2.1 Grundlagen

Werkstatt-Waage: eine Gleichung ist eine Waage im Gleichgewicht

1. 0:00Vier Pakete zu je x Kilogramm und ein Werkzeugkasten von drei Kilogramm liegen links, fünfzehn Kilogramm rechts. Bei welchem x steht die Waage waagrecht?
2. 0:10Mit x gleich zwei wiegt die linke Seite elf Kilogramm, die rechte fünfzehn. Die linke Schale ist zu leicht, zwei ist keine Lösung.
3. 0:19Mit x gleich vier sind es links neunzehn Kilogramm. Jetzt ist die linke Schale zu schwer, auch vier ist keine Lösung.
4. 0:29Bei x gleich drei wiegen beide Seiten fünfzehn Kilogramm: Gleichgewicht, drei ist die Lösung. Nimmt man auf beiden Seiten drei Kilogramm weg, bleiben zwölf gegen zwölf, die Waage bleibt waagrecht.
5. 0:41Merke: Eine Gleichung ist eine Waage im Gleichgewicht. Dieselbe Operation auf beiden Seiten erhält es, das ist eine Äquivalenzumformung. Nimmt man nur auf einer Seite weg, kippt die Waage.

Ungleichung am Zahlenstrahl: das Zeichen entscheidet über die Grenze

1. 0:00Höchstens dreissig und weniger als dreissig klingen fast gleich. Darf x dabei genau dreissig sein?
2. 0:09Höchstens dreissig heisst x kleiner gleich dreissig. Die Klammer ist nach innen geöffnet: Dreissig gehört dazu. Die Prüfpunkte zeigen, die Lösungen liegen links der Grenze.
3. 0:20Weniger als dreissig heisst x echt kleiner dreissig. Der Bereich sieht gleich aus, nur die Klammer dreht sich nach aussen: Dreissig gehört nicht mehr dazu. Die Prüfpunkte bleiben dieselben.
4. 0:31Mehr als dreissig heisst x echt grösser dreissig. Jetzt erfüllt einunddreissig die Ungleichung, neunundzwanzig nicht: Die Lösungen liegen rechts. Dreissig selbst gehört wieder nicht dazu.
5. 0:42Merke: Ob die Grenze dazugehört, entscheidet allein das Zeichen. Bei kleiner gleich und grösser gleich ist die Klammer nach innen geöffnet, bei echt kleiner und echt grösser nach aussen. Die Prüfpunkte daneben zeigen, auf welcher Seite die Lösungen liegen.

Umformen an der Waage: beidseitig bleibt sie im Gleichgewicht

1. 0:00Die Gleichung vier x plus drei gleich fünfzehn wird Schritt für Schritt umgeformt, bis x allein steht. Was hält die Waage dabei im Gleichgewicht?
2. 0:09Zuerst minus drei auf beiden Seiten. Links verschwinden drei Gewichte, rechts auch: Übrig bleiben vier x gegen zwölf, die Waage bleibt waagrecht.
3. 0:19Dann durch vier auf beiden Seiten. Aus vier Kisten wird eine, aus zwölf Gewichten werden drei. x steht allein: Die Lösung ist drei.
4. 0:28Nimmt man die drei nur links weg, stehen links zwölf Kilogramm gegen fünfzehn rechts, die Waage kippt. Vier x gleich fünfzehn hätte die Lösung drei Komma sieben fünf, nicht mehr drei.
5. 0:40Merke: Jede Äquivalenzumformung wirkt auf beide Seiten. Sie erzeugt eine Gleichung mit derselben Lösungsmenge, nur einfacher. Zuerst die Strich-, dann die Punktoperation rückgängig machen. Wer nur eine Seite ändert, verändert die Lösung.

Gleichungen: was die Lösungsmenge erhält

1. 0:00Beim Lösen einer Gleichung formt man um. Erlaubt ist dabei nur, was die Lösungsmenge unverändert lässt — solche Schritte heissen Äquivalenzumformungen.
2. 0:09Erlaubt ist: auf beiden Seiten dasselbe addieren oder subtrahieren, und mit derselben Zahl ungleich null malnehmen oder teilen. Alle drei lassen sich rückgängig machen — daran erkennt man sie.
3. 0:21Und jetzt die drei, die es nicht sind. Erstens: mal null. Aus x gleich eins wird null gleich null — plötzlich stimmt es für jede Zahl. Die Lösungsmenge ist gewachsen.
4. 0:31Zweitens: quadrieren. Aus x gleich zwei wird x Quadrat gleich vier — und das hat auch minus zwei als Lösung. Es sind Lösungen dazugekommen, die vorher keine waren.
5. 0:42Drittens: durch einen Term mit x teilen. Aus x Quadrat gleich x wird nach Division durch x die Gleichung x gleich eins — die Lösung null ist verschwunden.
6. 0:52Zum Mitnehmen: Erlaubt ist, was umkehrbar ist. Wo das nicht gilt — quadrieren, mit einem Term multiplizieren oder durch ihn teilen —, gehört eine Probe dazu.

Gleichungen: von der Textaufgabe zur Gleichung

1. 0:00Der schwierigste Teil einer Textaufgabe ist nicht das Rechnen, sondern das Übersetzen. Dafür gibt es vier Schritte.
2. 0:08Zuerst festlegen, wofür x steht — und das hinschreiben. Hier: x ist das heutige Alter des Sohnes. Damit ist der Vater dreimal so alt, also drei x.
3. 0:18Dann Satz für Satz übersetzen. In zehn Jahren sind beide zehn Jahre älter: x plus zehn und drei x plus zehn. Und dann soll der Vater doppelt so alt sein.
4. 0:28Jetzt die gewöhnliche Rechnung: ausmultiplizieren, sortieren. Es bleibt x gleich zehn.
5. 0:36Und der Schritt, der am häufigsten fehlt: die Antwort im Text. Der Sohn ist zehn, der Vater dreissig. Probe: in zehn Jahren zwanzig und vierzig — vierzig ist doppelt zwanzig.
6. 0:47Zum Mitnehmen: benennen, übersetzen, lösen, antworten. Und die Probe macht man am Text, nicht an der Gleichung.

Gleichungen verstehen: vom Ansatz direkt zur Lösung

1. 0:00In einer Sachaufgabe steckt die eigentliche Arbeit im Ansatz: Die eine Menge gibt genau so viel Wärme ab, wie die andere aufnimmt. Das ist in zwei Zeilen hingeschrieben. Es nach der Mischtemperatur aufzulösen dauert länger als das Aufstellen.
2. 0:13Ein einfacher Fall zuerst: drei Kilogramm Wasser mit fünfzehn Grad, zwei Kilogramm Wasser mit achtzig Grad. Links steht, was das kalte Wasser aufnimmt, rechts, was das warme abgibt. Weil beides Wasser ist, kürzt sich die Wärmekapazität heraus.
3. 0:29Zweit-Taste, num-solv. Der Rechner will die Gleichung in zwei Hälften: links die linke Seite, rechts die rechte. Genau so, wie sie dasteht — nichts wird vorher umgeformt.
4. 0:40Jetzt fragt der Rechner nach einem Startwert — und hier hilft die Physik. Eine Mischtemperatur kann nur zwischen den beiden Anfangstemperaturen liegen, also zwischen fünfzehn und achtzig Grad. Tippst du vierzig, findet der Löser einundvierzig Grad.
5. 0:54Und jetzt der Fall, für den sich der Weg wirklich lohnt: ein halbes Kilogramm Wasser mit fünfzehn Grad, ein halbes Kilogramm Aluminium mit zweihundert Grad. Jetzt kürzt sich nichts mehr, die beiden Wärmekapazitäten bleiben stehen. Der Ansatz ist derselbe, die Eingabe auch — Startwert hundert, Ergebnis siebenundvierzig Komma sechs Grad.
6. 1:14Zwei Dinge nimmt dir der Rechner nicht ab. Den Ansatz musst du selber aufstellen — er weiss nichts von Wärme. Und den Bereich, in dem die Lösung liegen kann, musst du selber kennen. Genau dafür ist die Sachaufgabe da.
7. 1:26Was gleich ist, schreibst du hin. Auflösen darf der Rechner.

Funktionen: Definitionsmenge und Wertemenge

1. 0:00Zwei Mengen gehören zu jeder Funktion: die eine sagt, was hinein darf, die andere, was herauskommt.
2. 0:08Die Definitionsmenge ist die Menge aller x, die man einsetzen darf. Meistens sind das alle reellen Zahlen — ausser dort, wo etwas verboten ist.
3. 0:16Beispiel: eins durch x minus zwei. Der Nenner darf nicht null werden, also ist zwei verboten. D ist R ohne die Zwei.
4. 0:26Bei einer Wurzel muss stehen bleiben, was darunter steht: Wurzel aus x minus drei verlangt x grösser gleich drei.
5. 0:35Die Wertemenge liest man anders ab — nicht am Term, sondern am Verlauf. Bei x Quadrat kommt nie etwas Negatives heraus, also ist W das Intervall von null bis unendlich.
6. 0:46Zum Mitnehmen: D ist der Vorrat, W ist die Ausbeute. D findet man über die Verbote, W über den Verlauf.