}{2}. \]Bei Summen mit Wurzel im Nenner hilft die dritte binomische Formel rückwärts:
\[ \dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \;=\; \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} \;=\; \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} \;=\; \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}. \]✏️ Mini-Check — Wurzeln und Wurzelgesetze
\(\sqrt{9 + 16} = \;?\)
- \(7\)
- \(5\)
- \(3 + 4\)
Lösung anzeigen
\(\sqrt{a}\) ist für \(a \geq 0\) die Zahl, deren Quadrat \(a\) ergibt.
Lösung anzeigen
Berechne \(\sqrt{36 \cdot 25}\) mit einem Wurzelgesetz.
Lösung anzeigen
Gilt \(\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)? Begründe mit einem Gegenbeispiel.
Lösungsweg anzeigen
Hierarchie — wenn Potenzen, Wurzeln und Operationen aufeinandertreffen ↩ 1.1
Aus Kapitel 1.1 kennst du die Hierarchie der Operationen. Mit Potenzen und Wurzeln wird sie um zwei Stufen erweitert:
- Klammern
- Potenzen und Wurzeln (gleichberechtigt — jeweils im Innersten zuerst)
- Punktrechnungen (Multiplikation, Division)
- Strichrechnungen (Addition, Subtraktion)
Reihenfolge: erst die Klammer \((5 - 1) = 4\), dann Wurzel und Potenz, dann Multiplikation, zuletzt Addition und Subtraktion.
\(-3^2 = -(3^2) = -9\) (Potenz bindet stärker als das Vorzeichen).
\((-3)^2 = 9\) (Klammer schliesst die \(-3\) ein und das Quadrat wirkt auf das Ganze).
Diesen Unterschied prüfen Taschenrechner unterschiedlich aus — bewusst Klammern setzen!
✏️ Mini-Check — Hierarchie mit Potenzen und Wurzeln
\(-3^2 = \;?\)
- \(9\)
- \(-9\)
- \(\pm 9\)
Lösung anzeigen
Die Potenz bindet stärker als das .
Lösung anzeigen
Berechne \(2 \cdot (5 - 1)^2\).
Lösung anzeigen
Berechne \(3 \cdot \sqrt{25} - 2^2\) — in der richtigen Reihenfolge.
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Schreibe in normierter wissenschaftlicher Notation \(a \cdot 10^n\) mit \(1 \leq |a| < 10\):
- \(58\,000\)
- \(0.0042\)
- \(0.000\,000\,019\)
- \(7\,200\,000\,000\)
Und umgekehrt — als Dezimalzahl ausschreiben:
- \(3.14 \cdot 10^5\)
- \(6.5 \cdot 10^{-4}\)
- \(5.8 \cdot 10^4\)
- \(4.2 \cdot 10^{-3}\)
- \(1.9 \cdot 10^{-8}\)
- \(7.2 \cdot 10^9\)
- \(3.14 \cdot 10^5 = 314\,000\)
- \(6.5 \cdot 10^{-4} = 0.000\,65\)
Vereinfache ohne Hilfsmittel:
- \(3^4 \cdot 3^2\)
- \(\dfrac{5^7}{5^4}\)
- \((2^3)^2\)
- \(6^{-2}\)
- \(\dfrac{a^5 \cdot a^{-2}}{a^4}\)
- \((2 x^3)^4\)
- \(3^{4+2} = 3^6 = 729\)
- \(5^{7-4} = 5^3 = 125\)
- \(2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64\)
- \(6^{-2} = 1/36\)
- \(\dfrac{a^{5 - 2}}{a^4} = \dfrac{a^3}{a^4} = a^{-1} = \dfrac{1}{a}\)
- \(2^4 \cdot x^{3 \cdot 4} = 16 x^{12}\)
Schreibe als \(k \cdot \sqrt{m}\) mit kleinstmöglichem \(m\):
- \(\;\sqrt{18}\)
- \(\;\sqrt{147}\)
- \(\;\sqrt{162}\)
- \(\;\sqrt{45 x^2}\) (mit \(x \geq 0\))
- \(\sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)
- \(\sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}\)
- \(\sqrt{9 \cdot 5 \cdot x^2} = 3 x \sqrt{5}\) (mit \(x \geq 0\), sonst \(3|x|\sqrt{5}\))
Bring die Wurzel aus dem Nenner:
- \(\;\dfrac{6}{\sqrt{3}}\)
- \(\;\dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}\)
- \(\dfrac{6}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}\).
- Mit \((\sqrt{2} - 1)\) erweitern (3. binomische Formel): \(\dfrac{1 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1\).
Berechne ohne Hilfsmittel:
- \(\;5 + 3 \cdot \sqrt{49} - 2^3\)
- \(\;\sqrt{25 - 9} + 4 \cdot 2^2\)
- \(\;\sqrt{(-4)^2} + (-2)^3\)
- \(\;-3^2 + (-3)^2\)
- \(5 + 3 \cdot 7 - 8 = 5 + 21 - 8 = 18\).
- \(\sqrt{16} + 4 \cdot 4 = 4 + 16 = 20\). Beachten: erst \(25 - 9\) unter der Wurzel!
- \(\sqrt{16} + (-8) = 4 - 8 = -4\).
- \(-3^2 + (-3)^2 = -9 + 9 = 0\). Vorzeichen-Falle: bei \(-3^2\) bindet die Potenz stärker als das vorangestellte Minus — also erst \(3^2 = 9\), dann das Vorzeichen anwenden: \(-9\). Bei \((-3)^2\) ist die Klammer Teil der Basis: \((-3)\cdot(-3) = +9\).
Ein Mikrocontroller schaltet ein digitales Signal in 4 Nanosekunden (\(4 \cdot 10^{-9}\) s) um. Pro Sekunde schaltet er also \(\dfrac{1}{4 \cdot 10^{-9}}\) mal.
- Wie viele Schaltvorgänge sind das pro Sekunde? Gib die Antwort in wissenschaftlicher Notation und in MHz an (\(1 \text{ MHz} = 10^6\) Schaltungen/s).
- Wie viele Schaltvorgänge schafft der Controller in 1 Stunde?
- \(\dfrac{1}{4 \cdot 10^{-9}} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{10^{-9}} = \dfrac{1}{4} \cdot 10^{9} = 0.25 \cdot 10^9 = 2.5 \cdot 10^8\) Schaltvorgänge pro Sekunde — das sind \(250 \cdot 10^6\) Hz oder 250 MHz. Zur Vorzeichen-Hierarchie: Das Dividieren durch \(10^{-9}\) ist dasselbe wie Multiplizieren mit \(10^{+9}\) — der Exponent wechselt das Vorzeichen.
- Pro Stunde: \(2.5 \cdot 10^8 \cdot 3600 = 9 \cdot 10^{11}\) Schaltvorgänge — also 900 Milliarden (= 0.9 Billionen).
Ein Wassertropfen hat ein Volumen von etwa \(0.05\,\text{mL}\). Der Atlantik enthält rund \(3.1 \cdot 10^{20}\,\text{L}\) Wasser.
- Wandle den Tropfen-Wert in wissenschaftliche Notation (in Litern) um
- Berechne, wie viele Tropfen in den Atlantik passen würden
- Vergleiche mit der Avogadro-Zahl \(6.022 \cdot 10^{23}\): wo liegt das Atlantik-Tropfen-Verhältnis?
- \(0.05\,\text{mL} = 0.05 \cdot 10^{-3}\,\text{L} = 5 \cdot 10^{-5}\,\text{L}\).
- Anzahl Tropfen = \(\dfrac{3.1 \cdot 10^{20}}{5 \cdot 10^{-5}} = \dfrac{3.1}{5} \cdot 10^{20 - (-5)} = 0.62 \cdot 10^{25} = 6.2 \cdot 10^{24}\) Tropfen.
- \(6.2 \cdot 10^{24}\) Tropfen entsprechen etwa \(10\)-mal der Avogadro-Zahl — anders ausgedrückt: in einem Mol Wassermolekülen (\(6.022 \cdot 10^{23}\)) stecken etwa so viele Moleküle, wie ein Zehntel der Atlantik-Tropfen-Zahl. Beide Grössenordnungen sind im Alltag unvorstellbar — und genau das macht die wissenschaftliche Notation nützlich.
Zusammenfassung
- Zehnerpotenzen kürzen lange Zahlen ab. Wissenschaftliche Notation: \(a \cdot 10^n\) mit \(1 \leq |a| < 10\).
- Potenzgesetze nur bei gleicher Basis anwendbar. Multiplikation addiert, Division subtrahiert die Exponenten; Potenz einer Potenz multipliziert sie.
- Quadratwurzel ist die nichtnegative Zahl mit Quadrat \(a\). \(\sqrt{a^2} = |a|\) — das Vorzeichen geht verloren.
- Wurzelgesetze: Produkt- und Quotientenwurzel zerlegen, aber: \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
- Hierarchie: Klammern → Potenzen/Wurzeln → Punktrechnung → Strichrechnung.
| Gesetz | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Wissenschaftl. Notation | \(a \cdot 10^n\), \(1 \leq |a| < 10\) | \(4.2 \cdot 10^7\) |
| Produkt gleicher Basis | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) | \(3^4 \cdot 3^2 = 3^6\) |
| Quotient gleicher Basis | \(a^m : a^n = a^{m-n}\) | \(5^7 : 5^4 = 5^3\) |
| Potenz einer Potenz | \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) | \((2^3)^2 = 2^6\) |
| Negativer Exponent | \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) | \(6^{-2} = \dfrac{1}{36}\) |
| Exponent null | \(a^0 = 1\) (für \(a \neq 0\)) | \(7^0 = 1\) |
| Wurzel als Potenz | \(\sqrt{a} = a^{1/2}\) | \(\sqrt{9} = 9^{1/2} = 3\) |
| Produktwurzel | \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) | \(\sqrt{50} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\) |
| Quotientenwurzel | \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\) | \(\sqrt{9/16} = 3/4\) |
| Hierarchie | Klammer ▶ Potenz/Wurzel ▶ Punkt ▶ Strich | — |
Zusatzmaterial
Zu diesem Thema gehören fünf Standardmaterialien — Theorie zum Mitnehmen, Karteikarten zum Auswendiglernen, Aufgabenserien zum Üben: