Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik, Architektur und Life Sciences — Modellieren mit Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen.
Die Aufgaben üben das Modellieren mit Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen — und zwar in realistischen Situationen aus Technik, Architektur und Life Sciences. Bei jeder Aufgabe gehst du nach dem Drei-Schritt-Schema vor (Variable festlegen → Gegebenes sammeln → Gleichung aufstellen) und führst zum Schluss eine Probe durch. Die Musterlösungen folgen am Ende.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Bauwesen | Stahlträger zuschneiden | ●●○ |
| 2 | Mechanik | Werkstücke auf Lager | ●●○ |
| 3 | Elektrotechnik | Widerstandsnetzwerk | ●●● |
| 4 | Architektur | Treppenhaus dimensionieren | ●●● |
| 5 | Logistik | Lieferwagen-Zuladung | ●○○ |
| 6 | Life Sciences | Mischung mit Wirkstoff | ●●● |
Ein Stahlträger der Länge 12.40 m soll in zwei Stücke zerlegt werden. Das längere Stück soll 1.60 m länger sein als das kürzere.
(a) Welche Variable wählst du? Stelle eine Gleichung auf.
(b) Bestimme die beiden Stücklängen und führe die Probe durch.
Lösungsweg:
In einer Werkstatt liegen Werkstücke vom Typ A und vom Typ B auf Lager — insgesamt 240 Stück. Typ A ist doppelt so häufig wie Typ B.
(a) Stelle ein Gleichungssystem für die Anzahlen \(a\) (Typ A) und \(b\) (Typ B) auf.
(b) Bestimme \(a\) und \(b\).
Lösungsweg:
Drei Widerstände in Reihe ergeben einen Gesamtwiderstand von 90 Ω. Der zweite ist 3 Ω grösser als der erste, der dritte ist 9 Ω grösser als der zweite.
(a) Erkläre, weshalb das eine lineare Gleichung in einer Variablen ist.
(b) Bestimme die drei Widerstände und führe die Probe durch.
Lösungsweg:
Eine Treppe überwindet eine Geschosshöhe von 2.88 m. Nach Schweizer Norm SIA 500 „Hindernisfreie Bauten" (SN 521 500, mit Bezug auf die BFU-Empfehlungen zur Treppengeometrie) gilt die Schrittmass- Regel \(2 \cdot s + a = 63\) cm, wobei \(s\) die Steigung (Höhe einer Stufe) und \(a\) der Auftritt (Tiefe einer Stufe) in cm ist. Die Anzahl Stufen \(n\) erfüllt \(n \cdot s = 288\).
(a) Welcher Auftritt \(a\) ergibt sich, wenn jede Stufe 18 cm hoch ist?
(b) Wie viele Stufen sind das, und wie lang wird das Treppenhaus (waagrechte Länge \(= n \cdot a\))?
Lösungsweg:
Ein Lieferwagen hat eine maximale Zuladung von 1200 kg. Er ist mit drei Paletten von je 180 kg beladen. Zusätzlich sollen Pakete à 25 kg geladen werden.
(a) Formuliere eine Ungleichung für die Anzahl Pakete \(n\).
(b) Wie viele Pakete dürfen höchstens zusätzlich geladen werden?
Lösungsweg:
Im Labor werden zwei Lösungen gemischt: Lösung A enthält 8 % Wirkstoff, Lösung B enthält 20 %. Es sollen 500 mL einer Mischung mit 14 % Wirkstoff entstehen.
(a) Bezeichne mit \(x\) die Menge (in mL) von Lösung A. Stelle eine Gleichung auf.
(b) Bestimme \(x\) und die Menge \(y\) von Lösung B. Führe die Probe durch.
Lösungsweg:
Sei \(x\) die Länge des kürzeren Stücks (in m). Dann ist \(x + 1.60\) das längere. Gleichung:
\[ x + (x + 1.60) = 12.40 \;\Longleftrightarrow\; 2x = 10.80 \;\Longleftrightarrow\; x = 5.40 \]Kurzes Stück: 5.40 m, langes Stück: 7.00 m. Probe: \(5.40 + 7.00 = 12.40\) ✓.
System: \(a + b = 240\) und \(a = 2 \cdot b\). Einsetzen: \(2b + b = 240 \Rightarrow 3b = 240 \Rightarrow b = 80\). Damit \(a = 160\). Probe: \(160 + 80 = 240\) und \(160 = 2 \cdot 80\) ✓.
Sei \(R_1 = x\). Dann \(R_2 = x + 3\) und \(R_3 = (x + 3) + 9 = x + 12\). Gesamtwiderstand \(R_1 + R_2 + R_3 = 90\) Ω:
\[ x + (x+3) + (x+12) = 90 \;\Longleftrightarrow\; 3x + 15 = 90 \;\Longleftrightarrow\; x = 25 \]\(R_1 = 25\) Ω, \(R_2 = 28\) Ω, \(R_3 = 37\) Ω. Probe: \(25 + 28 + 37 = 90\) Ω ✓.
(a) Es ist eine lineare Gleichung, weil \(x\) nur in der ersten Potenz vorkommt.
(a) Schrittmass-Regel: \(2 \cdot 18 + a = 63\), also \(a = 63 - 36 = 27\) cm.
(b) \(n \cdot s = 288 \Rightarrow n = 288 / 18 = 16\) Stufen. Waagrechte Länge: \(n \cdot a = 16 \cdot 27 = 432\) cm \(= 4.32\) m. Probe Schrittmass: \(2 \cdot 18 + 27 = 63\) ✓.
Bereits geladen: \(3 \cdot 180 = 540\) kg. Ungleichung:
\[ 540 + 25 \cdot n \leq 1200 \;\Longleftrightarrow\; 25 \cdot n \leq 660 \;\Longleftrightarrow\; n \leq 26.4 \]Da \(n\) eine ganze Zahl sein muss: höchstens \(n = 26\) Pakete. Kontrolle: \(540 + 26 \cdot 25 = 540 + 650 = 1190 \leq 1200\) ✓; bei 27 Paketen wäre \(540 + 675 = 1215 > 1200\).
Sei \(x\) die Menge von Lösung A in mL, dann ist \(y = 500 - x\) die Menge von Lösung B. Wirkstoff-Bilanz:
\[ 0.08 \cdot x + 0.20 \cdot (500 - x) = 0.14 \cdot 500 \]Auflösen: \(0.08x + 100 - 0.20x = 70 \Rightarrow -0.12x = -30 \Rightarrow x = 250\) mL. Dann \(y = 250\) mL. Probe: \(0.08 \cdot 250 + 0.20 \cdot 250 = 20 + 50 = 70\) g, und \(0.14 \cdot 500 = 70\) g ✓.