Eine Gleichung ist die Aussage, dass zwei Terme den gleichen Wert haben:
\[ T_1(x) \;=\; T_2(x) \]Die Aussage ist erst dann wahr oder falsch, wenn für die Variable \(x\) (oder mehrere Variablen) ein konkreter Wert eingesetzt wird. Ein Wert, der die Gleichung wahr macht, heisst Lösung; alle Lösungen zusammen bilden die Lösungsmenge \(\mathbb{L}\).
| Begriff | Symbol | Bedeutung |
|---|---|---|
| Variable | \(x, y, t, \dots\) | Platzhalter für eine unbekannte Zahl |
| Term | \(T(x)\) | Rechenausdruck, z.B. \(4 \cdot x + 3\) |
| Lösung | \(x_0\) | Wert, für den \(T_1(x_0) = T_2(x_0)\) |
| Lösungsmenge | \(\mathbb{L}\) | Menge aller Lösungen, z.B. \(\mathbb{L} = \{3\}\) |
| Grundmenge | \(\mathbb{G}\) | Menge der zugelassenen Werte für \(x\) |
| Form | Schreibweise | Beispiel |
|---|---|---|
| Gleichung | \(T_1 = T_2\) | \(4x + 3 = 15\) |
| Ungleichung | \(T_1 < T_2,\; \leq,\; >,\; \geq\) | \(2x + 5 \leq 11\) |
| Gleichungssystem | mehrere Gleichungen, gleiche Variablen | \(x + y = 7,\; 2x - y = 2\) |
| Identität | \(T_1 = T_2\) für alle Werte der Variablen | \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) |
Drei Schritte führen vom Aufgabentext zur Gleichung:
Zwei Gleichungen sind äquivalent (\(\Longleftrightarrow\)), wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben. Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die die Lösungsmenge nicht verändert:
| Operation | Bedingung | Wirkung |
|---|---|---|
| auf beiden Seiten dieselbe Zahl \(c\) addieren | — | isoliert die Variable |
| auf beiden Seiten dieselbe Zahl \(c\) subtrahieren | — | isoliert die Variable |
| beide Seiten mit \(c\) multiplizieren | \(c \neq 0\) | skaliert |
| beide Seiten durch \(c\) dividieren | \(c \neq 0\) | skaliert |
Bei Ungleichungen kehrt sich das Relationszeichen um, sobald mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert wird.
Quadrieren (\(a = b \Rightarrow a^2 = b^2\)) und Multiplizieren mit einem variablen Term, der null werden kann, sind keine Äquivalenzumformungen. Sie können Scheinlösungen hinzufügen oder Lösungen verlieren — eine Probe ist Pflicht.
| Typ | Form | Lösungsmethode |
|---|---|---|
| linear | \(a \cdot x + b = 0\) | Äquivalenzumformungen |
| quadratisch | \(a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\) | Mitternachtsformel, Faktorisierung |
| Bruchgleichung | \(\dfrac{p(x)}{q(x)} = r(x)\) | mit \(q(x)\) multiplizieren, Definitionsbereich beachten |
| Wurzelgleichung | \(\sqrt{p(x)} = r(x)\) | isolieren, quadrieren, Probe Pflicht |
Den Typ zu erkennen ist der erste Lösungsschritt — er bestimmt das Verfahren und entscheidet, ob eine Probe zwingend ist.
Die Probe setzt die berechnete Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein und prüft, ob beide Seiten denselben Wert ergeben:
\[ T_1(x_0) \stackrel{?}{=} T_2(x_0) \]Bei Wurzel- und Bruchgleichungen ist die Probe Pflicht, weil Quadrieren und Multiplizieren mit variablen Termen Scheinlösungen erzeugen können.
| Situation | Bezeichnung | Lösungsmenge | Beispiel |
|---|---|---|---|
| eindeutig lösbar | — (Normalfall) | \(\mathbb{L} = \{x_0\}\) | \(2x = 6 \Rightarrow \mathbb{L} = \{3\}\) |
| mehrere Lösungen | — (Normalfall) | \(\mathbb{L} = \{x_1, x_2, \dots\}\) | \(x^2 = 4 \Rightarrow \mathbb{L} = \{-2,\, 2\}\) |
| keine Lösung | Widerspruch | \(\mathbb{L} = \{\,\} = \emptyset\) | \(x = x + 1\) |
| unendlich viele Lösungen | Identität | \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\) | \(2(x+1) = 2x + 2\) |
| Gleichung | \(T_1(x) = T_2(x)\) — wahr für \(x \in \mathbb{L}\) |
| Lösung | jeder Wert, der die Gleichung wahr macht |
| Äquivalenzumformung | verändert die Lösungsmenge nicht (\(+, -, \cdot c\) mit \(c \neq 0\), \(:c\) mit \(c \neq 0\)) |
| Typ erkennen | linear · quadratisch · Bruch · Wurzel — bestimmt das Verfahren |
| Probe | Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen |