Zehnerpotenzen \(10^n\) verkürzen sehr grosse oder sehr kleine Zahlen. Der Exponent ist die Anzahl Stellen, um die das Komma verschoben wird — positiv nach rechts, negativ nach links. Es gilt \(10^0 = 1\) und \(10^{-n} = \tfrac{1}{10^n}\).
| Vorsatz | Symbol | Faktor | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Peta | P | \(10^{15}\) | \(1\,\text{Pbyte}\) (Datenzentren) |
| Tera | T | \(10^{12}\) | \(1\,\text{TB} = 10^{12}\,\text{B}\) (Festplatten) |
| Giga | G | \(10^{9}\) | \(1\,\text{GHz} = 10^9\,\text{Hz}\) |
| Mega | M | \(10^{6}\) | \(1\,\text{MB}\) |
| Kilo | k | \(10^{3}\) | \(1\,\text{kg}\) |
| Hekto | h | \(10^{2}\) | \(1\,\text{hPa} = 100\,\text{Pa}\) |
| Deka | da | \(10^{1}\) | \(1\,\text{daN} = 10\,\text{N}\) |
| Dezi | d | \(10^{-1}\) | \(1\,\text{dl} = 0.1\,\text{l}\) |
| Zenti | c | \(10^{-2}\) | \(1\,\text{cm} = 0.01\,\text{m}\) |
| Milli | m | \(10^{-3}\) | \(1\,\text{mm}\) |
| Mikro | µ | \(10^{-6}\) | \(1\,\text{µs}\) |
| Nano | n | \(10^{-9}\) | \(1\,\text{nm}\) |
| Piko | p | \(10^{-12}\) | \(1\,\text{pF}\) (Kondensator) |
| Femto | f | \(10^{-15}\) | \(1\,\text{fs}\) (Atomphysik) |
Form: \(a \cdot 10^n\) mit \(1 \le |a| < 10\) und \(n \in \mathbb{Z}\) — Mantisse genau eine Ziffer vor dem Dezimalpunkt (normierte Form).
Rechnen: Beim Multiplizieren werden die Mantissen multipliziert und die Exponenten addiert: \((2.4 \cdot 10^3) \cdot (8 \cdot 10^9) = 19.2 \cdot 10^{12} = 1.92 \cdot 10^{13}\). Am Ende renormieren, falls die Mantisse \(\ge 10\) wird.
Form: \(a \cdot 10^n\) mit \(1 \le |a| < 1000\) und \(n\) Vielfaches von 3. Die Exponenten liegen auf den SI-Vorsatz-Stufen (\(10^3, 10^6, 10^9, 10^{-3}, 10^{-6}, \ldots\)). Engineering ist die Sprache von Datenblättern und Schaltplänen — \(47 \cdot 10^{-6}\,\text{F}\) liest sich direkt als \(47\,\mu\text{F}\), während die wissenschaftliche Form \(4.7 \cdot 10^{-5}\,\text{F}\) erst „verschoben" werden muss.
| Zahl | Wissenschaftlich | Engineering | Mit Vorsatz |
|---|---|---|---|
| \(46\,000\) | \(4.6 \cdot 10^4\) | \(46 \cdot 10^3\) | 46 k |
| \(2\,500\,000\) | \(2.5 \cdot 10^6\) | \(2.5 \cdot 10^6\) | 2.5 M |
| \(0.000\,047\) | \(4.7 \cdot 10^{-5}\) | \(47 \cdot 10^{-6}\) | 47 µ |
| \(0.000\,000\,82\) | \(8.2 \cdot 10^{-7}\) | \(820 \cdot 10^{-9}\) | 820 n |
| Nr. | Gesetz | numerisches Beispiel | Algebrabeispiel |
|---|---|---|---|
| P1 | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) | \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7\) | \(x^2 \cdot x^5 = x^7\) |
| P2 | \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | \(\dfrac{10^5}{10^2} = 10^3\) | \(\dfrac{x^5}{x^2} = x^3\) |
| P3 | \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) | \((3^2)^4 = 3^8\) | \((x^4)^3 = x^{12}\) |
| P4 | \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) | \((2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4\) | \((2x)^3 = 8x^3\) |
| P5 | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) | \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}\) | \(\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = \dfrac{x^2}{4}\) |
| P6 | \(a^0 = 1\) (\(a \ne 0\)) | \(7^0 = 1\) | \(x^0 = 1\) |
| P7 | \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) | \(2^{-3} = \tfrac{1}{8}\) | \(x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}\) |
Achtung: Diese Gesetze gelten nur bei gleicher Basis. \(2^3 \cdot 5^4 \ne 10^7\); bei verschiedenen Basen lässt sich nur dann zusammenfassen, wenn die Exponenten gleich sind (P4 rückwärts): \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4\).
