2.1 Grundlagen
Eine Gleichung beschreibt eine Bedingung an eine unbekannte Grösse. Hier lernst du, einen technischen Sachverhalt als Gleichung, Ungleichung oder System zu formulieren, den Gleichungstyp zu erkennen und die Lösungsmenge über Äquivalenzumformungen zu bestimmen.
- gegebene Sachverhalte im technischen Kontext als Gleichung, Ungleichung oder Gleichungssystem formulieren
- algebraische Äquivalenz erklären und anwenden
- den Typ einer Gleichung bestimmen und beim Lösen entsprechend beachten, Lösungs- und Umformungsmethoden zielführend einsetzen sowie Lösungen überprüfen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann erklären, was eine Gleichung ist, und ihre Bausteine (linke/rechte Seite, Variable) benennen.
- Ich kann Sachverhalte aus dem technischen Kontext als Gleichung oder Ungleichung formulieren.
- Ich kann algebraische Äquivalenz erklären und die vier Äquivalenzumformungen am Waagemodell begründen.
- Ich kann den Typ einer Gleichung bestimmen und die passende Lösungsmethode wählen.
- Ich kann Lösungen mit der Probe in der Ausgangsgleichung überprüfen.
Einstieg — die Waage als Modell
In einer Werkstatt werden vier gleich schwere Pakete zusammen mit einem 3 kg schweren Werkzeugkasten auf eine Waage gestellt. Die Waage zeigt im Gleichgewicht 15 kg auf der Gegenseite. Wie schwer ist ein einzelnes Paket?
Übersetze den Sachverhalt in eine Gleichung: Wenn \(x\) die Masse eines Pakets ist, dann gilt
\[ 4 \cdot x + 3 = 15 \]Verschiebe den Regler — die Waage neigt sich, bis sie waagrecht steht. Genau dann hat \(x\) den Wert, der die Gleichung erfüllt.
Eine Gleichung behauptet: zwei Ausdrücke sind gleich gross. Bildlich: zwei Schalen einer Waage stehen waagrecht. Die Lösung ist genau jener Wert für die unbekannte Grösse, bei dem das Gleichheitszeichen tatsächlich stimmt.
- Ist \(x\) zu klein, ist die linke Seite zu leicht — keine Lösung
- Ist \(x\) zu gross, ist die linke Seite zu schwer — keine Lösung
- Bei \(x = 3\) sind beide Seiten genau \(15\) — das ist die Lösung
Begriffe und Definition
Eine Gleichung ist eine Aussageform der Gestalt
\[ T_1(x) = T_2(x) \]wobei \(T_1\) und \(T_2\) Terme sind, die eine oder mehrere Variablen enthalten dürfen. Eine Zahl \(x_0\) heisst Lösung, wenn beim Einsetzen die linke und die rechte Seite denselben Wert ergeben.
| Begriff | Symbol / Beispiel | Bedeutung |
|---|---|---|
| Variable | \(x,\, t,\, n,\, \ldots\) | unbekannte Grösse, deren Wert gesucht wird |
| Term | \(4 \cdot x + 3\) | Rechenausdruck — links und rechts vom \(=\) |
| Gleichung | \(4 \cdot x + 3 = 15\) | zwei Terme, verbunden durch \(=\) |
| Lösung | \(x_0 = 3\) | Wert, bei dem die Gleichheit erfüllt ist |
| Lösungsmenge | \(\mathbb{L} = \{3\}\) | Menge aller Lösungen |
| Grundmenge | \(\mathbb{G} = \mathbb{R}\) | Menge der erlaubten Werte für die Variable |
| Begriff | Symbol | Bedeutung |
|---|---|---|
| Ungleichung | \(<,\; \le,\; >,\; \ge\) | eine Seite ist kleiner oder grösser (oder gleich) als die andere |
| Gleichungssystem | \(\begin{cases} \ldots \\ \ldots \end{cases}\) | mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen |
| Identität | \(\equiv\) (oder \(=\)) | Gleichung, die für alle erlaubten Werte gilt — z.B. \((x+1)^2 \equiv x^2+2 \cdot x+1\). Das Zeichen \(\equiv\) betont „identisch gleich für jedes \(x\)". |
✏️ Mini-Check — Gleichung und Waage
Was ist eine Gleichung?
- Ein einzelner Term
- Zwei Terme, durch ein Gleichheitszeichen verbunden
- Eine Zahl mit Vorzeichen
Lösung anzeigen
Eine Gleichung mit Variablen ist eine form — erst das Einsetzen eines Wertes macht sie wahr oder falsch.
Lösung anzeigen
Ist \(x = 3\) eine Lösung von \(4 \cdot x + 3 = 15\)?
Lösung anzeigen
Auf der Waage nimmst du beidseitig 3 Gewichtsstücke weg. Warum bleibt sie im Gleichgewicht — und welche neue Gleichung entsteht aus \(4x + 3 = 15\)?
Lösungsweg anzeigen
Sachverhalte als Gleichung formulieren
Der erste Schritt jeder Anwendungsaufgabe: aus dem Text eine Gleichung machen. Drei Fragen helfen dabei.
| Schritt | Frage | Ergebnis |
|---|---|---|
| ① | Was ist gesucht? | Variable benennen: „Sei \(x\) = …" |
| ② | Was ist gegeben? | Zahlen, Beziehungen und Einheiten festhalten |
| ③ | Welche Gleichheit gilt? | linke = rechte Seite mit \(x\) ausdrücken |
Vier gleich schwere Pakete und ein 3 kg schwerer Werkzeugkasten wiegen zusammen 15 kg. Wie schwer ist ein Paket?
① Sei \(x\) die Masse eines Pakets in kg.
② Vier Pakete \(\Rightarrow 4 \cdot x\), Werkzeug \(= 3\) kg, Gesamt \(= 15\) kg.
③ Gesamtmasse: \(\;\boxed{4 \cdot x + 3 = 15}\)
Eine Werkstatt mietet ein Gerät für 50 CHF Grundgebühr plus 12 CHF pro Tag. Nach wie vielen Tagen kostet die Miete 170 CHF?
① Sei \(t\) die Anzahl Tage.
② Grundgebühr \(50\) CHF, Tagespreis \(12\) CHF/Tag, Zielsumme \(170\) CHF.
③ Gesamtkosten: \(\;\boxed{12 \cdot t + 50 = 170}\)
Ein Aufzug darf höchstens 600 kg transportieren. Eine Person wiegt im Mittel 75 kg. Wie viele Personen \(n\) dürfen einsteigen?
① Sei \(n\) die Anzahl Personen.
② Eine Person \(75\) kg, Maximum \(600\) kg.
③ Höchstmasse: \(\;\boxed{75 \cdot n \le 600}\) — eine Ungleichung, kein \(=\), sondern \(\le\).
Zwei Werkstücke wiegen zusammen 7 kg. Das schwerere ist 1 kg schwerer als das leichtere. Wie schwer sind die beiden?
① Seien \(a\) (schwerer) und \(b\) (leichter) die Massen in kg.
② Summe \(7\) kg, Differenz \(1\) kg.
③ Beide Aussagen gleichzeitig: \(\;\boxed{\begin{cases} a + b = 7 \\ a - b = 1 \end{cases}}\)
Ungleichungen formulieren
Im technischen Alltag tauchen Bedingungen oft als Grenzwerte auf — Tragkräfte, Höchstdrücke, Mindestabstände, Budget-Obergrenzen. Wer einen Sachverhalt nicht als Gleichheit, sondern als Ungleichung lesen kann, vermeidet einen Modellfehler. Die drei Fragen aus der Tabelle oben gelten weiterhin; nur in Schritt ③ entscheidet die Sprache, welches Zeichen passt:
| Sprachliches Signal | Mathematisches Zeichen | Bedeutung |
|---|---|---|
| „höchstens", „nicht mehr als", „maximal" | \(\le\) | Grenze ist erlaubt |
| „mindestens", „nicht weniger als", „wenigstens" | \(\ge\) | Grenze ist erlaubt |
| „weniger als", „kleiner als", „unter" | \(<\) | Grenze ist nicht erlaubt |
| „mehr als", „grösser als", „über" | \(>\) | Grenze ist nicht erlaubt |
Auf ein Gerüst dürfen höchstens 450 kg geladen werden. Eine Materialkiste wiegt 18 kg, der Werkzeugkasten 25 kg. Wie viele Kisten \(n\) dürfen zusätzlich zum Werkzeugkasten aufs Gerüst?
① Sei \(n\) die Anzahl Materialkisten.
② Eine Kiste \(18\) kg, Werkzeug \(25\) kg, Tragfähigkeit \(450\) kg.
③ „höchstens 450 kg" → \(\le 450\): \(\;\boxed{18 \cdot n + 25 \le 450}\)
Aufgelöst: \(18 n \le 425\), also \(n \le 23.61\). Da \(n \in \mathbb{N}\), dürfen maximal 23 Kisten dazu. Auf 24 Kisten wäre die Tragfähigkeit überschritten.
Ein Servicetechniker rechnet pauschal 90 CHF Anfahrt plus 75 CHF pro Stunde. Damit der Auftrag rentabel ist, muss er mindestens 240 CHF einbringen. Welche Mindestdauer \(t\) (in Stunden) muss eingeplant werden?
① Sei \(t\) die Auftragsdauer in Stunden.
② Anfahrt \(90\) CHF, Stundenansatz \(75\) CHF/h, Mindest-Ertrag \(240\) CHF.
③ „mindestens 240 CHF" → \(\ge 240\): \(\;\boxed{75 \cdot t + 90 \ge 240}\)
Aufgelöst: \(75 t \ge 150\), also \(t \ge 2\). Die Auftragsdauer muss mindestens 2 Stunden betragen.
Bei einer Drehbank muss der Abstand d (in cm) vom Bedienpunkt zur rotierenden Spindel echt grösser als 35 cm sein. Die Schutzhaube ist 12 cm dick. Welcher freie Abstand x ist nötig?
① Sei \(x\) der freie Abstand zur Schutzhaube in cm.
② Schutzhaube \(12\) cm, Sicherheitsabstand-Vorgabe \(d > 35\) cm.
③ „echt grösser als 35" → \(>\), Grenze nicht erlaubt: \(\;\boxed{x + 12 > 35}\)
Aufgelöst: \(x > 23\). Genau 23 cm Abstand wäre zu wenig — es braucht echt mehr als 23 cm. In der Praxis legt man darum eine Reserve drauf (z.B. \(x \ge 25\) cm).
„Mindestens" und „höchstens" schliessen die Grenze ein (\(\ge\), \(\le\)). „Mehr als" und „weniger als" schliessen die Grenze aus (\(>\), \(<\)). Das ist nicht Pingeligkeit — ein Auto, das „weniger als 30 km/h" fährt, fährt nicht 30. Eines, das „höchstens 30 km/h" fährt, darf 30. Bei Sicherheits-Schranken (Tragfähigkeiten, Druck-Maxima) lohnt es sich, das ganz genau zu lesen.
✏️ Mini-Check — Formulieren
«Das Doppelte einer Zahl, um 5 vermindert, ergibt 11.» Welche Gleichung passt?
- \(2 \cdot (x - 5) = 11\)
- \(2x - 5 = 11\)
- \(2x + 5 = 11\)
Lösung anzeigen
«höchstens 20» heisst als Ungleichung: \(x\) \(20\).
Lösung anzeigen
Löse \(2x - 5 = 11\).
Lösung anzeigen
Worin unterscheiden sich «mindestens 18» und «mehr als 18» als Ungleichung?
Lösungsweg anzeigen
Algebraische Äquivalenz ↩ 1.3
Zwei Gleichungen heissen äquivalent (Schreibweise \(\Longleftrightarrow\)), wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben.
Eine Äquivalenzumformung ist eine Operation, die eine Gleichung in eine äquivalente verwandelt — also die Lösungsmenge nicht verändert. Damit darf eine Gleichung Schritt für Schritt umgeformt werden, bis \(x\) allein steht.
