12 Aufgaben — alle auch ohne Hilfsmittel lösbar.
Schreibe in wissenschaftlicher Notation:
(a) \(45\,000\)
(b) \(0{.}00037\)
(c) \(8\,200\,000\,000\)
Drücke mit SI-Vorsatz aus:
(a) \(2{.}5 \cdot 10^{6}\,\text{Hz}\)
(b) \(4 \cdot 10^{-3}\,\text{s}\)
(c) \(7 \cdot 10^{-9}\,\text{m}\)
Vereinfache:
(a) \(2^5 \cdot 2^3\)
(b) \(\dfrac{10^7}{10^4}\)
(c) \((3^2)^4\)
Vereinfache:
(a) \((2x)^3\)
(b) \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^4\)
(c) \(5^0 + 5^{-2}\)
Berechne: \((3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^3)\) — Ergebnis in wissenschaftlicher Notation.
Berechne ohne Taschenrechner:
(a) \(\sqrt{144}\)
(b) \(\sqrt{0{.}25}\)
(c) \(\sqrt{\tfrac{49}{81}}\)
Wahr oder falsch?
(a) \(\sqrt{16+9} = 4 + 3\)
(b) \(\sqrt{16 \cdot 9} = 4 \cdot 3\)
(c) \(\sqrt{(-5)^2} = -5\)
Ziehe teilweise die Wurzel:
(a) \(\sqrt{45}\)
(b) \(\sqrt{98}\)
(c) \(\sqrt{300}\)
Vereinfache:
(a) \(\sqrt{8} + \sqrt{18}\)
(b) \(3\sqrt{12} - \sqrt{27}\)
Mache den Nenner rational:
(a) \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\)
(b) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}\)
Berechne:
(a) \(2^3 + \sqrt{16} \cdot 3\)
(b) \(\sqrt{25 - 9} + 2 \cdot 3^2\)
(c) \(\dfrac{10^4}{10^2 \cdot 5}\)
Vereinfache: \((2x^2)^3 \cdot \dfrac{x^4}{x^2}\). Ergebnis als Potenz mit Basis \(x\).
1. (a) \(4{.}5 \cdot 10^{4}\) — (b) \(3{.}7 \cdot 10^{-4}\) — (c) \(8{.}2 \cdot 10^{9}\)
2. (a) \(2{.}5\,\text{MHz}\) — (b) \(4\,\text{ms}\) — (c) \(7\,\text{nm}\)
3. (a) \(2^{8} = 256\) — (b) \(10^{3} = 1000\) — (c) \(3^{8} = 6561\)
4. (a) \(8x^3\) — (b) \(\dfrac{a^4}{b^4}\) — (c) \(1 + \tfrac{1}{25} = \tfrac{26}{25}\)
5. \((3 \cdot 2) \cdot 10^{4+3} = 6 \cdot 10^{7}\)
6. (a) \(12\) — (b) \(0{.}5\) — (c) \(\tfrac{7}{9}\)
7. (a) falsch — \(\sqrt{25} = 5 \ne 7\) — (b) wahr — \(\sqrt{144} = 12\) — (c) falsch — \(\sqrt{25} = +5\), nicht \(-5\). Per Definition ist \(\sqrt{\cdot}\) die nicht-negative Zahl, deren Quadrat den Radikanden ergibt. Zwar gilt \((-5)^2 = 25\), aber das Symbol \(\sqrt{25}\) bezeichnet nur die positive Wurzel. Wenn beide Vorzeichen gemeint sind, schreibt man \(\pm\sqrt{25}\) (z.B. beim Lösen von \(x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5\)).
8. (a) \(\sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\) — (b) \(\sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\) — (c) \(\sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\)
9. (a) \(2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\) — (b) \(3 \cdot 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\)
10. (a) \(\dfrac{6}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\) — (b) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \dfrac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1\)
11. (a) \(8 + 4 \cdot 3 = 8 + 12 = 20\) — (b) \(\sqrt{16} + 2 \cdot 9 = 4 + 18 = 22\) — (c) \(\dfrac{10\,000}{500} = 20\)
12. Schritt 1: \((2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8x^6\) — Potenzgesetze P4: \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) und P3: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Schritt 2: \(\dfrac{x^4}{x^2} = x^{4-2} = x^2\) — Potenzgesetz P2: \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) (Division gleicher Basen). Schritt 3: \(8x^6 \cdot x^2 = 8x^{6+2} = 8x^{8}\) — Potenzgesetz P1: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) (Multiplikation gleicher Basen).