Die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(a\) ergibt. Definiert nur für \(a \ge 0\). Es gilt \((\sqrt{a})^2 = a\) und \(\sqrt{a^2} = |a|\).
Quadratzahlen kennen (bis \(18^2 = 324\)):
| \(\sqrt{1}{=}1\) | \(\sqrt{4}{=}2\) | \(\sqrt{9}{=}3\) | \(\sqrt{16}{=}4\) | \(\sqrt{25}{=}5\) | \(\sqrt{36}{=}6\) |
| \(\sqrt{49}{=}7\) | \(\sqrt{64}{=}8\) | \(\sqrt{81}{=}9\) | \(\sqrt{100}{=}10\) | \(\sqrt{121}{=}11\) | \(\sqrt{144}{=}12\) |
| \(\sqrt{169}{=}13\) | \(\sqrt{196}{=}14\) | \(\sqrt{225}{=}15\) | \(\sqrt{256}{=}16\) | \(\sqrt{289}{=}17\) | \(\sqrt{324}{=}18\) |
Beim Wurzelziehen aus einem Quadrat ist das Resultat immer der Betrag, weil \(\sqrt{\,}\) per Definition nichtnegativ ist. Beispiel: \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\) — nicht \(-5\). Bei Variablen ohne festgelegtes Vorzeichen: \(\sqrt{x^2} = |x|\), nicht einfach \(x\).
Mit \(\sqrt{a} = a^{1/2}\) (allgemein \(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\)) folgt jedes Wurzelgesetz aus einem Potenzgesetz.
| Nr. | Gesetz | Beispiel / Anwendung |
|---|---|---|
| W0 | \(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\) | \(x \cdot \sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}\) |
| W1 | \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\) | \(\sqrt{18x} \cdot \sqrt{2x} = \sqrt{36x^2} = 6x\) |
| W2 | \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\) | \(\dfrac{\sqrt{50x^3}}{\sqrt{2x}} = \sqrt{25x^2} = 5x\) |
| W3 | \(\sqrt{\sqrt{a}} = \sqrt[4]{a}\) | \(\sqrt{\sqrt{81x^4}} = \sqrt{9x^2} = 3x\) |
| W4 | \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) | \(\sqrt{72x^2y} = 6x\sqrt{2y}\) |
| W5 | \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) | \(\sqrt{\dfrac{12x^2}{3}} = \sqrt{4x^2} = 2x\) |
| W6 | \(\sqrt{1} = 1\) | \(\sqrt{1} + (3x)^0 = 2\) |
| W7 | \(\dfrac{1}{\sqrt{a}} = a^{-1/2}\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}}{x}\) |
| W8 | \((\sqrt{a})^2 = a\) | \((\sqrt{x+3})^2 = x+3\) |
| W9 | \(\sqrt{a^2} = |a|\) | \(\sqrt{x^2 - 6x + 9} = |x-3|\) |
Achtung: \(\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Probe: \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), aber \(\sqrt{9}+\sqrt{16} = 7\). Wurzel zerteilt nur über Produkt und Quotient, nicht über Summen.
Grösste Quadratzahl als Faktor abspalten — von klein nach gross:
| Wurzel | Zerlegung | Vereinfacht |
|---|---|---|
| \(\sqrt{12}\) | \(\sqrt{4 \cdot 3}\) | \(2\sqrt{3}\) |
| \(\sqrt{18}\) | \(\sqrt{9 \cdot 2}\) | \(3\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{20}\) | \(\sqrt{4 \cdot 5}\) | \(2\sqrt{5}\) |
| \(\sqrt{50}\) | \(\sqrt{25 \cdot 2}\) | \(5\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{72}\) | \(\sqrt{36 \cdot 2}\) | \(6\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{75}\) | \(\sqrt{25 \cdot 3}\) | \(5\sqrt{3}\) |
| \(\sqrt{200}\) | \(\sqrt{100 \cdot 2}\) | \(10\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{x^3}\) (\(x \ge 0\)) | \(\sqrt{x^2 \cdot x}\) | \(x\sqrt{x}\) |
Wurzeln gehören nicht in den Nenner. Erweitern mit derselben Wurzel:
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Bei Summen mit Wurzel im Nenner: 3. binomische Formel nutzen — \(\dfrac{1}{\sqrt{3}+1} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\).
Potenz- und Wurzelgesetze gelten auch ohne Hilfsmittel. Wissenschaftliche und Engineering-Notation sind das Werkzeug für Grössenordnungen — vom Atomkern bis zum Universum.