Eine Gleichung bleibt äquivalent, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Operation ausführt:
| Umformung | Schreibweise | Bedingung |
|---|---|---|
| Addition | \(\,\mid\, +c\) | \(c \in \mathbb{R}\) beliebig |
| Subtraktion | \(\,\mid\, -c\) | \(c \in \mathbb{R}\) beliebig |
| Multiplikation | \(\,\mid\, \cdot c\) | \(c \neq 0\) |
| Division | \(\,\mid\, : c\) | \(c \neq 0\) |
Bei Ungleichungen (\(<,\;\le,\;>,\;\ge\)) gelten dieselben Umformungen, mit einer Ausnahme: Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl kehrt das Ungleichheitszeichen um. Beispiel:
\(-x \le 5 \;\;\mid\, \cdot(-1) \;\;\Longleftrightarrow\;\; x \ge -5\)
Klicke unten auf „Nächster Schritt" — jede Umformung erscheint einzeln, und du siehst, wie sich die Gleichung verändert, ohne ihre Lösung zu verlieren. Die Waage rechts bleibt stets im Gleichgewicht.
- Operation nur auf einer Seite — die Waage kippt, die Gleichung wird falsch.
- Multiplikation/Division mit \(0\) — verboten. \(0=0\) gilt zwar, aber es geht jede Information verloren — auf einmal wäre jede Zahl „Lösung".
- Quadrieren ist keine reine Äquivalenzumformung — es kann Scheinlösungen erzeugen. Probe ist Pflicht.
✏️ Mini-Check — Äquivalenzumformungen
Welche Umformung ist keine Äquivalenzumformung?
- Beidseitig \(+5\)
- Beidseitig \(\cdot\, 2\)
- Beidseitig \(\cdot\, 0\)
Lösung anzeigen
Äquivalente Gleichungen haben dieselbe menge.
Lösung anzeigen
Löse \(4x + 3 = 15\) in zwei Äquivalenzumformungen.
Lösung anzeigen
Warum ist beidseitiges Quadrieren keine Äquivalenzumformung?
Lösungsweg anzeigen
Gleichungstypen erkennen
Bevor man losrechnet, lohnt sich ein kurzer Blick: Welcher Typ Gleichung liegt vor? Davon hängt die Lösungsmethode ab. Klicke auf einen Typ — die typische Form, ein Beispiel und die übliche Lösungsmethode werden angezeigt.
| Typ | Form | Beispiel | Lösungen (in \(\mathbb{R}\)) |
|---|---|---|---|
| linear | \(a \cdot x + b = 0\;(a \neq 0)\) | \(3 \cdot x + 5 = 14\) | genau 1 |
| quadratisch | \(a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\) | \(x^2 - 5 \cdot x + 6 = 0\) | 0, 1 oder 2 |
| Bruchgleichung | \(\dfrac{P(x)}{Q(x)} = R(x)\) | \(\dfrac{2}{x-1} = 4\) | je nach \(Q(x)\neq 0\) |
| Wurzelgleichung | \(\sqrt{P(x)} = R(x)\) | \(\sqrt{x+3} = x-1\) | nur Werte mit \(P(x)\ge 0\) |
Lösen und Probe
Eine Gleichung ist „gelöst", wenn die Variable allein steht und ihr Wert bekannt ist. Eine Probe kontrolliert das Ergebnis durch Einsetzen — sie ist nicht optional, sondern Pflichtteil jeder sauberen Lösung.
Setze den gefundenen Wert \(x_0\) in beide Seiten der ursprünglichen Gleichung ein. Stimmen beide Seiten überein, ist \(x_0\) eine Lösung. Stimmen sie nicht überein, war ein Rechenfehler im Spiel — oder es handelt sich um eine Scheinlösung (entstanden durch Quadrieren oder ähnliche Nicht-Äquivalenzumformungen).
Wähle einen Versuchswert für \(x\) — die Probe wird Schritt für Schritt durchgeführt.
Multipliziert man beide Seiten mit einem Ausdruck wie \((x - 3)\), kann das die Lösungsmenge verändern: Wird der Term zufällig null, entstehen Schein-Lösungen, oder echte Lösungen gehen verloren. Regel: Bei jeder Multiplikation mit einem variablen Term muss am Ende geprüft werden, ob dieser für die gefundene Lösung tatsächlich \(\neq 0\) ist. Sonst Probe machen — immer.
Bewährt sich bei fast jeder Gleichung in Lerngebiet 2:
- Typ bestimmen — linear, quadratisch, Bruch, Wurzel? Davon hängt die Methode ab.
- Lösbar machen — Klammern auflösen, Brüche durch Multiplikation mit dem Hauptnenner entfernen, Wurzeln durch Quadrieren wegbringen. Jeder dieser Schritte ist eine bewusste Umformung; die Definitionsmenge ändert sich dabei nicht, aber Scheinlösungen können entstehen.
- Probe machen — Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Stimmt die Gleichheit? Liegt die Lösung in der Definitionsmenge?
Wer alle drei Phasen sauber trennt, vermeidet die typischen Fallen — Scheinlösungen, vergessene Definitionsmengen, falsche Probe-Stelle.
✏️ Mini-Check — Typ, Lösen, Probe
Welcher Typ ist \(3x^2 - 5x + 1 = 0\)?
- lineare Gleichung
- quadratische Gleichung
- Bruchgleichung
Lösung anzeigen
Die bestätigt eine Lösung durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.
Lösung anzeigen
Mache die Probe für \(x = 4\) in \(5x - 7 = 2x + 5\).
Lösung anzeigen
Warum gehört die Probe in die Ausgangsgleichung und nicht in eine umgeformte Zwischenform?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Wähle eine Gleichung — klicke dann den passenden Typ.
-
Werkstatt-Pakete. Drei gleiche Pakete und 2 kg Werkzeug wiegen zusammen 14 kg. Stelle die Gleichung in \(x\) (Paketmasse in kg) auf.
-
Mietgerät. Grundgebühr 60 CHF plus 8 CHF pro Tag. Nach wie vielen Tagen \(t\) sind die Kosten 132 CHF? Stelle die Gleichung auf.
-
Aufzugsgrenze. Ein Aufzug darf höchstens 480 kg tragen. Pro Person rechnet man mit 80 kg. Wie viele Personen \(n\) dürfen maximal einsteigen? Stelle die Ungleichung auf.
-
Werkstücke. Zwei Werkstücke wiegen zusammen 12 kg. Das schwerere ist 4 kg schwerer als das leichtere. Stelle ein Gleichungssystem in \(x\) (schwer) und \(y\) (leicht) auf.
🟢 Lösung\[ \begin{cases} x + y = 12 \\ x - y = 4 \end{cases} \]Erste Zeile: Summe \(=12\) kg. Zweite Zeile: Differenz \(=4\) kg.
Welche Umformung führt von der oberen zur unteren Gleichung?
-
Von \(2 \cdot x + 5 = 11\) zu \(2 \cdot x = 6\)
-
Von \(3 \cdot x = 12\) zu \(x = 4\)
-
Von \(x - 7 = 2\) zu \(x = 9\)
Gegeben: \(5 \cdot x - 4 = 11\). Behauptung: \(x = 3\) ist die Lösung. Führe die Probe sauber durch.
① Einsetzen in die linke Seite: \(5 \cdot 3 - 4 = 15 - 4 = 11\)
② Vergleichen: \(11 = 11\) ✓
Die Behauptung stimmt. Lösungsmenge: \(\;\mathbb{L} = \{3\}\)
Aus einem Drahtstück werden vier gleich lange Stücke und ein Rest von 8 cm zugeschnitten. Insgesamt war der Draht 60 cm lang. Stelle die Gleichung auf, gib die Lösung an und mache die Probe.
Aufstellen: Sei \(x\) die Länge eines Stücks in cm.
\[ 4 \cdot x + 8 = 60 \]Lösen:
\[ 4 \cdot x + 8 = 60 \quad |\, -8 \quad\Longleftrightarrow\quad 4 \cdot x = 52 \quad |\, :4 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 13 \]Probe: \(4 \cdot 13 + 8 = 52 + 8 = 60\) ✓
Antwort: Jedes Stück ist 13 cm lang.
Eine Schülerin hat die Gleichung \(x = 3\). Um sie zu „verallgemeinern", quadriert sie beide Seiten und erhält \(x^2 = 9\). Sie löst diese neue Gleichung und findet zwei Kandidaten: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\).
- Sind beide Werte Lösung der ursprünglichen Gleichung \(x = 3\)? Mache jeweils die Probe.
- Was zeigt dieses Beispiel über das Quadrieren als Umformungsschritt?
-
Probe \(x = 3\): linke Seite \(3\), rechte Seite \(3\). Es gilt \(3 = 3\) ✓ — also tatsächliche Lösung der Originalgleichung.
Probe \(x = -3\): linke Seite \(-3\), rechte Seite \(3\). Es gilt \(-3 \neq 3\) — also keine Lösung der Originalgleichung. \(x_2 = -3\) ist eine Scheinlösung, entstanden durchs Quadrieren.
Lösungsmenge der Originalgleichung \(\;\mathbb{L} = \{3\}\). Nur \(x_1 = 3\) ist Lösung; \(x_2 = -3\) ist eine Scheinlösung.
- Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung — beim Übergang von \(x = 3\) zu \(x^2 = 9\) wird die Lösungsmenge unzulässig erweitert (von \(\{3\}\) zu \(\{3,\,-3\}\)). In der Praxis ist deshalb nach dem Quadrieren immer die Probe in der Originalgleichung Pflicht.
Merke: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Nach jedem Quadrieren immer alle Kandidaten in die Originalgleichung einsetzen — Scheinlösungen aussortieren.
Lara und Tim starten gleichzeitig zu einem Wettlauf. Lara läuft konstant 4 m/s. Tim ist langsamer, läuft aber konstant — dafür erhält er 12 m Vorsprung und startet bereits bei \(x = 12\,\text{m}\). Nach welcher Strecke holt Lara Tim ein, wenn Tims Geschwindigkeit \(v\) (in m/s) ist?
- Formuliere die Gleichung „Lara-Position = Tim-Position" als Funktion der Zeit \(t\).
- Welche Geschwindigkeit hätte Tim, damit Lara ihn nach genau \(t = 20\,\text{s}\) einholt?
- Was passiert mit der Gleichung, wenn Tim genau \(4\,\text{m/s}\) läuft?
- Position von Lara: \(s_L(t) = 4t\). Position von Tim: \(s_T(t) = 12 + v\cdot t\). Einholen: \(4t = 12 + v\cdot t\), also \(t \cdot (4 - v) = 12\), \(t = \tfrac{12}{4 - v}\) (sofern \(v < 4\)). Die zugehörige Strecke (von Laras Start aus): \(s = 4t = \tfrac{48}{4 - v}\).
- Bei \(t = 20\): \(20 \cdot (4 - v) = 12 \Rightarrow 4 - v = 0.6 \Rightarrow v = 3.4\,\text{m/s}\). Eingeholt wird Tim dann nach \(s = 4 \cdot 20 = 80\,\text{m}\).
- Wenn \(v = 4\,\text{m/s}\), wird die Gleichung \(0 = 12\) — keine Lösung. Geometrisch: zwei parallele Geraden in einem Weg-Zeit-Diagramm, sie schneiden sich nie. Lara holt Tim nie ein. ↗ 2.3
Zusammenfassung
Eine Gleichung ist eine Waage. Was du auf einer Seite tust, musst du auf der anderen genauso tun — sonst kippt sie. Und ohne Probe weisst du nie, ob das Ergebnis stimmt.
| Begriff | Symbol / Beispiel | Kernidee |
|---|---|---|
| Gleichung | \(T_1(x) = T_2(x)\) | zwei Terme, verbunden durch \(=\) |
| Lösung | \(x_0\) | Wert, der die Gleichheit erfüllt |
| Lösungsmenge | \(\mathbb{L}\) | Menge aller Lösungen |
| Äquivalenz | \(\Longleftrightarrow\) | gleiche Lösungsmenge |
| Umformung | \(\mid\,+c,\,-c,\,\cdot c,\,:c\) | auf beiden Seiten gleich (\(c \neq 0\) bei \(\cdot, :\)) |
| Probe | \(T_1(x_0) \stackrel{?}{=} T_2(x_0)\) | Einsetzen und Vergleichen — Pflicht! |
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.